增分微課4　空間中的動(dòng)態(tài)問題

增分微課4空間中的動(dòng)態(tài)問題例1[配類型一使用]在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn),給出下列說法:①若點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),且總滿足∠DD1A=∠DD1M,則點(diǎn)M的軌跡是圓的一部分;②在底面ABCD內(nèi)作邊長為1的小正方形EFGA,若點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),且滿足點(diǎn)M到平面AA1B1B的距離等于點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離,則點(diǎn)M的軌跡是拋物線的一部分;③已知點(diǎn)N是棱CD的中點(diǎn),若點(diǎn)M在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng),且滿足B1M∥平面A1NC1,則點(diǎn)M的軌跡是線段;④已知點(diǎn)P,Q分別是BD1,B1C1的中點(diǎn),若MP與CQ垂直,則點(diǎn)M的軌跡的長為8+45.其中正確說法的個(gè)數(shù)為 (D)A.1 B.2C.3 D.4[解析]對于①,因?yàn)椤螪D1A=∠DD1M,所以DA=DM,則滿足條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以D為圓心,DA為半徑的圓的一部分,故①正確;對于②,依題意知點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)M到直線AB的距離相等,所以點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),AB為準(zhǔn)線的拋物線的一部分,故②正確;對于③,如圖甲,取AB的中點(diǎn)I,BC的中點(diǎn)O,連接B1I,IO,B1O,顯然IO∥A1C1,IB1∥NC1,IO,IB1?平面A1NC1,A1C1,NC1?平面A1NC1,所以IO∥平面A1NC1,IB1∥平面A1NC1,又IO∩IB1=I,所以平面B1IO∥平面A1NC1,當(dāng)點(diǎn)M在線段IO上時(shí),均有B1M∥平面A1NC1,即點(diǎn)M的軌跡是線段IO,故③正確;對于④,如圖乙,依題意,只需過點(diǎn)P作直線CQ的垂面即可,垂面與正方體表面的交線即為點(diǎn)M的軌跡,分別取CC1,DD1的中點(diǎn)R,S,連接RS,SA,BR,由tan∠C1QC=tan∠BRC=2,知∠C1QC=∠BRC,易知CQ⊥RB,又CQ⊥AB,AB∩BR=B,所以CQ⊥平面ABRS,過點(diǎn)P作平面TUR1S1∥平面ABRS,分別交AA1,BB1,CC1,DD1于點(diǎn)T,U,R1,S1,則點(diǎn)M的軌跡為四邊形TUR1S1,又四邊形TUR1S1的周長與四邊形ABRS的周長相等,所以點(diǎn)M的軌跡的長為2×4+2×42+22=8+45,故④正確例2[配類型一使用]如圖,在直二面角α-AB-β中,P∈半平面α,C∈半平面β,D∈半平面β,且AD⊥AB,BC⊥AB,AD=5,BC=10,AB=6,∠APD=∠CPB,則點(diǎn)P在半平面α內(nèi)的軌跡是 (A)A.圓的一部分 B.橢圓的一部分C.一條直線 D.兩條直線[解析]如圖,在平面α中,以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P(x,y)(y≥0),由題得A(-3,0),B(3,0),∵AD⊥AB,BC⊥AB,∴AD⊥α,BC⊥α,又AD=5,BC=10,AB=6,∠APD=∠CPB,∴Rt△APD∽Rt△BPC,∴APBP=(x+3)2+y2(x-3)2+y2=ADBC=510=12,即(x-3)2+y2=4[(x+3)2+y2],例3[配類型一、類型三使用](多選題)[2023·揚(yáng)州模擬]如圖,圓柱OO1的高為1,下底面圓O的直徑AB的長為2,BB1是圓柱OO1的一條母線,點(diǎn)P,Q分別在上、下底面內(nèi)(包含邊界),下列說法正確的有 (BC)A.若PA+PB=3,則點(diǎn)P的軌跡為圓B.若直線OP與直線OB1所成的角為45°,則點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分C.存在唯一的一組點(diǎn)P,Q,使得AP⊥PQD.AP+PQ+QB1的取值范圍是[13,23+5][解析]對于B,如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OO1所在直線分別為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),B1(0,-1,1),設(shè)P(x,y,1),x2+y2≤1,則OB1=(0,-1,1),OP=(x,y,1),由題意得|cosOB1,OP|=|-y+1|(-1)2+12×x2+y2+12=22,化簡得y=-12x2,所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線y=-12x2在圓x2+y2=1內(nèi)(包括交點(diǎn))的部分,故B正確對于C,設(shè)點(diǎn)P在下底面的射影為P1,若AP⊥PQ,則AP2+PQ2=AQ2,則AP12+12+P1Q2+12=AQ2,當(dāng)P1在線段AQ上時(shí),AP12+P1Q2可取最小值,AP12+P1Q2≥(AP1+P1Q)22≥AQ22,當(dāng)且僅當(dāng)AP1=P1Q=AQ2時(shí)等號同時(shí)成立,所