2016年江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案

2016年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1．（5分）（2016?江蘇）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，則A∩B=______．2．（5分）（2016?江蘇）復(fù)數(shù)z=（1+2i）（3﹣i），其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是______．3．（5分）（2016?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線﹣=1的焦距是______．4．（5分）（2016?江蘇）已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是______．5．（5分）（2016?江蘇）函數(shù)y=的定義域是______．6．（5分）（2016?江蘇）如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的a的值是______．7．（5分）（2016?江蘇）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是______．8．（5分）（2016?江蘇）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1+a22=﹣3，S5=10，則a9的值是______．9．（5分）（2016?江蘇）定義在區(qū)間[0，3π]上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是______．10．（5分）（2016?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，直線y=與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是______．11．（5分）（2016?江蘇）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），則f（5a）的值是______．12．（5分）（2016?江蘇）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則x2+y2的取值范圍是______．13．（5分）（2016?江蘇）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，?=4，?=﹣1，則?的值是______．14．（5分）（2016?江蘇）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是______．二、解答題（共6小題，滿分90分）15．（14分）（2016?江蘇）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求cos（A﹣）的值．16．（14分）（2016?江蘇）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求證：（1）直線DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．17．（14分）（2016?江蘇）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？18．（16分）（2016?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）．（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得+=，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．19．（16分）（2016?江蘇）已知函數(shù)f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）設(shè)a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若對(duì)于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函數(shù)g（x）=f（x）﹣2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值．20．（16分）（2016?江蘇）記U={1，2，…，100}，對(duì)數(shù)列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定義ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定義ST=++…+．例如：T={1，3，66}時(shí)，ST=a1+a3+a66．現(xiàn)設(shè){an}（n∈N*）是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T={2，4}時(shí)，ST=30．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求證：ST＜ak+1；（3）設(shè)C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD．附加題【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A．【選修4—1幾何證明選講】21．（10分）（2016?江蘇）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D為垂足，E為BC的中點(diǎn)，求證：∠EDC=∠ABD．B.【選修4—2：矩陣與變換】22．（10分）（2016?江蘇）已知矩陣A=，矩陣B的逆矩陣B﹣1=，求矩陣AB．C.【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】23．（2016?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．24．（2016?江蘇）設(shè)a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求證：|2x+y﹣4|＜a．附加題【必做題】25．（10分）（2016?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x﹣y﹣2=0，拋物線C：y2=2px（p＞0）．（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q．①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范圍．26．（10分）（2016?江蘇）（1）求7C﹣4C的值；（2）設(shè)m，n∈N*，n≥m，求證：（m+1）C+（m+2）C+（m+3）C+…+nC+（n+1）C=（m+1）C．2016年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（共14小題，每小題5分，滿分70分）1．（5分）（2016?江蘇）已知集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，則A∩B={﹣1，2}．【分析】根據(jù)已知中集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，結(jié)合集合交集的定義可得答案．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，6}，B={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={﹣1，2}，故答案為：{﹣1，2}【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的交集及其運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2016?江蘇）復(fù)數(shù)z=（1+2i）（3﹣i），其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是5．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，則z的實(shí)部是5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）（2016?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線﹣=1的焦距是2．【分析】確定雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線﹣=1的焦距．【解答】解：雙曲線﹣=1中，a=，b=，∴c==，∴雙曲線﹣=1的焦距是2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．4．（5分）（2016?江蘇）已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是0.1．【分析】先求出數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均數(shù)，由此能求出該組數(shù)據(jù)的方差．【解答】解：∵數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均數(shù)為：=（4.7+4.8+5.1+5.4+5.5）=5.1，∴該組數(shù)據(jù)的方差：S2=[（4.7﹣5.1）2+（4.8﹣5.1）2+（5.1﹣5.1）2+（5.4﹣5.1）2+（5.5﹣5.1）2]=0.1．故答案為：0.1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用．5．（5分）（2016?江蘇）函數(shù)y=的定義域是[﹣3，1]．【分析】根據(jù)被開方數(shù)不小于0，構(gòu)造不等式，解得答案．【解答】解：由3﹣2x﹣x2≥0得：x2+2x﹣3≤0，解得：x∈[﹣3，1]，故答案為：[﹣3，1]【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的定義域，二次不等式的解法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）（2016?江蘇）如圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的a的值是9．【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量a的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，可得答案．【解答】解：當(dāng)a=1，b=9時(shí)，不滿足a＞b，故a=5，b=7，當(dāng)a=5，b=7時(shí)，不滿足a＞b，故a=9，b=5當(dāng)a=9，b=5時(shí)，滿足a＞b，故輸出的a值為9，故答案為：9【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時(shí)，可采用模擬程序法進(jìn)行解答．7．（5分）（2016?江蘇）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是．【分析】出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的對(duì)立事件是出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于10，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率．【解答】解：將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，基本事件總數(shù)為n=6×6=36，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的對(duì)立事件是出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于10，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于10包含的基本事件有：（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共6個(gè)，∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率：p=1﹣=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．8．（5分）（2016?江蘇）已知{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1+a22=﹣3，S5=10，則a9的值是20．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a9的值．【解答】解：∵{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a1+a22=﹣3，S5=10，∴，解得a1=﹣4，d=3，∴a9=﹣4+8×3=20．故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的第9項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．9．（5分）（2016?江蘇）定義在區(qū)間[0，3π]上的函數(shù)y=sin2x的圖象與y=cosx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是7．【分析】畫出函數(shù)y=sin2x與y=cosx在區(qū)間[0，3π]上的圖象即可得到答案．【解答】解：畫出函數(shù)y=sin2x與y=cosx在區(qū)間[0，3π]上的圖象如下：由圖可知，共7個(gè)交點(diǎn)．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象，作出函數(shù)y=sin2x與y=cosx在區(qū)間[0，3π]上的圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題．10．（5分）（2016?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，直線y=與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC=90°，則該橢圓的離心率是．【分析】設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0），將y=代入橢圓方程求得B，C的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．【解答】解：設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0），將y=代入橢圓方程可得x=±a=±a，可得B（﹣a，），C（a，），由∠BFC=90°，可得kBF?kCF=﹣1，即有?=﹣1，化簡(jiǎn)為b2=3a2﹣4c2，由b2=a2﹣c2，即有3c2=2a2，由e=，可得e2==，可得e=，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．11．（5分）（2016?江蘇）設(shè)f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），則f（5a）的值是﹣．【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的周期性，結(jié)合f（﹣）=f（），可得a值，進(jìn)而得到f（5a）的值．【解答】解：f（x）是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[﹣1，1）上，f（x）=，∴f（﹣）=f（﹣）=﹣+a，f（）=f（）=|﹣|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣，故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性，根據(jù)已知求出a值，是解答的關(guān)鍵．12．（5分）（2016?江蘇）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則x2+y2的取值范圍是[，13]．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x2+y2，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由圖象知A到原點(diǎn)的距離最大，點(diǎn)O到直線BC：2x+y﹣2=0的距離最小，由得，即A（2，3），此時(shí)z=22+32=4+9=13，點(diǎn)O到直線BC：2x+y﹣2=0的距離d==，則z=d2=（）2=，故z的取值范圍是[，13]，故答案為：[，13]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及距離的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．13．（5分）（2016?江蘇）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，?=4，?=﹣1，則?的值是．【分析】由已知可得=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，=+2，=﹣+2，結(jié)合已知求出2=，2=，可得答案．【解答】解：∵D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴=+，=﹣+，=+3，=﹣+3，∴?=2﹣2=﹣1，?=92﹣2=4，∴2=，2=，又∵=+2，=﹣+2，∴?=42﹣2=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量的線性運(yùn)算，難度中檔．14．（5分）（2016?江蘇）在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是8．【分析】結(jié)合三角形關(guān)系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，進(jìn)而得到tanB+tanC=2tanBtanC，結(jié)合函數(shù)特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC為銳角三角形，則cosB＞0，cosC＞0，在①式兩側(cè)同時(shí)除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，則tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C為銳角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值為8，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互換），此時(shí)A，B，C均為銳角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等式的變化技巧和函數(shù)單調(diào)性知識(shí)，有一定靈活性．二、解答題（共6小題，滿分90分）15．（14分）（2016?江蘇）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求cos（A﹣）的值．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的長(zhǎng)；（2）求出cosA、sinA，利用兩角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A為三角形的內(nèi)角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，考查兩角和差的余弦公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（14分）（2016?江蘇）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求證：（1）直線DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【分析】（1）通過(guò)證明DE∥AC，進(jìn)而DE∥A1C1，據(jù)此可得直線DE∥平面A1C1F1；（2）通過(guò)證明A1F⊥DE結(jié)合題目已知條件A1F⊥B1D，進(jìn)而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1為棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1為直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F?平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F?平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的證明，以及平面與平面相互垂直的證明，把握常用方法最關(guān)鍵，難度不大．17．（14分）（2016?江蘇）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？【分析】（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，可得PO1=2m時(shí)，O1O=8m，進(jìn)而可得倉(cāng)庫(kù)的容積；（2）設(shè)PO1=xm，則O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=?m，代入體積公式，求出容積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，可得最大值．【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴倉(cāng)庫(kù)的容積V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，設(shè)PO1=xm，則O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=?m，則倉(cāng)庫(kù)的容積V=×（?）2?x+（?）2?4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），當(dāng)0＜x＜2時(shí)，V′＞0，V（x）單調(diào)遞增；當(dāng)2＜x＜6時(shí)，V′＜0，V（x）單調(diào)遞減；故當(dāng)x=2時(shí)，V（x）取最大值；即當(dāng)PO1=2m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐和棱柱的體積，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最大值，難度中檔．18．（16分）（2016?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0及其上一點(diǎn)A（2，4）．（1）設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn)，且BC=OA，求直線l的方程；（3）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得+=，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【分析】（1）設(shè)N（6，n），則圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，從而得到|7﹣n|=|n|+5，由此能求出圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題意得OA=2，kOA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d=，由此能求出直線l的方程．（3）=，即||=，又||≤10，得t∈[2﹣2，2+2]，對(duì)于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，由此能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）∵N在直線x=6上，∴設(shè)N（6，n），∵圓N與x軸相切，∴圓N為：（x﹣6）2+（y﹣n）2=n2，n＞0，又圓N與圓M外切，圓M：x2+y2﹣12x﹣14y+60=0，即圓M：（（x﹣6）2+（x﹣7）2=25，∴|7﹣n|=|n|+5，解得n=1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣6）2+（y﹣1）2=1．（2）由題意得OA=2，kOA=2，設(shè)l：y=2x+b，則圓心M到直線l的距離：d==，則|BC|=2=2，BC=2，即2=2，解得b=5或b=﹣15，∴直線l的方程為：y=2x+5或y=2x﹣15．（3）=，即，即||=||，||=，又||≤10，即≤10，解得t∈[2﹣2，2+2]，對(duì)于任意t∈[2﹣2，2+2]，欲使，此時(shí)，||≤10，只需要作直線TA的平行線，使圓心到直線的距離為，必然與圓交于P、Q兩點(diǎn)，此時(shí)||=||，即，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍為t∈[2﹣2，2+2]，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．19．（16分）（2016?江蘇）已知函數(shù)f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）設(shè)a=2，b=．①求方程f（x）=2的根；②若對(duì)于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函數(shù)g（x）=f（x）﹣2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求ab的值．【分析】（1）①利用方程，直接求解即可．②列出不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）求出g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=+，求出g（x）的最小值為：g（x0）．同理①若g（x0）＜0，g（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾．②若g（x0）＞0，利用函數(shù)g（x）=f（x）﹣2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，推出g（x0）=0，然后求解ab=1．【解答】解：函數(shù)f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）設(shè)a=2，b=．①方程f（x）=2；即：=2，可得x=0．②不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，即≥m（）﹣6恒成立．令t=，t≥2．不等式化為：t2﹣mt+4≥0在t≥2時(shí)，恒成立．可得：△≤0或即：m2﹣16≤0或m≤4，∴m∈（﹣∞，4]．實(shí)數(shù)m的最大值為：4．（2）g（x）=f（x）﹣2=ax+bx﹣2，g′（x）=axlna+bxlnb=ax[+]lnb，0＜a＜1，b＞1可得，令h（x）=+，則h（x）是遞增函數(shù)，而，lna＜0，lnb＞0，因此，x0=時(shí)，h（x0）=0，因此x∈（﹣∞，x0）時(shí)，h（x）＜0，axlnb＞0，則g′（x）＜0．x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，axlnb＞0，則g′（x）＞0，則g（x）在（﹣∞，x0）遞減，（x0，+∞）遞增，因此g（x）的最小值為：g（x0）．①若g（x0）＜0，x＜loga2時(shí)，ax＞=2，bx＞0，則g（x）＞0，因此x1＜loga2，且x1＜x0時(shí)，g（x1）＞0，因此g（x）在（x1，x0）有零點(diǎn)，則g（x）至少有兩個(gè)零點(diǎn)，與條件矛盾．②若g（x0）＞0，函數(shù)g（x）=f（x）﹣2有且只有1個(gè)零點(diǎn)，g（x）的最小值為g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b0﹣2=0，因此x0=0，因此=0，﹣=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，則ab=1．可得ab=1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．20．（16分）（2016?江蘇）記U={1，2，…，100}，對(duì)數(shù)列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定義ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定義ST=++…+．例如：T={1，3，66}時(shí)，ST=a1+a3+a66．現(xiàn)設(shè){an}（n∈N*）是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T={2，4}時(shí)，ST=30．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意正整數(shù)k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求證：ST＜ak+1；（3）設(shè)C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD．【分析】（1）根據(jù)題意，由ST的定義，分析可得ST=a2+a4=a2+9a2=30，計(jì)算可得a2=3，進(jìn)而可得a1的值，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得答案；（2）根據(jù)題意，由ST的定義，分析可得ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算可得證明；（3）設(shè)A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），則A∩B=?，進(jìn)而分析可以將原命題轉(zhuǎn)化為證明SC≥2SB，分2種情況進(jìn)行討論：①、若B=?，②、若B≠?，可以證明得到SA≥2SB，即可得證明．【解答】解：（1）當(dāng)T={2，4}時(shí)，ST=a2+a4=a2+9a2=30，因此a2=3，從而a1==1，故an=3n﹣1，（2）ST≤a1+a2+…ak=1+3+32+…+3k﹣1=＜3k=ak+1，（3）設(shè)A=?C（C∩D），B=?D（C∩D），則A∩B=?，分析可得SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，則SC+SC∩D﹣2SD=SA﹣2SB，因此原命題的等價(jià)于證明SC≥2SB，由條件SC≥SD，可得SA≥SB，①、若B=?，則SB=0，故SA≥2SB，②、若B≠?，由SA≥SB可得A≠?，設(shè)A中最大元素為l，B中最大元素為m，若m≥l+1，則其與SA＜ai+1≤am≤SB相矛盾，因?yàn)锳∩B=?，所以l≠m，則l≥m+1，SB≤a1+a2+…am=1+3+32+…+3m﹣1=≤=，即SA≥2SB，綜上所述，SA≥2SB，故SC+SC∩D≥2SD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及新定義的內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是正確理解題目中對(duì)于新定義的描述．附加題【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A．【選修4—1幾何證明選講】21．（10分）（2016?江蘇）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D為垂足，E為BC的中點(diǎn)，求證：∠EDC=∠ABD．【分析】依題意，知∠BDC=90°，∠EDC=∠C，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，可得∠ABD=∠C，從而可證得結(jié)論．【解答】解：由BD⊥AC可得∠BDC=90°，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以DE=CE=BC，則：∠EDC=∠C，由∠BDC=90°，可得∠C+∠DBC=90°，由∠ABC=90°，可得∠ABD+∠DBC=90°，因此∠ABD=∠C，而∠EDC=∠C，所以，∠EDC=∠ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的性質(zhì)應(yīng)用，利用∠C+∠DBC=∠ABD+∠DBC=90°，證得∠ABD=∠C是關(guān)鍵，屬于中檔題．B.【選修4—2：矩陣與變換】22．（10分）（2016?江蘇）已知矩陣A=，矩陣B的逆矩陣B﹣1=，求矩陣AB．【分析】依題意，利用矩陣變換求得B=（B﹣1）﹣1==，再利用矩陣乘法的性質(zhì)可求得答案．【解答】解：∵B﹣1=，∴B=（B﹣1）﹣1==，又A=，∴AB==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查逆變換與逆矩陣，考查矩陣乘法的性質(zhì)，屬于中檔題．C.【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】23．（2016?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．【分析】分別化直線與橢圓的參數(shù)方程為普通方程，然后聯(lián)立方程組，求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式求得答案．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，兩式平方相加得．聯(lián)立，解得或．∴|AB|=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的參數(shù)方程，考查了參數(shù)方程化普通方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．24．（2016?江蘇）設(shè)a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，求證：|2x+y﹣4|＜a．【分析】運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：|a+b|≤|a|+|b|，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，即可得證．【解答】證明：由a＞0，|x﹣1|＜，|y﹣2|＜，可得|2x+y﹣4|=|2（x﹣1）+（y﹣2）|≤2|x﹣1|+|y﹣2|＜+=a，則|