5.1.1變化率問(wèn)題課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

17世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分牛頓偏重從物理問(wèn)題出發(fā)，應(yīng)用了運(yùn)動(dòng)學(xué)的原理，如瞬時(shí)速度中的“微分”、運(yùn)動(dòng)變量的“積分”等概念.萊布尼茨從幾何學(xué)問(wèn)題出發(fā)，用分析法引進(jìn)微積分，得出運(yùn)算法則，比牛頓的更為規(guī)范和嚴(yán)密.5.1.1變化率問(wèn)題【問(wèn)題1】高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度

在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系：

如何描述運(yùn)動(dòng)員從起跳到入水的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的快慢程度呢？

我們可以把整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間段分成許多小段,用運(yùn)動(dòng)員在每段時(shí)間內(nèi)的平均速度近似地描述他的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).請(qǐng)計(jì)算對(duì)應(yīng)時(shí)間段的平均速度：【問(wèn)題1】高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度

要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng),就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度．再計(jì)算：思考：(1)運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎?(2)平均速度能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)嗎?(1)在這段時(shí)間內(nèi)，運(yùn)動(dòng)員并不處于靜止?fàn)顟B(tài).(2)用平均速度不能準(zhǔn)確反映運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)里的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).【問(wèn)題1】高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度思考：（1）瞬時(shí)速度與平均速度有什么關(guān)系？（2）你能利用這種關(guān)系求運(yùn)動(dòng)員在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度嗎？瞬時(shí)速度：物體在某一時(shí)刻的速度為了精確刻畫運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要引入瞬時(shí)速度的概念.我們?cè)趖=1之后或之前，任意取一個(gè)時(shí)刻1+Δt，Δt是時(shí)間改變量，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為0.Δt<0Δt>0-0.010.01-0.0010.001-0.00010.0001-0.000010.00001-0.0000010.000001給出Δt更多的值，計(jì)算-4.951-4.9951-4.99951-4.999951-4.9999951-5.049-5.0049-5.00049-5.000049-5.0000049

【例1】某物體運(yùn)動(dòng)的位移s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式為s(t)＝sint，t∈

.【例2】某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1s時(shí)的瞬時(shí)速度.【變式1】若本例中的條件不變，試求物體的初速度.【變式2】若本例中的條件不變，試問(wèn)物體在哪一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s.【問(wèn)題2】拋物線的切線的斜率我們知道，如果一條直線與一個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)圓相切.對(duì)于一般的曲線C，如何確定它的切線呢？

【思考】對(duì)于拋物線f(x)=x2，應(yīng)該如何定義它點(diǎn)P0(1,1)處的切線呢？xy121234O?PP0?T?將點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)P0，觀察割線P0P的位置變化情況.當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線P0T稱為拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線.xy121234OPP0?T?【思考】我們知道斜率是確定直線的一個(gè)要素，如何求拋物線f(x)=x2在點(diǎn)P0(1,1)處的切線的斜率呢？割線位置切線位置無(wú)限逼近割線斜率切線斜率無(wú)限逼近取極限記點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1+Δx，則點(diǎn)P的坐標(biāo)即為

(1+Δx,(1+Δx)2).于是割線P0P的斜率?x<0?x>0?x?x通過(guò)觀察可得，當(dāng)?x無(wú)限趨近于0，即無(wú)論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無(wú)限趨近于1時(shí)，割線P0P的斜率k近都無(wú)限趨近于2.我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過(guò)不斷縮短橫坐標(biāo)間隔|?x|來(lái)提高近似表示的精確度，得到如下表格：我們把2叫做“當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí)，的極限”，記為從幾何圖形上看，當(dāng)橫坐標(biāo)間隔|Δx|無(wú)限變小時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于點(diǎn)P0處的切線P0T

.

割線P0P的斜率k無(wú)限趨近于點(diǎn)P0處的切線的斜率k0.因此，切線P0T的斜率k0=2.xyO121234PP0T【