考研數(shù)學(xué)二分類模擬213

考研數(shù)學(xué)二分類模擬213一、選擇題1.

設(shè)n階方陣A，B，C滿足關(guān)系式ABC=E，其中E是n階單位陣，則必有______A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E正確答案：D（江南博哥）[解析]由題設(shè)ABC=E，可知

A(BC)=E或(AB)C=E，

即A與BC以及AB與C均互為逆矩陣，從而有

(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，

比較四個(gè)選項(xiàng)，故選D。

2.

下列命題中正確的是______

①如果矩陣AB=E，則A可逆且A-1=B；

②如果n階矩陣A，B滿足(AB)2=E，則(BA)2=E；

③如果矩陣A，B均為n階不可逆矩陣，則A+B必不可逆；

④如果矩陣A，B均為n階不可逆矩陣，則AB必不可逆。A.①②B.①④C.②③D.②④正確答案：D[解析]如果A，B均為n階矩陣，命題①當(dāng)然正確，但是題中沒(méi)有n階矩陣這一條件，故①不正確。

例如

顯然A不可逆。

若A，B為n階矩陣，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，則可知A，B均可逆，于是仙A=B-1，從而B(niǎo)ABA=E，即(BA)2=E。因此②正確。

若設(shè)

顯然A，B都不可逆，但可逆，可知③不正確。

由于A，B均為n階不可逆矩陣，知|A|=|B|=0，且結(jié)合行列式乘法公式，有|AB|=|A||B|=0，故AB必不可逆。因此④正確。

故選D。

3.

設(shè)A，B均為n階矩陣，且AB=A+B，則

①若A可逆，則B可逆；

②若B可逆，則A+B可逆；

③若A+B可逆，則AB可逆；

④A-E可逆。

上述命題中，正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____A.1B.2C.3D.4正確答案：D[解析]由AB=A+B，有(A-E)B=A。若A可逆，則

|(A-E)B|=|A-E|×|B|=|A|≠0，

所以|B|≠0，即矩陣B可逆，從而①正確。

同①類似，由B可逆可得出A可逆，從而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故②正確。

因?yàn)锳B=A+B，若A+B可逆，則有AB可逆，即③正確。

對(duì)于④，用分組因式分解，即

AB-A-B+E=E，則有(A-E)(B-E)=E，

所以得A-E可逆，④正確。

故選D。

常用的矩陣可逆的充要條件有下面幾個(gè)：①存在可逆矩陣B，使得AB=BA=E；②|A|≠0；③r(A)=n；④齊次線性方程組Ax=0僅有零解；⑤非齊次線性方程組Ax=b有唯一解；⑥A的特征值全不為零。

4.

設(shè)A=E-2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1，則

①A是對(duì)稱矩陣；

②A2是單位矩陣；

③A是正交矩陣；

④A是可逆矩陣。

上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是______A.1B.2C.3D.4正確答案：D[解析]AT=(E-2ξξT)T=ET-(2ξξT)T=E-2ξξT=A，①成立。

A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-4ξξT+4ξξTξξT=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。

由①②，得A2=AAT=E，故A是正交矩陣，③成立。

由③知正交矩陣是可逆矩陣，且A-1=AT，④成立。

故選D。

5.

設(shè)A為n(n≥2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B，A*，B*分別為A，B的伴隨矩陣，則______A.交換A*的第1列與第2列得B*B.交換A*的第1行與第2行得B*C.交換A*的第1列與第2列得-B*D.交換A*的第1行與第2行得-B*正確答案：C[解析]由題設(shè)，存在初等矩陣E12(交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故

即A*E12=-B*，故選C。

6.

設(shè)A為n階可逆矩陣，且n≥2，則(A-1)*=______A.|A|A-1B.|A|AC.|A-1|A-1D.|A-1|A正確答案：D[解析]根據(jù)伴隨矩陣的定義可知

(A-1)*=|A-1|(A-1)-1=|A-1|A。

故選D。

7.

設(shè)A為3階矩陣，P=(α1，α2，α3)為可逆矩陣，使得P-1AP=則A(α1+α2+α3)=______A.α1+α2B.α2+2α3C.α2+α3D.α1+2α2正確答案：B[解析]因?yàn)棣?+α2+α3=(α1，α2，α3)(1，1，1)T=P(1，1，1)T，所以

8.

設(shè)則B=______A.P1P3AB.P2P3AC.AP3P2D.AP1P3正確答案：B[解析]矩陣A作兩次初等行變換得到矩陣B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩陣A作列變換，故應(yīng)排除。該變換或者把矩陣A第一行的2倍加至第三行后，再互換第一、二兩行得到B；或者把矩陣A的第一、二兩行互換后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者。故選B。

二、填空題1.

設(shè)A*為A的伴隨矩陣，則(A*)-1=______。正確答案：[解析]由A*=|A|A-1可得

2.

設(shè)正確答案：[解析]|A|=1，|B|=(2-1)(3-1)(3-2)=2，所以A，B均可逆，則也可逆。

由A*A=AA*=|A|E可得|A*|=|A|2-1=1，同理可得|B*|=|B|3-1=4，且

如果A，B均為可逆矩陣，則均可逆，且

3.

設(shè)矩陣A的伴隨矩陣則A=______。正確答案：[解析]由AA*=|A|E可得A=|A|(A*)-1，對(duì)等式兩端取行列式并結(jié)合已知條件，可得|A*|=-8=|A|3，因此|A|=-2，又

所以

4.

已知三階矩陣A的行列式|A|=-3，A*為A的伴隨矩陣，AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置。如果kA的逆矩陣為則k=______。正確答案：[解析]由|A|=-3可知A*=|A|A-1=-3A-1，即k4的逆矩陣為而(kA)-1=k-1A-1，所以

5.

已知ABC=D，其中則B*=______。正確答案：[解析]|A|=1，|C|=-1，|D|=6，即矩陣A，B，D均可逆。由ABC=D可得B=A-1DC-1，且|B|=|A-1||D||C-1|=-6。于是

6.

已知矩陣X滿足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X=______。正確答案：[解析]左乘矩陣A，并把等式AA*=|A|E代入已知矩陣方程，得|A|X=E+2AX，移項(xiàng)可得(|A|E-2A)X=E，因此X=(|A|E-2A)-1。

已知|A|=4，所以

7.

已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，-1)T，α3=(-1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(-1，1)T，Aα3=(3，-4)T，則A=______。正確答案：[解析]利用分塊矩陣，得A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=那么

8.

設(shè)矩陣等價(jià)，則a=______。正確答案：2[解析]記對(duì)矩陣B作初等行變換可得

則r(B)=2。由于矩陣A與B等價(jià)，所以r(A)=2，則

|A|=(a-2)(a+1)2=0，

故a=2或-1。但當(dāng)a=-1時(shí)，r(A)=1，所以a=2。

9.

設(shè)三階方陣A，B滿足A-1BA=6A+BA，且則B=______。正確答案：[解析]將A-1BA=6A+BA變形可得(A-1-E)BA=6A，即B=6(A-1-E)-1。

又因?yàn)樗?/p>

10.

已知且A2-AB=E，其中E是三階單位矩陣，則B=______。正確答案：[解析]|A|=-1≠0，在等式A2-AB=E兩邊同時(shí)左乘A-1得A-B=A-1，則

三、解答題1.

已知AB=A-B，證明A，B滿足乘法交換律。正確答案：證明：由AB=A-B可得E+A-B-AB=E，即(E+A)(E-B)=E，這說(shuō)明E+A與E-B互為逆矩陣，所以(E-B)(E+A)=E，將括號(hào)展開(kāi)得BA=A-B，從而可得AB=BA，即A，B滿足乘法交換律。

2.

已知三階矩陣A和三維向量x，使得x，Ax，A2x線性無(wú)關(guān)，且滿足

A3x=3Ax-2A2x。

(Ⅰ)記P=(x，Ax，A2x)，求三階矩陣B，使A=PBP-1；

(Ⅱ)計(jì)算行列式|A+E|。正確答案：解：(Ⅰ)令等式A=PBP-1兩邊同時(shí)右乘矩陣P，得AP=PB，即

A(x，Ax，A2x)=(Ax，A2x，A3x)=(Ax，A2x，3Ax-2A2x)=所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知A～B，那么A+E～B+E，從而

3.

設(shè)其中ai≠0，i=1，2，…，n，求A-1。正確答案：解：令由分塊矩陣的逆可得

4.

設(shè)A為n階可逆矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣

其中A*是A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣。

(Ⅰ)計(jì)算并化簡(jiǎn)PO；

(Ⅱ)證明矩陣Q可逆的充分必要條件是αTA-1α≠b。正確答案：解：(Ⅰ)由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A-1有

(Ⅱ)由下三角形行列式及分塊矩陣行列式的運(yùn)算，有

因?yàn)榫仃嘇可逆，行列式|A|≠0，故|Q|=|A|(b-αTA-1α)。

由此可知，Q可逆的充要條件是b=αTA-1α≠0，即αTA-1α≠b。

5.

設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明：

(Ⅰ)若|A|=0，則|A*|=0；

(Ⅱ)|A*|=|A|n-1。正確答案：證明：(Ⅰ)(反證法)假設(shè)|A*|≠0，則A*(A*)-1=E。又因?yàn)锳A*=|A|E，且|A|=0，故

A=AE=AA*(A*)-1=|A|E(A*)-1=0，

所以A*=O。這與|A*|≠0矛盾，故當(dāng)|A|=0時(shí)，有|A*|=0。

(Ⅱ)由于AA*=|A|E，兩端同時(shí)取行列式得

|A||A*|=|A|n。

當(dāng)|A|≠0時(shí)，|A*|=|A|n-1；當(dāng)|A|=0時(shí)，|A*|=0。

綜上，有|A*|=|A|n-1成立。

6.

設(shè)A為n階可逆矩陣，A*為A的伴隨矩陣。證明(A*)T=(AT)*。正確答案：證明：因?yàn)锳可逆，所以|A|=|AT|，且AA-1=E。

在AA-1=E兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置可得(A-1)TAT=E，即(AT)-1=(A-1)T，所以

(A*)T=(|A|A-1)T=|A|(A-1)T=|AT|(AT)-1=(AT)*。

7.

設(shè)A為n階方陣，且n≥2。證明|A*|=|(-A)*|。正確答案：證明：方法一：設(shè)A=(aij)，|A|中元素aij的代數(shù)余子式為Aij，則|-A|中-aij的代數(shù)余子式Bij=(-1)n-1Aij。于是，(-A)*=(-1)n-1A*。所以

|(-A)*|=|(-1)n-1A*|=[(-1)n-1]n|A*|=|A*|。

方法二：若A不可逆，則(-A)和A*也不可逆，從而(-A)*也不可逆，故|A*|=|(-A)*|=0。

若A可逆，則由AA*=|A|E可得(-A)(-A)*=|-A|E，于是

(-A)*=|-A|(-A)-1=(-1)n|A|·(-1)A-1=(-1)n-1A*，

故有

|(-A)*|=|(-1)n-1A*|=(-1)(n-1)n|A*|=|A*|。

8.

已知A為n(n≥3)階非零實(shí)矩陣，Aij為A中元素aij的代數(shù)余子式。證明：

(Ⅰ)aij=AijATA=E，且|A|=1；

(Ⅱ)aij=-AijATA=E，且|A|=-1。正確答案：證明：(Ⅰ)當(dāng)aij=Aij時(shí)，有AT=A*，則ATA=A*A=|A|E。由于A*為n階非零實(shí)矩陣(aij不全為零)，所以而tr(ATA)=tr