2024-2025學(xué)年北師版中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第七章平行線的證明7.5三角形內(nèi)角和定理第1課時(shí) 教案

第七章平行線的證明5三角形內(nèi)角和定理第1課時(shí)三角形的內(nèi)角和定理教學(xué)目標(biāo)1.掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決相關(guān)問(wèn)題.3.通過(guò)動(dòng)手探究，使學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，尋找有效的學(xué)習(xí)方法.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°.難點(diǎn)：應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理解決相關(guān)問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課三類三角形通過(guò)對(duì)自身的特點(diǎn)，講出了自己對(duì)三角形內(nèi)角和的理解，請(qǐng)同學(xué)們作為小判官給它們?cè)u(píng)判一下吧.直角三角形：我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.鈍角三角形：不對(duì)，我有一個(gè)鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.銳角三角形：我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，與三角形的形狀、大小無(wú)關(guān)，所以它們的說(shuō)法都是錯(cuò)誤的.思考除了度量以外，你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢?探究新知探究:在紙上任意畫(huà)一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.首先讓學(xué)生自己動(dòng)手探究,體會(huì)數(shù)學(xué)研究的樂(lè)趣.然后老師通過(guò)多媒體動(dòng)畫(huà)演示，驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是不是正確的.我們通過(guò)觀察與實(shí)驗(yàn)的方法猜想得到的結(jié)論不一定正確可靠，要判定一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否，需要進(jìn)行有根有據(jù)的推理、證明.這就是我們這節(jié)課所要研究的內(nèi)容.驗(yàn)證:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.已知：△ABC，求證∠A+∠B+∠C＝180°.方法一：過(guò)A點(diǎn)作PQ∥BC，∵PQ∥BC，∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°.方法二：作BC的延長(zhǎng)線CD，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BA．∵CE∥BA，∴∠A=∠ACE,∠B=∠DCE.又∵∠ACE+∠DCE+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.方法三：在BC邊上任取一點(diǎn)P，作PF∥AB，PE∥AC.∴∠B=∠FPC,∠C=∠EPB(兩直線平行，同位角相等)，∵∠A+∠AEP=180°,∠AEP+∠EPF=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))，∴∠A=∠EPF.∵∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.想一想:同學(xué)們還有其他的方法嗎？多種方法證明的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角.在這里，為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫(huà)的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫(huà)成虛線.為了證明三個(gè)角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.例1如圖所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).【解】在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形內(nèi)角和定理）.∵∠B=38°，∠C=62°（已知），∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性質(zhì)）.∵AD平分∠BAC（已知）,∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°（角平分線的定義）.在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°.∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已證），∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性質(zhì)）.例2如圖，在△ABC中，D在BC的延長(zhǎng)線上，過(guò)D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D的度數(shù).【解】∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°-∠FEA-∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°-∠CFD-∠FCD＝40°.例3在△ABC中，∠A的度數(shù)是∠B的度數(shù)的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).【解】設(shè)∠B=x°，則∠A=(3x)°，∠C=(x+15)°，從而有3x+x+(x+15)＝180.解得x＝33.所以3x＝99，x+15＝48.則∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°.課堂練習(xí)1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.正三角形2.一副三角板有兩個(gè)直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（）A.75°B.65°C.165°D.155°3.如圖，△ABC中，AE是∠BAC的平分線，AD是BC邊上的高線，且∠B=50°，∠C=60°，則∠EAD的度數(shù)為（）A.35° B.5°C.15° D.25°4.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，則∠BPC的大小是（）A.100° B.110° C.115° D.120°5.如圖所示，B處在A處的南偏西45°方向，C處在A處的南偏東15°方向，C處在B處的北偏東80°方向，求∠ACB的度數(shù).參考答案1.A2.C3.B4.B5.解：∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE.∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°.∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°.又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°﹣45°=35°,∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°﹣35°-60°=85°．課堂小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）三角形內(nèi)角和定理布置作業(yè)習(xí)題7.6第2，3題板書(shū)設(shè)計(jì)第七章平行線的證