考研數(shù)學(xué)二分類模擬227

考研數(shù)學(xué)二分類模擬227解答題1.

A是n階正交矩陣(即AAT=E)，且|A|＜0，證明：A+E不可逆．正確答案：證明：

|A+E|=|A+AAT|=|A(E+AT)|=|A||E+AT|（江南博哥）

=|A||(E+A)T|=|A||E+A|

故(1-|A|)|A+E|=0．由于|A|＜0，則1-|A|≠0，因此|A+E|=0，故A+E是不可逆矩陣．[考點(diǎn)]矩陣

求下列微分方程的通解：2.

y2dx+2(x2-xy2)dy=0；正確答案：解：方程化為，兩邊乘x-2得．

令x-1=u，則，得線性方程．

由公式解得

故原方程的通解為，即y2=x(lny2+C)．[考點(diǎn)]常微分方程

3.

x2y'+xy=y2．正確答案：解：方程化為，令y-1=z，則-y-2y'=z'，得．

解得

即原方程的通解為．[考點(diǎn)]常微分方程

4.

如果向量組線性無關(guān)，那么給每個(gè)向量添上m個(gè)分量(所添分量的位置對于每個(gè)向量都一樣)得到的延伸組也線性無關(guān)．正確答案：證明：設(shè)α1，α2，…，αs的一個(gè)延伸組為，則從，可得出

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則從上式得k1=k2=…=ks=0．從而也線性無關(guān)．

注本例的結(jié)論請讀者記住并會運(yùn)用，即向量組“原來無關(guān)，延伸無關(guān)”．[考點(diǎn)]向量

5.

試對很小的|x|，|y|，|z|，利用全微分導(dǎo)出函數(shù)

的線性近似公式．正確答案：解：由于

而

f(0，0，0)=1，fx(0，0，0)=0，fy(0，0，0)=1，fz(0，0，0)=1

因此所求近似公式為

[考點(diǎn)]多元函數(shù)微積分

6.

設(shè)討論λ為何值時(shí)，方程組無解?λ為何值時(shí)，方程組有解?方程組有解時(shí)，求其通解．正確答案：解1：將增廣矩陣用高斯消元法化成階梯形矩陣

當(dāng)λ=-2時(shí)，r(A)=2≠r(A，b)=3，方程組無解．

當(dāng)λ≠1且λ≠-2時(shí)，r(A)=r(A，b)=3，方程組有唯一解．可得唯一解為

當(dāng)λ=1時(shí)，由于r(A)=r(A，b)=1＜3，方程組有無窮多解．非齊次方程組的通解為k1ξ1+k2ξ2+η，其中ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-1，0，1)T，η=(1，0，0)T，k1，k2是任意常數(shù)．

解2：注意到方程組的系數(shù)矩陣是三階方陣，故可利用克拉默法則，先討論方程組何時(shí)有唯一解，再討論何時(shí)有無窮多解，何時(shí)無解．因|A|=(λ-1)2(λ+2)．

當(dāng)λ≠1且λ≠-2時(shí)，方程組有唯一解，且利用克拉默法則可計(jì)算出

當(dāng)λ=1時(shí)，．

對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為ξ1=(-1，1，0)T，ξ2=(-1，0，1)T，特解為η=(1，0，0)T，故通解為k1ξ1+k2ξ2+η，其中k1，k2是任意常數(shù)．

當(dāng)λ=-2時(shí)，，r(A)=2≠r(A，b)=3，方程組無解．[考點(diǎn)]線性方程組

7.

計(jì)算極限．正確答案：解：當(dāng)a≥1時(shí)，因?yàn)?+an≤an+an=2an，所以，從而有．

又知，所以．

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，作變換，則b＞1．所以

[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

8.

已知齊次方程的通解為y=C1x+C2ex，求非齊次方程的通解．正確答案：解：令y=v1x+v2ex為所求方程的通解，那么

y'=v'1x+v1+v'2ex+v2ex=v'1x+v'2ex+v1+v2ex

再令

v'1x+v'2ex=0

即

y'=v1+v2ex

于是

y"=v'1+v'2ex+v2ex

將y"，y'，y代入方程

并整理得

v'1+v'2ex=x-1

由方程組

解得

v'1=-1，v'2=xe-x

積分得

v1=C1-x，v2=C2-(x+1)e-x

于是所求方程的通解為

y=(C1-x)x+[C2-(x+1)e-x]ex=C1x+C2e-x-x2-x+1[考點(diǎn)]常微分方程及其應(yīng)用

9.

設(shè)，求f"(x)．正確答案：解：

則

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

10.

設(shè)．求．正確答案：解：由積分中值定理可得

其中c介于x與x2之間．顯然，注意到x充分大時(shí)，c∈(x，x2)，且，則此時(shí)有，則

又知

所以．則

所以[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

11.

設(shè)f(x)，g(x)，h(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，證明：必有ξ∈(a，b)使得

①

并由此說明拉格朗日中值定理和柯西定理都是它的特例．正確答案：證明：作輔助函數(shù)

按第三行展開，可得

注意到，三個(gè)二階行列式

實(shí)際上為三個(gè)常數(shù)，故

由于F(a)=F(b)=0，由羅爾定理知，存在ξ∈(a，b)，使得

即證式①．

若取h(x)=1，則由式②有

即

即得柯西中值定理；

若取h(x)=1，g(x)=x，則由式②有

即

即得拉格朗日中值定理．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

12.

設(shè)可微函數(shù)z=z(x，y)，由方程z+xy=f(xz，yz)所確定，求．正確答案：解：在z+xy=f(xz，yz)兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得

解得

[考點(diǎn)]多元函數(shù)微分學(xué)

13.

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處可導(dǎo)，且f(a)≠0，求．正確答案：解：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)，令，則

記，則

所以原極限即為

[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

14.

計(jì)算積分．正確答案：解：

而

故

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

15.

設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3．已知η1，η2，η3是它的三個(gè)解向量，且η1=(2，3，4，5)T，η2+η3=(1，2，3，4)T，求該方程組的通解．正確答案：解：設(shè)方程組為Ax=b，則r(A)=3．于是可知Ax=0的基礎(chǔ)解系只有一個(gè)向量，而

Aη1=b，A(η2+η3)=2b

故

2η1-(η2+η3)=(3，4，5，6)T

是Ax=0的基礎(chǔ)解系．從而方程組的通解為x=k(3，4，5，6)T+η1(k為任意常數(shù))．[考點(diǎn)]矩陣、向量、方程組

對于函數(shù)f(x)=|sinx|3，x∈(-1，1)．16.

證明：f"'(0)不存在；正確答案：證明：則

由于f"'+(0)≠f"'-(0)，因此f"'(0)不存在．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

17.

判斷x=0是否為f"'(x)的可去間斷點(diǎn)．正確答案：證明：由上一小題可知，x=0不是f"'(x)的可去間斷點(diǎn)．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

18.

設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)，且y'(x)＞0，y(0)=1．過曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1-S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．正確答案：解：如圖，曲線y=y(x)上點(diǎn)P(x，y)處的切線方程為

Y-y(x)=y'(x)(X-x)

所以切線與z軸的交點(diǎn)為．

由于y'(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞0(x＞0)，于是

又

根據(jù)題設(shè)2S1-S2=1，即

兩邊對x求導(dǎo)并化簡得yy"=(y')2，這是可降階的二階常微分方程，令p=y'，則

則上述方程可化為，分離變量得，解得p=C1y，即

從而有

y=C1ex+C2

根據(jù)y(0)=1，y'(0)=1，可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程為y=ex．[考點(diǎn)]常微分方程及其應(yīng)用

19.

設(shè)n階矩陣A=(aij)n×n，aij對應(yīng)的代數(shù)余子式記作Aij．把A的每個(gè)元素都加上同一個(gè)數(shù)t，得到的矩陣記作A(t)=(aij+t)n×n．證明

正確答案：證明：|A(t)|的每一列都是兩組數(shù)的和，利用行列式的性質(zhì)，可以把|A(t)|拆成2n個(gè)行列式的和，由于兩列相同，