考研數(shù)學(xué)二分類模擬220

考研數(shù)學(xué)二分類模擬220一、選擇題1.

設(shè)三階矩陣A的特征值是0，1，-1，則下列選項(xiàng)中不正確的是______

A.矩陣A-E是不可逆矩陣B.矩陣A+E和對(duì)角矩陣相似C.矩陣A屬于1與-1的特征（江南博哥）向量相互正交D.方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成正確答案：C[解析]因?yàn)榫仃嘇的特征值是0，1，-1，所以矩陣A-E的特征值是-1，0，-2。由于λ=0是矩陣A-E的特征值，所以A-E不可逆。

因?yàn)榫仃嘇+E的特征值是1，2，0，矩陣A+E有三個(gè)不同的特征值，所以A+E可以相似對(duì)角化(或由A～ΛA+E～Λ+E，可知A+E可相似對(duì)角化)。

由矩陣A有一個(gè)特征值等于0可知r(A)=2，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由n-r(A)=3-2=1個(gè)解向量構(gòu)成。

選項(xiàng)C的錯(cuò)誤在于，若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則不同特征值的特征向量相互正交，而一般n階矩陣，不同特征值的特征向量?jī)H僅線性無(wú)關(guān)并不一定正交。故選C。

2.

設(shè)A為n階可逆矩陣，λ是A的一個(gè)特征值，則A的伴隨矩陣A*的特征值之一是______A.λ-1|A|nB.λ-1|A|C.λ|A|D.λ|A|n正確答案：B[解析]設(shè)向量x(x≠0)是與λ對(duì)應(yīng)的特征向量，則Ax=λx。兩邊左乘A*，結(jié)合A*A=|A|E得

A*Ax=A*(λx)，

即

|A|x=λA*x，

從而

可見(jiàn)A*有特征值故選B。

3.

已知A是四階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若A*的特征值是1，-1，2，4，那么不可逆矩陣是______A.A-EB.2A-EC.A+2ED.A-4E正確答案：C[解析]因?yàn)锳*的特征值是1，-1，2，4，所以|A*|=-8，又|A*|=|A|4-1，因此|A|3=-8，于是|A|=-2。那么，矩陣A的特征值是-2，2，-1，。因此A-E的特征值是-3，1，-2，。因?yàn)樘卣髦捣橇悖示仃嘇-E可逆。

同理可知，矩陣A+2E的特征值中含有0，所以矩陣A+2E不可逆。故選C。

如果λ是矩陣A的特征值，x是A的屬于λ的特征向量，則A的多項(xiàng)式f(A)的特征值為f(λ)，x是f(A)的屬于f(λ)的特征向量；當(dāng)A可逆時(shí)，是A*的特征值，x是A*的屬于的特征向量。

4.

已知A是n階可逆矩陣，那么與A有相同特征值的矩陣是______A.ATB.A2C.A-1D.A-E正確答案：A[解析]由于|λE-AT|=|(λE-A)T|=|λE-A|，A與AT有相同的特征多項(xiàng)式，所以A與AT有相同的特征值。

由Aα=λα，α≠0可得到

A2α=λ2α，A-1α=λ-1α，(A-E)α=(λ-1)α，

說(shuō)明A2，A-1，A-E與A的特征值是不一樣的(但A的特征向量也是它們的特征向量)。故選A。

5.

設(shè)λ=2是非奇異矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣有特征值______

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]因?yàn)棣藶锳的非零特征值，所以λ2為A2的特征值，為(A2)-1的特征值。因此的特征值為。故選B。

6.

已知A是三階矩陣，r(A)=1，則λ=0______A.必是A的二重特征值B.至少是A的二重特征值C.至多是A的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都有可能正確答案：B[解析]A的對(duì)應(yīng)于λ的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)小于或等于特征值的重?cái)?shù)。r(A)=1，即r(0E-A)=1，(0E-A)x=0必有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，故λ=0的重?cái)?shù)大于等于2，其至少是二重特征值，也可能是三重。例如r(A)=1，但λ=0是三重特征值。故選B。

7.

三階矩陣A的特征值全為零，則必有______A.秩r(A)=0B.秩r(A)=1C.秩r(A)=2D.條件不足，不能確定正確答案：D[解析]例如下列矩陣

它們的特征值全是零，而秩分別為0，1，2。所以僅由特征值全是零是不能確定矩陣的秩的。故選D。

8.

已知α1=(-1，1，a，4)T，α2=(-2，1，5，a)T，α3=(a，2，10，1)T是四階方陣A的三個(gè)不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，則______A.a≠5B.a≠-4C.a≠-3D.a≠-3且a≠-4正確答案：A[解析]矩陣A的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必線性無(wú)關(guān)，所以r(α1，α2，α3)=3。由于

所以a≠5。故選A。

二、填空題1.

設(shè)有二重特征根，則a=______。正確答案：[解析]

如果λ=2是二重根，則λ=2是λ2-2λ-2(a-2)=0的單根，故a=2。

如果λ2-2λ-2(a-2)=0是完全平方式，式則有Δ=4+8(a-2)=0，滿足λ=1是一個(gè)二重根，此時(shí)

2.

矩陣的非零特征值為_(kāi)_____。正確答案：4[解析]矩陣A的特征多項(xiàng)式為

所以非零特征值為4。

3.

設(shè)矩陣的一個(gè)特征值為λ1=-3，且A的三個(gè)特征值乘積為-12，則a=______，b=______，A的其他特征值為_(kāi)_____。正確答案：1，2或-2，λ2=λ3=2[解析]由題意可得|A|=-4a-2b2=-12，所以2a+b2=6。

又A的特征多項(xiàng)式為

而A有特征值-3，所以λ1=-3必是方程λ2-(a-2)λ-6=0的根，故a=1，b=2或-2。

由|λE-A|=(λ-2)(λ2+λ-6)=(λ-2)2(λ+3)可得矩陣A的另外兩個(gè)特征值為λ2=λ3=2。

4.

設(shè)矩陣有一個(gè)特征值為0，則a=______，A的其他特征值為_(kāi)_____。正確答案：1；2，2[解析]因A有一個(gè)零特征值，所以|A|=2(a-1)=0，即a=1。

A的特征多項(xiàng)式為

解得A的其他特征值為λ=2(二重)。

5.

已知λ=12是的特征值，則a=______。正確答案：4[解析]因?yàn)棣?12是A的特征值，所以|12E-A|=0，即

所以a=4。

6.

已知矩陣的特征值的和為3，特征值的乘積是-24，則b=______。正確答案：-3[解析]矩陣的所有特征值的和等于該矩陣對(duì)角線元素的和，即a+3+(-1)=3，所以a=1。又因?yàn)榫仃囁刑卣髦档某朔e等于矩陣對(duì)應(yīng)行列式的值，因此有

所以b=-3。

7.

已知A*是A的伴隨矩陣，那么A*的特征值是______。正確答案：1，7，7[解析]由矩陣A的特征多項(xiàng)式

可得矩陣A的特征值為7，1，1。所以|A|=7×1×1=7。

如果Aα=λα，則有，因此A*的特征值是1，7，7。

8.

已知α=(1，3，2)T，β=(1，-1，-2)T，A=E-αβT，則A的最大的特征值為_(kāi)_____。正確答案：7[解析]因?yàn)榉橇懔邢蛄縜，β的秩均為1，所以矩陣αβT的秩也為1，于是αβT的特征值為0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=-6。所以A=E-αβT的特征值為1，1，7，則A的最大的特征值為7。

三、解答題1.

n階矩陣求A的特征值和特征向量。正確答案：解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為

則A的特征值為1+(n-1)b和1-b(n-1重)。

①當(dāng)b=0時(shí)，A的特征值是1(n重)，任意n維非零列向量均為A的特征向量。

②當(dāng)b≠0時(shí)，對(duì)方程組{[1+(n-1)]bE-A}x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得

解得上述方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(1，1，1，…，1)T。所以A的屬于λ=1+(n-1)b的全部特征向量為

kξ1=k(1，1，1，…，1)T，k≠0。

對(duì)方程組[(1-b)E-A]x=0的系數(shù)矩陣作初等行變換得

解得上述方程組的基礎(chǔ)解系為

ξ2=(1，-1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，-1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，-1)T，

所以A的屬于λ=1-b的全部特征向量為

k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn是不全為零的常數(shù)。

2.

設(shè)向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且滿足條件αTβ=0。記n階矩陣A=αβT。

(Ⅰ)求A2；

(Ⅱ)求矩陣A的特征值和特征向量。正確答案：解：(I)由αTβ=0可知α與β正交，則A2=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=O。

(Ⅱ)設(shè)λ為A的特征值，則λ2為A2的特征值。因A2=O，所以A2的特征值全為零，故λ=0，即A的特征值全為零，于是方程組Ax=0的非零解就是A的特征向量。不妨設(shè)a1≠0，b1≠0，對(duì)A作初等行變換得

則Ax=0的基礎(chǔ)解系為

(-b2，b1，0，…，0)T，(-b3，0，b1，…，0)T，…，(-bn，0，0，…，b1)T，

故矩陣A的特征向量為

k1(-b2，b1，0，…，0)T+k2(-b3，0，b1，…，0)T+…+kn-1(-bn，0，0，…，b1)T，

其中k1，k2，…，kn-1不全為零。

3.

設(shè)矩陣B=P-1A*P，求B+2E的特征值與特征向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為三階單位矩陣。正確答案：解：設(shè)A的特征值為λ，對(duì)應(yīng)特征向量為η，則有Aη=λη。由于|A|=7≠0，所以λ≠0。

又因A*A=|A|E，故有于是有

因此，為B+2E的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為P-1η。

由于

故A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=7。

當(dāng)λ1=λ2=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的兩個(gè)特征向量可取為

當(dāng)λ3=7時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量可取為

因此，B+2E的三個(gè)特征值分別為9，9，3。

對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為

其中k1，k2是不全為零的任意常數(shù)；

對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為

其中k3是不為零的任意常數(shù)。

4.

設(shè)矩陣行列式|A|=-1，又A*屬于特征值λ0的一個(gè)特征向量為α=(-1，-1，1)T，求a，b，c，及λ0的值。正確答案：解：AA*=|A|E=-E。對(duì)于A*α=λ0α，用A左乘等式兩端，得

由此可得

由(1)-(3)得λ0=1。將λ0=1代入(2)和(1)，得b=-3，a=c。

由|A|=-1和a=c，有即得a=c=2。

故a=2，b=-3，c=2，λ0=1。

5.

已知λ3，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相應(yīng)的特征向量且線性無(wú)關(guān)。證明如果α1+α2+α3仍是A的特征向量，則λ1=λ2=λ3。正確答案：證明：若α1+α2+α3是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則

A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。

又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有

(λ-λ1)α1+(λ-λ2)α2+(λ-λ3)α3=0。

因?yàn)棣?，α2，α3線性無(wú)關(guān)，故λ-λ1=0，λ-λ2=0，λ-λ3=0，即λ1=λ2=λ3。

6.

設(shè)A為正交矩陣，且|A|=-1。證明λ=-1是A的特征值。正確答案：證明：要證λ=-1是A的特征值，需證|A+E|=0。

因?yàn)?/p>

|A+E|=|A+ATA|=|(E+AT)A|=|E+AT||A|=-|A+E|，

所以|A+E|=0，故λ=-1是A的特征值。

7.

已知的一個(gè)特征向量。

(Ⅰ)求參數(shù)a，b及特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值；

(Ⅱ)問(wèn)A能不能相似對(duì)角化?并說(shuō)明理由。正確答案：解：(Ⅰ)設(shè)λ是特征向量p所對(duì)應(yīng)的特征值，根據(jù)特征值的定義，有(A-λE)p=0，即

從而有方程組解得a=-3，b=0，且p所對(duì)應(yīng)的特征值λ=-1。

(Ⅱ)A的特征多項(xiàng)式

得A的特征值為λ=-1(三重)。

若A能相似對(duì)角化，則特征值λ=-1有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，而

故r(A+E)=2，所以齊次線性方程組(A+E)x=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)解向量，A不能相似對(duì)角化。

8.

設(shè)矩陣的特征值有一個(gè)二重根，求a的值，并討論矩陣A是否可相似對(duì)角化。正確答案：解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為

如果λ=2是單根，則λ2-8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即則A的特征值是2，4，4，而r(4E-A)=2，故λ=4只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而A不能相似對(duì)角化。

如果λ=2是二重特征值，則將λ=2代入λ2-8λ+18+3a=0可得a=-2。于是λ2-8λ+18+3a=(λ-2)(λ-6)。則矩陣A的特征值是2，2，6，而r(2E-A)=1，故λ=2有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，從而A可以相似對(duì)角化。[解析]判斷三階矩陣是否可相似對(duì)角化的三種可能的情況：三個(gè)特征值互不相同(即有三個(gè)單特征值)，可對(duì)角化；僅有一個(gè)三重特征值(設(shè)為λ)，當(dāng)且僅當(dāng)3-r(A-λE)=3時(shí)，即A=λE時(shí)，可對(duì)角化；有一個(gè)二重特征值λ1和一個(gè)單特征值λ2(本題的情況)，當(dāng)且僅當(dāng)3-r(A-λ1E)=2，即r(A-λ1E)=1時(shí)，可對(duì)角化。

9.

已知矩陣

(Ⅰ)求A99；

(Ⅱ)設(shè)三階矩陣B=(α1，α2，α3)滿足B2=BA，記B100=(β1，β2，β3)，將β1，β2，β3分別表示為α1，α2，α3的線性組合。正確答案：解：(Ⅰ)矩陣A的特征多項(xiàng)式為

則A的特征值為λ1=-1，λ2=-2，λ3=0。

解線性方程組(λiE-A)x=0(i=1，2，3)可得特征值λ1=-1，λ2=-2，λ3=