考研數(shù)學(xué)二分類模擬197

考研數(shù)學(xué)二分類模擬197一、選擇題1.

=______

A．

B．

C．ln(1+lnx)-ln(1+2x)

D．ln(1+lnx)-2ln(1+2x)正確答案：A[解析]

故選A。

2.

設(shè)函數(shù)f(x)=(ex-1)(e2x-2)…(enx-n)，其中n為正整數(shù)，則f'(0)=______A.(-1)n-1(n-1)!B.(-1)n(n-1)!C.(-1)n-1n!D.(-1)nn!正確答案：A[解析]根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有

故選A。

具體型函數(shù)求導(dǎo)時，常采用直接計算的方法，但是在求0點處的導(dǎo)數(shù)值或特殊的情況下，可以考慮用導(dǎo)數(shù)的定義來求解。特別是當(dāng)求導(dǎo)過程比較復(fù)雜時，利用定義來求導(dǎo)有時會有奇效。

3.

對任意的x∈(-∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f'(0)=1，則f'(1)=______A.0B.1C.2D.以上都不正確正確答案：C[解析]由f'(0)=1可知f(x)在x=0處連續(xù)。令x=0，則f(1)=f2(0)=1，且由導(dǎo)數(shù)的定義可得

故選C。

4.

設(shè)函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)存在二階導(dǎo)數(shù)，且f(x)=f(-x)，當(dāng)x＜0時有f'(x)＜0，f"(x)＞0，則當(dāng)x＞0時，有______A.f'(x)＜0，f"(x)＞0B.f'(x)＞0，f"(x)＜0C.f'(x)＞0，f"(x)＞0D.f'(x)＜0，f"(x)＜0正確答案：C[解析]由f(x)=f(-x)可知，f(x)為偶函數(shù)，因可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，即f'(x)為奇函數(shù)，f"(x)為偶函數(shù)，因此當(dāng)x＜0時，有f'(x)＜0，f"(x)＞0；當(dāng)x＞0時，有f'(x)＞0，f"(x)＞0。故選C。

5.

已知函數(shù)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f'(x)=f2(x)，則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時，f(x)的n階導(dǎo)數(shù)是______A.n![f(x)]n+1B.n[f(x)]n+1C.[f(x)2nD.n![f(x)]2n正確答案：A[解析]由f'(x)=f2(x)可得，f"(x)=2f(x)f'(x)=2![f(x)]3。

假設(shè)f(k)(x)=k![f(x)]k+1，則

f(k+1)(x)=(k+1)k![f(x)]kf'(x)=(k+1)![f(x)]k+2，

由數(shù)學(xué)歸納法可知，f(n)(x)=n![f(x)]n+1對一切正整數(shù)成立。故選A。

6.

設(shè)函數(shù)f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，則在區(qū)間[0，1]上______A.當(dāng)f'(x)≥0時，f(x)≥g(x)B.當(dāng)f'(x)≥0時，f(x)≤g(x)C.當(dāng)f"(x)≥0時，f(x)≥g(x)D.當(dāng)f"(x)≥0時，f(x)≤g(x)正確答案：D[解析]方法一：令F(x)=g(x)-f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x-f(x)，則F(0)=F(1)=0，

且

F'(x)=-f(0)+f(1)-f'(x)，F(xiàn)"(x)=-f"(x)，

若f"(x)≥0，則F"(x)≤0，曲線F(x)在[0，1]上是向上凸的。又F(0)=F(1)=0，所以當(dāng)x∈[0，1]時，F(xiàn)(x)≥0，從而g(x)≥f(x)，故選D。

方法二：首先將函數(shù)變形為

g(x)=[f(1)-f(0)]x+f(0)，

易知直線g(x)過曲線f(x)上的兩個點(0，f(0))，(1，f(1))，則直線g(x)是曲線f(x)上的一條割線，當(dāng)f"(x)≥0時，曲線f(x)為凹函數(shù)，連接曲線上任意兩點的直線在曲線的上方，故g(x)≥f(x)，故選D。

本題中用到的曲線凹凸性的定義可以這樣記憶：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上任意兩點的連線都在曲線上方(下方)，則y=f(x)在[a，b]上為凹函數(shù)(凸函數(shù))。

另外，凹凸性還可以通過曲線和切線的關(guān)系來定義：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上任意一點的切線都在曲線上方(下方)，則y=f(x)在[a，b]上為凸函數(shù)(凹函數(shù))。

7.

設(shè)在[0，1]上f"(x)＞0，則f'(0)，f'(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)的大小順序是______A.f'(1)＞f'(0)＞f(1)-f(0)B.f'(1)＞f(1)-f(0)＞f'(0)C.f(1)-f(0)＞f'(1)＞f'(0)D.f'(1)＞f(0)-f(1)＞f'(0)正確答案：B[解析]由已知f"(x)＞0，x∈[0，1]，可得函數(shù)f'(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，又由拉格朗日中值定理，可得

f(1)-f(0)=f'(ξ)，ξ∈(0，1)。

因此有

f'(0)＜f'(ξ)＜f'(1)，

即可得

f'(0)＜f(1)-f(0)＜f'(1)。

故選B。

8.

設(shè)f(x)=x2(x-1)(x-2)，則f'(x)的零點個數(shù)為______A.0B.1C.2D.3正確答案：D[解析]容易驗證f(0)=f(1)=f(2)=0，因此由羅爾定理知至少存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使f'(ξ1)=f'(ξ2)=0成立，所以f'(x)至少有兩個零點。又f'(x)中含有因式x，因此可知x=0也是f'(x)的零點。故選D。

9.

設(shè)函數(shù)f(x)在R+上有界且可導(dǎo)，則______

A．當(dāng)時，必有

B．當(dāng)存在時，必有

C．當(dāng)時，必有

D．當(dāng)存在時，必有正確答案：B[解析]可以用反證法證明選項B是正確的。假設(shè)，則由拉格朗日中值定理可知，存在ξ，使得x＜ξ＜2x，所以當(dāng)x→+∞時，ξ→+∞，有

f(2x)-f(x)=f'(ξ)x→∞(x→+∞)，

但這與|f(2x)-f(x)|≤|f(2x)|+|f(x)|≤2M矛盾(|f(x)|≤M)。故選B。

10.

設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件則曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為______

A．2

B．-1

C．

D．-2正確答案：D[解析]將題中等式兩端同乘2，得

所以

由導(dǎo)數(shù)定義可知，f'(1)=-2。故選D。

11.

周期函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，周期為4，又則y=f(x)在點(5，f(5))處的切線斜率為______

A．

B．0

C．-1

D．-2正確答案：D[解析]因為f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)=f(x+4k)，其中k為整數(shù)，故有

f'(x)=f'(x+4k)，

取x=1，k=1，可得f'(1)=f'(5)。

又由

可得f'(1)=-2。故選D。

二、填空題1.

正確答案：[解析]因為則

所以

2.

正確答案：48[解析]根據(jù)參數(shù)方程的求導(dǎo)公式有：

從而

所以

3.

正確答案：[解析]由題干可知

當(dāng)時，有

4.

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程確定，則=______。正確答案：[解析]

則

5.

正確答案：[解析]

6.

已知f'(ex)=xe-x，且f(1)=0，則f(x)=______。正確答案：[解析]令ex=t，則x=lnt，于是有

對上式兩端同時積分得

由f(1)=0得C=0，故

7.

作變量替換x=lnt，方程可簡化為______。正確答案：[解析]由題干可得

將(1)(2)式代入中，整理可得

8.

函數(shù)f(x)=x2·2x在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(0)=______。正確答案：n(n-1)(ln2)n-2[解析]根據(jù)萊布尼茨公式有

從而

9.

已知函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上連續(xù)，且f(x)=(x+1)2+，則當(dāng)n≥2時，f(n)(0)=______。正確答案：5·2n-1[解析]由已知條件得f(0)=1，f'(x)=2(x+1)+2f(x)，則f'(0)=4，f"(x)=2+2f'(x)，且有f"(0)=10。

在等式f"(x)=2+2f'(x)兩邊同時對x求n-2階導(dǎo)可得f(n)(x)=2f(n-1)(x)。則

f(n)(0)=2f(n-1)(0)=2n-2f"(0)=5·2n-1。

10.

函數(shù)y=ln(1-2x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)y(n)(0)=______。正確答案：-2n(n-1)!(n=1，2，3，…)[解析]將ln(1+t)按照泰勒公式展開成級數(shù)的形式

令t=-2x，可得故y=ln(1-2x)在x=0處的n階導(dǎo)數(shù)為

y(n)(0)=-2n(n-1)!(n=1，2，3，…)。

11.

曲線在點處的切線方程為______。正確答案：[解析]曲線在點處的切線的斜率為，在曲線方程兩端同時對x求導(dǎo)，得

因此

所求的切線方程為

三、解答題1.

設(shè)奇函數(shù)f(x)在[-1，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1。證明：

(Ⅰ)存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；

(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f"(η)+f'(η)=1。正確答案：證明：(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x，則F'(x)=f'(x)-1，且

F(0)=f(0)=0，F(xiàn)(1)=f(1)-1=0，

由羅爾定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即f'(ξ)=1。

(Ⅱ)令G(x)=ex[f'(x)-1]，由(Ⅰ)知，存在ξ∈(0，1)，使G(ξ)=0，又因為f(x)為奇函數(shù)，故f'(x)為偶函數(shù)，知G(-ξ)=0，則存在η∈(-ξ，ξ)(-1，1)，使得G'(η)=0，即

eη[f'(η)-1]+eηf"(η)=0，即f"(η)+f'(η)=1。

2.

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，證明存在使得f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2。正確答案：證明：令則F(1)=F(0)=0。

在區(qū)間上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，

將上面兩個等式相加

即

F'(ξ)+F'(η)=f'(ξ)-ξ2+f'(η)-η2=0，

整理后得

f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2。

3.

設(shè)e＜a＜b＜e2，證明正確答案：證明：方法一：對函數(shù)y=ln2x在[a，b]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得

設(shè)

當(dāng)t＞e時，φ'(t)＜0，所以φ(t)單調(diào)減少，從而φ(ξ)＞φ(e2)，即

故有

方法二：設(shè)則

所以當(dāng)x＞e時，φ"(x)＜0，因此φ'(x)單調(diào)減少，從而當(dāng)e＜x＜e2時，

即當(dāng)e＜x＜e2時，φ(x)單調(diào)增加。

因此當(dāng)e＜x＜e2時，φ(b)＞φ(a)(e＜a＜b＜e2)，即

故有

4.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=1。證明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。正確答案：證明：設(shè)F(x)=exf(x)，由已知f(x)及ex在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，均滿足拉格朗日中值定理條件，因此存在ξ，η∈(a，b)，使得

F(b)-F(a)=ebf(b)-eaf(a)=F'(η)(b-a)=eη[f'(η)+f(η)](b-a)

及

eb-ea=eξ(b-a)。

將以上兩式相比，且由f(a)=f(b)=1，整理后有

eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。

5.

已知曲線點O(0，0)，點A(0，1)。設(shè)P是L上的動點，S是直線OA與直線AP及曲線L所圍圖形的面積。若P運(yùn)動到點(3，4)時沿x軸正向的速度是4，求此時S關(guān)于時間t的變化率。正確答案：解：設(shè)在t時刻，P點坐標(biāo)為則

對上式求導(dǎo)可得由題意可知，當(dāng)x(t)=3時，x'(t)=4，代入上式可得S'(t)|x=3=10。[解析]導(dǎo)數(shù)在物理上表示速度或加速度，或是廣義的速度：變化率。利用這些信息，我們可以解決一些實際問題。如果某一物理量或幾何量隨時間變化(是時間的函數(shù))，那么它的變化率就是該物理量或幾何量對時間的導(dǎo)數(shù)。

6.

設(shè)函數(shù)f(x)在(0，+∞)上二階可導(dǎo)，且f"(x)＞0，記un=f(n)，n=1，2，…，又un＜u2，證明正確答案：證明：對函數(shù)f(x)分別在區(qū)間[k，k+1](k=1，2，…，n，…)上使用拉格朗日中值定理

u2-u1=f(2)-f(1)=f'(ξ1)＞0，1＜ξ1＜2，

…………

un-1-un-2=f(n-1)-f(n-2)=f'(ξn-2)，n-2＜ξn-2＜n-1，

un-un-1=f(n)-f(n-1)=f'(ξn-1)，n-1＜ξn-1＜n。

因f"(x)＞0，故f'(x)嚴(yán)格單調(diào)增加，即有

f'(ξn-1)＞f'(ξn-2)＞…＞f'(ξ2)＞f'(ξ1)=u2-u1，

則有

un=(un-un-1)+(un-1-un-2)+…+(u2-u1)+u1

=f'(ξn-1)+f'(ξn-2)+…+f'(ξ1)+u1

＞f'(ξ1)+f'(ξ1)+…+f'(ξ1)+u1

=(n-1)(u2-u1)+u1，

于是有

7.

已知曲線L的方程

(Ⅰ)討論L的凹凸性；

(Ⅱ)過點(-1，0)引L的切線，求切點(x0，y0)，并寫出切線的方程；

(Ⅲ)求此切線與L(對應(yīng)于x≤x0的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積。正確答案：解：(Ⅰ)

當(dāng)t＞0時，有