2025千題百煉-高中數(shù)學100個熱點問題（三）：第85煉 幾何概型含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學100個熱點問題（三）：第85煉幾何概型含答案第85煉幾何概型一、基礎知識：1、幾何概型：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型2、對于一項試驗，如果符合以下原則：（1）基本事件的個數(shù)為無限多個（2）基本事件發(fā)生的概率相同則可通過建立幾何模型，利用幾何概型計算事件的概率3、幾何概型常見的類型，可分為三個層次：（1）以幾何圖形為基礎的題目：可直接尋找事件所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域，從而求出比例即可得到概率。（2）以數(shù)軸，坐標系為基礎的題目：可將所求事件轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的線段（或坐標平面的可行域），從而可通過計算長度（或面積）的比例求的概率（將問題轉(zhuǎn)化為第（1）類問題）（3）在題目敘述中，判斷是否運用幾何概型處理，并確定題目中所用變量個數(shù)。從而可依據(jù)變量個數(shù)確定幾何模型：通常變量的個數(shù)與幾何模型的維度相等：一個變量→數(shù)軸，兩個變量→平面直角坐標系，三個變量→空間直角坐標系。從而將問題轉(zhuǎn)化成為第（2）類問題求解二、典型例題：例1：已知函數(shù)，在定義域內(nèi)任取一點，使的概率是（）A.B.C.D.思路：先解出時的取值范圍：，從而在數(shù)軸上區(qū)間長度占區(qū)間長度的比例即為事件發(fā)生的概率，所以答案：C例2：如圖，矩形內(nèi)的陰影部分是由曲線及直線與軸圍成，向矩形內(nèi)隨機投擲一點，若落在陰影部分的概率為，則的值是（）A.B.C.D.思路：落在陰影部分的概率即為陰影部分面積與長方形面積的比值長方形的面積，陰影面積，所以有，可解得，從而答案：B例3：已知正方形的邊長為2，是邊的中點，在正方形內(nèi)部隨機取一點，則滿足的概率為（）A.B.C.D.思路：可理解為以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部，通過作圖可得概率為陰影部分面積所占正方形面積的比例?？蓪㈥幱安糠植馂橐粋€扇形與兩個直角三角形，可計算其面積為，正方形面積，所以答案：B小煉有話說：到某定點的距離等于（或小于）定長的軌跡為圓（或圓的內(nèi)部），所以從和為定點便可確定所在的圓內(nèi)例4：一個多面體的直觀圖和三視圖所示，是的中點，一只蝴蝶在幾何體內(nèi)自由飛翔，由它飛入幾何體內(nèi)的概率為（）A.B.C.D.思路：所求概率為棱錐的體積與棱柱體積的比值。由三視圖可得，且兩兩垂直，可得，棱錐體積，而，所以。從而答案：D例5：如圖，點等可能分布在菱形內(nèi)，則的概率是（）A.B.C.D.思路：對聯(lián)想到數(shù)量積的投影定義，即乘以在上的投影，不妨將投影設為，則，即即可，由菱形性質(zhì)可得，取中點，有，所以且垂足四等分，點位置應該位于內(nèi)。所以答案：D例6：某人睡午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，則他等待時間不多于15分鐘的概率為（）A.B.C.D.思路：所涉及到只是時間一個變量，所以考慮利用數(shù)軸輔助解決。在一個小時中，符合要求的線段長度所占的比例為，所以概率答案：B例7：已知函數(shù)，若都是區(qū)間內(nèi)的數(shù)，則使成立的概率是（）A.B.C.D.思路：題目中涉及兩個變量，所以考慮利用直角坐標系解決。設為“在區(qū)間內(nèi)”，則要滿足的條件為：，設事件為“成立”，即，所以要滿足的條件為：，作出各自可行域即可得到答案：C例8：在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則（）A.B.C.D.思路：分別在坐標系中作出“”，“”，“”的區(qū)域，并觀察或計算其面積所占單位長度正方形的比例，即可得到的大?。捍鸢福築例9：小王參加網(wǎng)購后，快遞員電話通知于本周五早上7:30-8:30送貨到家，如果小王這一天離開家的時間為早上8:00-9:00，那么在他走之前拿到郵件的概率為（）A.B.C.D.思路：本題中涉及兩個變量，一個是快遞員到達的時刻，記為，一個是小王離開家的時刻，記為，由于雙變量所以考慮建立平面坐標系，利用可行域的比值求得概率。必然事件所要滿足的條件為：，設“小王走之前拿到郵件”為事件，則要滿足的條件為：，作出和的可行域，可得答案：D例10：已知一根繩子長度為，隨機剪成三段，則三段剛好圍成三角形的概率為______思路：隨機剪成三段，如果引入3個變量，則需建立空間坐標系，不易于求解?？紤]減少變量個數(shù)，由于三段的和為，設其中兩段為，則第三段為。只用兩個變量，所以就可以建立平面直角坐標系進行解決。設為“一根繩子隨機剪三段”，則要滿足的條件為：，設事件為“三段圍成三角形”，則任意兩邊之和大于第三邊，所以滿足的條件為，在同一坐標系作出的可行域。則答案：第86煉事件的關(guān)系與概率運算一、基礎知識1、事件的分類與概率：（1）必然事件：一定會發(fā)生的事件，用表示，必然事件發(fā)生的概率為（2）不可能事件：一定不會發(fā)生的事件，用表示，不可能事件發(fā)生的概率為（3）隨機事件：可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，用字母進行表示，隨機事件的概率2、事件的交并運算：（1）交事件：若事件發(fā)生當且僅當事件與事件同時發(fā)生，則稱事件為事件與事件的交事件，記為，簡記為多個事件的交事件：：事件同時發(fā)生（2）并事件：若事件發(fā)生當且僅當事件與事件中至少一個發(fā)生（即發(fā)生或發(fā)生），則稱事件為事件與事件的并事件，記為多個事件的并事件：：事件中至少一個發(fā)生3、互斥事件與概率的加法公式：（1）互斥事件：若事件與事件的交事件為不可能事件，則稱互斥，即事件與事件不可能同時發(fā)生。例如：投擲一枚均勻的骰子，設事件“出現(xiàn)1點”為事件，“出現(xiàn)3點”為事件，則兩者不可能同時發(fā)生，所以與互斥（2）若一項試驗有個基本事件：，則每做一次實驗只能產(chǎn)生其中一個基本事件，所以之間均不可能同時發(fā)生，從而兩兩互斥（3）概率的加法公式（用于計算并事件）：若互斥，則有例如在上面的例子中，事件為“出現(xiàn)1點或出現(xiàn)3點”由均勻的骰子可得，所以根據(jù)加法公式可得：（4）對立事件：若事件與事件的交事件為不可能事件，并事件為必然事件，則稱事件為事件的對立事件，記為，也是我們常說的事件的“對立面”，對立事件概率公式：，關(guān)于對立事件有幾點說明：①公式的證明：因為對立，所以，即互斥，而，所以，因為，從而②此公式也提供了求概率的一種思路：即如果直接求事件的概率所討論的情況較多時，可以考慮先求其對立事件的概率，再利用公式求解③對立事件的相互性：事件為事件的對立事件，同時事件也為事件的對立事件④對立與互斥的關(guān)系：對立關(guān)系要比互斥關(guān)系的“標準”更高一層。由對立事件的定義可知：對立，則一定互斥；反過來，如果互斥，則不一定對立（因為可能不是必然事件）4、獨立事件與概率的乘法公式：（1）獨立事件：如果事件（或）發(fā)生與否不影響事件（或）發(fā)生的概率，則稱事件與事件相互獨立。例如投擲兩枚骰子，設“第一個骰子的點數(shù)是1”為事件，“第二個骰子的點數(shù)是2”為事件，因為兩個骰子的點數(shù)不會相互影響，所以獨立（2）若獨立，則與，與，與也相互獨立（3）概率的乘法公式：若事件獨立，則同時發(fā)生的概率，比如在上面那個例子中，，設“第一個骰子點數(shù)為1，且第二個骰子點數(shù)為2”為事件，則。（4）獨立重復試驗：一項試驗，只有兩個結(jié)果。設其中一個結(jié)果為事件（則另一個結(jié)果為），已知事件發(fā)生的概率為，將該試驗重復進行次（每次試驗結(jié)果互不影響），則在次中事件恰好發(fā)生次的概率為①公式的說明：以“連續(xù)投擲次硬幣，每次正面向上的概率為”為例，設為“第次正面向上”，由均勻的硬幣可知，設為“恰好2次正面向上”，則有：而②的意義：是指在次試驗中事件在哪次發(fā)生的情況總數(shù)，例如在上面的例子中“3次投擲硬幣，兩次正面向上”，其中代表了符合條件的不同情況總數(shù)共3種5、條件概率及其乘法公式：（1）條件概率：（2）乘法公式：設事件，則同時發(fā)生的概率（3）計算條件概率的兩種方法：（以計算為例）①計算出事件發(fā)生的概率和同時發(fā)生的概率，再利用即可計算②按照條件概率的意義：即在條件下的概率為事件發(fā)生后，事件發(fā)生的概率。所以以事件發(fā)生后的事實為基礎，直接計算事件發(fā)生的概率例：已知6張彩票中只有一張有獎，甲，乙先后抽取彩票且不放回，求在已知甲未中獎的情況下，乙中獎的概率。解：方法一：按照公式計算。設事件為“甲未中獎”，事件為“乙中獎”，所以可得：，事件為“甲未中獎且乙中獎”，則。所以方法二：按照條件概率實際意義：考慮甲在抽取彩票后沒有中獎，則留給乙的情況是剩下的五張彩票中有一張是有獎的，所以乙中獎的概率為6、兩種乘法公式的聯(lián)系：獨立事件的交事件概率：含條件概率的交事件概率：通過公式不難看出，交事件的概率計算與乘法相關(guān)，且事件通常存在順承的關(guān)系，即一個事件發(fā)生在另一事件之后。所以通過公式可得出這樣的結(jié)論：交事件概率可通過乘法進行計算，如果兩個事件相互獨立，則直接作概率的乘法，如果兩個事件相互影響，則根據(jù)題意分出事件發(fā)生的先后，用先發(fā)生事件的概率乘以事件發(fā)生后第二個事件的概率（即條件概率）二、典型例題：例1：從這5個數(shù)中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)。上述事件中，是對立事件的是（）A.①B.②④C.③D.①③思路：任取兩數(shù)的所有可能為兩個奇數(shù)；一個奇數(shù)一個偶數(shù)；兩個偶數(shù)，若是對立事件，則首先應該是互斥事件，分別判斷每種情況：①兩個事件不是互斥事件，②“至少有一個奇數(shù)”包含“兩個都是奇數(shù)”的情況，所以不互斥，③“至少一個奇數(shù)”包含“兩個奇數(shù)”和“一奇一偶”所以與“兩個偶數(shù)”恰好對立，④“至少有一個奇數(shù)”和“至少有一個偶數(shù)”均包含“一奇一偶”的情況，所以不互斥。綜上所述，只有③正確答案：C例2：5個射擊選手擊中目標的概率都是，若這5個選手同時射同一個目標，射擊三次則至少有一次五人全部集中目標的概率是（）A.B.C.D.思路：所求中有“至少一次”，且若正面考慮問題所涉及的情況較多。所以考慮從問題的對立面入手，設所求事件為事件，則為“射擊三次沒有一次五人均命中目標”，考慮射擊一次五人沒有全命中目標的概率為，所以，從而可得答案：C例3：甲，乙，丙三人獨立的去譯一個密碼，分別譯出的概率為，則此密碼能譯出概率是（）A.B.C.D.思路：若要譯出密碼，則至少一個人譯出即可。設事件為“密碼譯出”，正面分析問題情況較多，所以考慮利用對立面，為“沒有人譯出密碼”，則，從而答案：C例4：某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪，假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率是_________思路：因為選手回答4個問題就晉級下一輪，所以說明后兩個回答結(jié)果正確，且第二次回答錯誤（否則第二次與第三次連續(xù)正確，就直接晉級了），第一次回答正確錯誤均可。所以答案：例5：擲3顆骰子，已知所得三個數(shù)都不一樣，求含有1點的概率思路：首先判斷出所求的為條件概率，即在3個數(shù)都不一樣的前提下，含有1點的概率，設事件表示“含有1點的概率”，事件為“擲出三個點數(shù)都不一樣”，事件為“三個點數(shù)都不一樣且有一個點數(shù)為1”，則有，，所以由條件概率公式可得：答案：例6：甲乙兩人進行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出。已知每一局甲，乙兩人獲勝的概率分別為，則甲勝出的概率為（）A.B.C.D.思路：考慮甲勝出的情況包含兩種情況，一種是甲第一局獲勝，一種是甲第一局輸了，第二局獲勝，設事件為“甲在第局獲勝”，事件為“甲勝出”，則，依題意可得：，兩場比賽相互獨立，所以從而答案：A例7：如圖，元件通過電流的概率均為，且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在之間通過的概率是（）A.B.C.D.思路：先分析各元件的作用，若要在之間通過電流，則必須通過，且這一組與兩條路至少通過一條。設為“通過”，則，設為“通過”，，那么“至少通過一條”的概率，從而之間通過電流的概率為答案：B例8：假設每一架飛機的引擎在飛行中出現(xiàn)的故障率為，且各引擎是否有故障是獨立的，已知4引擎飛機中至少有3個引擎正常運行，飛機就可成功飛行；2引擎飛機要2個引擎全部正常運行，飛機也可成功飛行；要使得4引擎飛機比2引擎飛機更安全，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：所謂“更安全”是指成功飛行的概率更高，所以只需計算兩種引擎成功的概率即可，引擎正常運行的概率為，設事件為“4引擎飛機成功飛行”，事件為“個引擎正常運行”，可知引擎運行符合獨立重復試驗模型，所以，所以。設事件為“2引擎飛機成功飛行”，則，依題意：，即，進而解出答案：B例9：從中，甲，乙兩人各任取一數(shù)（不重復），已知甲取到的是5的倍數(shù)，則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率是_______思路一:本題涉及條件概率的問題，設事件為“甲取到的數(shù)比乙大”，事件為“甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)”，則所求概率為。若用公式求解，則需求出，事件即為“甲取到了5的倍數(shù)且甲數(shù)大