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文檔簡介
第七章平行線的證明第七章平行線的證明7.5
三角形內(nèi)角和定理第1課時
學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.(重點(diǎn))2.應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決相關(guān)問題.(難點(diǎn))我的形狀最小,那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大,那我的內(nèi)角和最大.不對,我有一個鈍角,所以我的內(nèi)角和才是最大的.
一天,三類三角形通過對自身的特點(diǎn),講出了自己對三角形內(nèi)角和的理解,請同學(xué)們作為小判官給它們評判一下吧.新課導(dǎo)入
我們在小學(xué)已經(jīng)知道,任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.與三角形的形狀、大小無關(guān),所以它們的說法都是錯誤的.【思考】除了度量以外,你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢?折疊還可以用拼接的方法,你知道怎樣操作嗎?三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個平角.觀測的結(jié)果不一定可靠,還需要通過數(shù)學(xué)知識來說明.從上面的操作過程,你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎?還有其他的拼接方法嗎?【探究】在紙上任意畫一個三角形,將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.三角形的內(nèi)角和定理的證明新課講解【驗(yàn)證】三角形三個內(nèi)角的和等于180°.
求證:∠A+∠B+∠C=180°.已知:△ABC.證法1:過點(diǎn)A作l∥BC,∴∠B=∠1,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠C=∠2.(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°,∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12證法2:延長BC到D,過點(diǎn)C作CE∥BA,∴∠A=∠1,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠B=∠2.(兩直線平行,同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF證法3:過D作DE∥AC,作DF∥AB.∴∠C=∠EDB,∠B=∠FDC,(兩直線平行,同位角相等)∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°,(兩直線平行,同旁內(nèi)角相補(bǔ))∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°,∴∠A+∠B+∠C=180°.【想一想】同學(xué)們還有其他的方法嗎?【思考】多種方法證明的核心是什么?借助平行線的“移角”的功能,將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.CAB12345lACB12345lP6m
在這里,為了證明的需要,在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線.★思路總結(jié)為了證明三個角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等,這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.★作輔助線【例1】
如圖,在△ABC中,∠BAC=40°,∠B=75°,AD是△ABC的角平分線,求∠ADB的度數(shù).ABCD解:由∠BAC=40°,AD是△ABC的角平分線,得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中,∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-75°-20°=85°.例題講解【例2】
如圖,△ABC中,D在BC的延長線上,過D作DE⊥AB于E,交AC于F.已知∠A=30°,∠FCD=80°,求∠D.解:∵DE⊥AB,∴∠FEA=90°.∵在△AEF中,∠FEA=90°,∠A=30°,∴∠AFE=180°-∠FEA-∠A=60°.又∵∠CFD=∠AFE,∴∠CFD=60°.∴在△CDF中,∠CFD=60°,∠FCD=80°,∠D=180°-∠CFD-∠FCD=40°.基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.【例3】
在△ABC
中,∠A
的度數(shù)是∠B
的度數(shù)的3倍,∠C
比∠B
大15°,求∠A,∠B,∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B為x°,則∠A為(3x)°,∠C為(x+
15)°,從而有3x+
x+(x+
15)=
180.解得x=
33.所以3x=
99
,x+
15
=
48.答:∠A,∠B,∠C的度數(shù)分別為99°,
33°,48°.幾何問題借助方程來解.這是一個重要的數(shù)學(xué)思想.2.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,則△ABC是
_________三角形.
1.在△ABC中,∠A=35°,∠B=43°,則∠
C=.
3.在△ABC中,∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,則∠A=
,∠B=
,∠C=
.102°直角60°50°70°隨堂訓(xùn)練三角形的內(nèi)角和定理證明了解添加輔助線的方法及其目的內(nèi)容三角形內(nèi)角和等于180°課堂小結(jié)1.求出下列各圖中的x值.x=70x=60x=30x=50當(dāng)堂檢測2.如圖,則∠1+∠2+∠3+∠4=_______.BACD4132E40°(280°3.如圖,四邊形ABCD中,點(diǎn)E在BC上,∠A+∠ADE=180°,∠B=78°,∠C=60°,求∠EDC的度數(shù).解:∵∠A+∠ADE=180°,∴AB∥DE,∴∠CED=∠B=78°.又∵∠C=60°,∴∠EDC=180°-(∠CED+∠C)=180°-(78°+60°)=42°.4.如圖,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,若∠BAC=60°,求∠BPC的度數(shù).解:∵△ABC中,∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°.∵BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=60°.∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°,∴∠BPC=180°-60°=120°.【變式題】如圖,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,你能寫出∠BPC與∠A
之間的數(shù)量關(guān)系嗎?解:∵BP平分∠ABC,CP平分∠A
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