考研數(shù)學二分類模擬222

考研數(shù)學二分類模擬222一、選擇題1.

已知矩陣那么下列矩陣中

與矩陣A相似的矩陣個數(shù)為______A.1B.2C.3D.4正確答案：C[解析]二階矩陣A有兩個不同的特征值1和3，因此那么只要和矩陣Λ有相同的特征值，它就一定和Λ相似，也就一定與A相似。

①和②分別是上三角和下三角矩陣，且特征值是1和3，所以它們均與A相似，對于③和④，由

可見④與A相似，而③與A不相似。故選C。

2.

設矩陣則______A.A與C相似，B與C相似B.A與C相似，B與C不相似C.A與C不相似，B與C相似D.A與C不相似，B與C不相似正確答案：B[解析]由|λE-A|=0可知，矩陣A的特征值為1，2，2。又因為

所以3-r(2E-A)=2，故矩陣A可相似對角化，且

由|λE-B|=0可知，矩陣B的特征值為1，2，2。又因為

所以3-r(2E-B)=1，故矩陣B不可相似對角化。

矩陣C本身就是對角矩陣，且其特征值為1，2，2，所以A與C相似，B與C不相似。

如果已知矩陣A為對角矩陣，判斷其他矩陣與A是否相似，則先求出其他矩陣的特征值并判斷這些矩陣是否可相似對角化。在能相似對角化的前提下，某矩陣的特征值與A相同，則其與A相似，否則，其與A不相似。

3.

矩陣相似的充分必要條件為______A.a=0，b=2B.a=0，b為任意常數(shù)C.a=2，b=0D.a=2，b為任意常數(shù)正確答案：B[解析]易知的特征值是2，b，0，則的特征值也應該是2，b，0。

事實上，

將a=0代入可知，A的特征值是2，b，0。因此兩個矩陣相似，且與b的取值是無關(guān)的，故選B。

4.

下列矩陣中，不能相似對角化的矩陣是______

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]選項A是實對稱矩陣，實對稱矩陣必可以相似對角化。

選項B是下三角矩陣，主對角線元素就是矩陣的特征值，因而矩陣有三個不同的特征值，所以矩陣必可以相似對角化。

選項c是秩為1的矩陣，由|λE-A|=λ3-4λ2，可知矩陣的特征值是4，0，0。對于二重根λ=0，由秩r(0E-A)=r(A)=1可知齊次方程組(0E-A)x=0的基礎解系有3-1=2個線性無關(guān)的解向量，即λ=0時有兩個線性無關(guān)的特征向量，從而矩陣必可以相似對角化。

選項D是上三角矩陣，主對角線上的元素1，1，-1就是矩陣的特征值，對于二重特征值λ=1，由

可知齊次線性方程組(E-A)x=0只有3-2=1個線性無關(guān)的解向量，即λ=1時只有一個線性無關(guān)的特征向量，故矩陣不能相似對角化。故選D。

5.

設A是三階矩陣，其特征值是1，3，-2，相應的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，則P-1AP=______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由Aα2=3α2，有A(-α2)=3(-α2)，即當α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時，-α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理，2%仍是矩陣A屬于特征值λ=-2的特征向量。

當P-1AP=Λ時，P由A的特征向量構(gòu)成，Λ由A的特征值構(gòu)成，且P中特征向量與Λ中特征值的位置是對應一致的，已知矩陣A的特征值是1，3，-2，故對角矩陣Λ應當由1，3，-2構(gòu)成，因此排除選項B、C。由于2α3是屬于λ=-2的特征向量，所以-2在對角矩陣Λ中應當是第二列。故選A。

6.

已知α1是矩陣A屬于特征值λ=1的特征向量，α2與α3是矩陣A屬于特征值λ=5的特征向量，那么矩陣P不可能是______A.(α1，-α2，α3)B.(α1，α2+α3，α2-2α3)C.(α1，α3，α2)D.(α1+α2，α1-α2，α3)正確答案：D[解析]若P=(α1，α2，α3)，則有AP=PΛ，即

(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，

可見αi是矩陣A屬于特征值λi(i=l，2，3)的特征向量，又因矩陣P可逆，因此α1，α2，α3線性無關(guān)。

若α是屬于特征值λ的特征向量，則-α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項A正確。

若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α與α的線性組合仍是屬于特征值λ的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=5的線性無關(guān)的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3線性無關(guān)，故選項B正確。

對于選項C，因為α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確。故選項C正確。

由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1-α2不再是矩陣A的特征向量，故選項D錯誤。故選D。

7.

已知三階矩陣A的特征值為0，1，2。設B=A3-2A2，則r(B)=______A.1B.2C.3D.不能確定正確答案：A[解析]因為矩陣A有三個不同的特征值，所以A必能相似對角化，即存在可逆矩陣P，使得

于是

則矩陣B的三個特征值分別為0，O，-1，故r(B)=1。故選A。

8.

設A為n階實對稱矩陣，則______A.A的n個特征向量兩兩正交B.A的n個特征向量組成單位正交向量組C.對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E-A)=n-kD.對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E-A)=k正確答案：C[解析]實對稱矩陣A必可相似對角化，A的屬于k重特征值λ。的線性無關(guān)的特征向量必有k個，故r(λ0E-A)=n-k。

需要注意的是：實對稱矩陣A的特征向量不一定兩兩正交，但屬于不同特征值的特征向量一定正交；n個特征向量不一定是單位正交向量組。故選C。

二、填空題1.

若矩陣只有一個線性無關(guān)的特征向量，則這個線性無關(guān)的特征向量是______。正確答案：k(1，0，1)T，k≠0[解析]因A只有一個線性無關(guān)的特征向量，所以A的特征值必是三重的，且r(λE-A)=2。由tr(A)=λ1+λ2+λ3=9可得λ1=λ2=λ3=3。于是

顯然a≠1。再由(3E-A)x=0的解得特征值λ=3對應的特征向量為(1，0，1)T。故線性無關(guān)的特征向量是k(1，0，1)T，k≠0。

2.

已知矩陣有兩個線性無關(guān)的特征向量，則a=______。正確答案：-1[解析]A的特征多項式為

所以矩陣A的特征值是-1，且為三重特征值，但是A只有兩個線性無關(guān)的特征向量，故

r(-E-A)=1，

因此a=-1。

3.

設矩陣的一個特征向量為則a=______。正確答案：-1[解析]根據(jù)特征向量的定義可得即3+2a=1，可得a=-1。

如果α是矩陣A的特征向量，則Aα和向量α線性相關(guān)，且它們的對應分量成正比。

4.

已知有三個線性無關(guān)的特征向量，則x=______。正確答案：0[解析]由A的特征方程

可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=-1。

因為A有三個線性無關(guān)的特征向量，所以λ=1必有兩個線性無關(guān)的特征向量，因此r(E-A)=3-2=1，根據(jù)

得x=0。

5.

已知矩陣和對角矩陣相似，則a=______。正確答案：-2[解析]因為

所以矩陣A的特征值分別為2，3，3。因為矩陣A和對角矩陣相似，所以對應于特征值3有兩個線性無關(guān)的特征向量，即(3E-A)x=0有兩個線性無關(guān)的解，因此矩陣3E-A的秩為1。

可見a=-2。

6.

設三階方陣A的特征值是1，2，3，它們所對應的特征向量依次為α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，則P-1AP=______。正確答案：[解析]因為3α3，α1，2α2分別為A的對應特征值3，1，2的特征向量，所以

7.

設A為3階矩陣，α1，α2，α3為線性無關(guān)的向量組，若Aα1=2α1+α2+α3，Aα2=α2+2α3，Aα3=-α2+α3，則A的實特征值為______。正確答案：2[解析]由Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α1+α3，可得

由于α1，α2，α3線性無關(guān)，故從而A與B有相同的特征值。

因

故A的實特征值為2。

如果某些矩陣的特征值不容易求出，則可以根據(jù)相似矩陣必具有相同的特征值，將該矩陣轉(zhuǎn)化為與之相似的另一個容易求特征值的矩陣。

8.

設A是三階實對稱矩陣，特征值分別為0，1，2，如果特征值0和1對應的特征向量分別為α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T，則特征值2對應的特征向量是______。正確答案：t(-1，0，1)T，t≠0[解析]設所求的特征向量為α=(x1，x2，x3)T，因為實對稱矩陣不同的特征值對應的特征向量是正交的，故有

所以對應于特征值2的特征向量是t(-1，0，1)T，t≠0。

9.

設二階實對稱矩陣A的一個特征值為λ1=1，屬于λ1的特征向量為(1，-1)T，若|A|=-2，則A=______。正確答案：[解析]設矩陣A的特征值λ1=1和λ2對應的特征向量分別為α1=(1，-1)T和α2=(x1，x2)T。

實對稱矩陣必可相似對角化，即存在可逆矩陣Q，使得而相似矩陣的行列式相等，所以即λ2=-2。

又實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以，即x1-x2=0。方程組x1-x2=0的基礎解系為α2=(1，1)T。

三、解答題1.

已知a是常數(shù)，且矩陣可經(jīng)初等列變換化為矩陣B=

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)求滿足AP=B的可逆矩陣P。正確答案：解：(Ⅰ)由題意可知：矩陣A與B是等價的，故r(A)=r(B)。

對矩陣A和B分別進行初等行變換，即

顯然，r(A)=2，故a=2。

(Ⅱ)令

P=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，

由AP=B可知Aξi=βi，i=1，2，3，即ξi為Ax=βi的解。

因為

所以導出組的基礎解系為(-6，2，1)T，三個非齊次線性方程組的特解分別為(3，-1，0)T，(4，-1，0)T，(4，-1，0)T，故三個線性方程組的通解分別為

ξ1=(3，-1，0)T+k1(-6，2，1)T，

ξ2=(4，-1，0)T+k2(-6，2，1)T，

ξ3=(4，-1，0)T+k3(-6，2，1)T，

則

對P作初等行變換可得

由于P可逆，故k2≠k3。

2.

A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，且

(Ⅰ)求矩陣A的所有特征值與特征向量；

(Ⅱ)求矩陣A。正確答案：解：(Ⅰ)由即特征值λ1=-1，λ2=1對應的特征向量為

又由r(A)=2＜3可知，A有一個特征值為0。設λ3=0對應的特征向量為與兩兩正交，于是得是特征值0對應的特征向量。

因此k1α1，k2α2，k3η依次是對應于特征值-1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3為任意非零常數(shù)。

(Ⅱ)設有

則有

3.

設三階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是線性方程組Ax=0的兩個解。

(Ⅰ)求矩陣A的特征值與特征向量；

(Ⅱ)求正交矩陣Q和對角矩陣Λ，使得QTAQ=Λ。正確答案：解：(Ⅰ)因為矩陣A的各行元素之和均為3，所以有

則λ=3是矩陣A的特征值，α=(1，1，1)T是對應的特征向量。對應λ=3的全部特征向量為

kα=k(1，1，1)T，其中k是不為零的常數(shù)。

又由題設知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0·α1，Aα2=0·α2，而且α1，α2線性無關(guān)，所以λ=0是矩陣A的二重特征值，α1，α2是其對應的特征向量，因此對應λ=0的全部特征向量為

k1α1+k2α2=k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1，1)T，

其中k1，k2是不全為零的常數(shù)。

(Ⅱ)因為A是實對稱矩陣，所以α與α1，α2正交，只需將α1與α2正交化。

由施密特正交化法，取

再將α，β1，β2單位化，得

令Q=(η1，η2，η3)，則Q-1=QT，且

[解析]求正交相似對角化中正交矩陣的基本步驟：

(1)先求出A的所有特征值及其對應的線性無關(guān)的特征向量。

(2)如果特征值是重根，有多個線性無關(guān)的特征向量，則將這些特征向量正交化再單位化；如果特征值是單根，僅有一個線性無關(guān)的特征向量，則直接將該特征向量單位化。

(3)以上述正交單位向量組為列向量的矩陣即為所求的正交矩陣。

4.

設三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=-1，λ2=λ3=1，對應于λ1的特征向量為ξ1=(0，1，1)T，求矩陣A。正確答案：解：設矩陣A的屬于特征值λ=1的特征向量為x=(x1，x2，x3)T。

實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以，即x2+x3=0。方程組x2+x3=0的基礎解系為ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，-1，1)T。

5.

設三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=-1，λ3=0；對應λ1，λ2的特征向量依次為p1=(1，2，2)T，p2=(2，1，-2)T，求矩陣A。正確答案：解：因為A為實對稱矩陣，故必存在正交矩陣Q=(q1，q2，q3)，使

將對應于特征值λ1，λ2的特征向量單位化，得

由正交矩陣的性質(zhì)，q3可取為

的單位解向量，則由

可知因此

6.

設三階實對稱矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A屬于λ=6的特征向量，求矩陣A。正確答案：解：由r(A)=2知，|A|=0，所以λ=0是A的另一特征值。

因為λ1=λ2=6是實對稱矩陣的二重特征值，故A屬于λ=6的線性無關(guān)的特征向量有兩個，因此α1，α2，α3必線性相關(guān)，顯然α1，α2線性無關(guān)。

設矩陣A屬于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，故有

解得此方程組的基礎解系α=(-1，1，1)T。

根據(jù)A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)得

7.

設三階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的屬于特征值λ1的一個特征向量，記B=A5-4A3+E，其中E為三階單位矩陣。

(Ⅰ)驗證α1是矩陣B的特征向量，并求矩陣B的全部特征值與特征向量；

(Ⅱ)求矩陣B。正確答案：解：(Ⅰ)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A5α1=α1，故

Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α1+α1=-2α1，

即α1是矩陣B的屬于特征值一2的特征向量。

由關(guān)系式B=A5-4A3+E及A的三個特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的三個特征值為μ1=-2，μ2=1，μ3=1。

設α2，α3為B的屬于μ2=μ3=1的兩個線性無關(guān)的特征向量，又由A為對稱矩陣，則B也是

對稱矩陣，因此α1與α2，α3正交