考研數(shù)學(xué)二分類模擬241

考研數(shù)學(xué)二分類模擬241解答題1.

設(shè)f(x)在[0，1]上可微，且滿足

求證：在(0，1)內(nèi)至少存在一點ξ，使．正確答案：證明：由式①及積分中值定理知，存在，使

所以

f(1)=ξ1f(ξ1)②

令F(x)=xf(x)，則F(1)=1，f(1)=ξ1f(ξ1)=F(ξ1)，故F(x)在[ξ1，1]上滿足羅爾中值定理的條件，故存在，使得F'(ξ)=0，即．[考點]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅱ)

2.

設(shè)h(x)是[a，b]上的正值連續(xù)函數(shù)，求證：．正確答案：證明：在上題的施瓦茲不等式中，令，即證得結(jié)論．[考點]一元函數(shù)微積分

3.

求．正確答案：解：由，得

[考點]函數(shù)、極限

4.

設(shè)求．正確答案：解：由

x2+y2=(eucosv)2+(eusinv)2=e2u

得，．

又由，則，于是

[考點]多元函數(shù)微分學(xué)

5.

設(shè)αi=(ai1，ai2，…，ain)(i=1，2，…，m)為齊次線性方程組

①

的行向量，已知方程組①有非零解β=(b1，b2，…，bn)T，且行向量的秩r(α1，α2，…，αm)=m．證明：向量組α1，α2，…，αm，βT線性無關(guān)．正確答案：證1：用定義．設(shè)

k0βT+k1α1+k2α2+…+kmαm=0②

式②兩邊右乘β，得

k0βTβ+k1α1β+k2α2β+…+kmαmβ=0③

因β是方程組①的非零解，故有αiβ=0(i=1，2，…，m)，且ββT≠0，從而由式③得

將k0=0代入式②得

k1α1+k2α2+…+kmαm=0④

由于r(α1，α2，…，αm)=m，即α1，α2，…，αm線性無關(guān)，故k1=k2=…=km=0，即證得α1，α2，…，αm，βT線性無關(guān)．

證2：因r(α1，α2，…，αm)=m，故α1，α2，…，αm線性無關(guān)．要證α1，α2，…，αm，βT線性無關(guān)，只需證βT不能由α1，α2，…，αm線性表出，用反證法，假設(shè)βT可由向量組α1，α2，…，αm線性表出，設(shè)為

βT=k1α1+k2α2+…+kmαm⑤

式⑤兩邊右乘β，因αiβ=0(i=1，2，…，m)，故

βTβ=k1α1β+k2α2β+…+kmαmβ=0

這和β是方程組的非零解即矛盾，故βT不能由α1，α2，…，αm線性表出，從而可知α1，α2，…，αm，βT線性無關(guān)．[考點]線性方程組

A是任意n階矩陣，證明：6.

A+AT是對稱矩陣，A-AT是反對稱矩陣；正確答案：證明：(A+AT)T=AT+(AT)T=A+AT，故A+AT是對稱矩陣；

(A-AT)T=AT-(AT)T=AT-A=-(A-AT)，故A-AT是反對稱矩陣．[考點]矩陣

7.

任何n階方陣都可以表示成一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和．正確答案：證1：因為，再由第一小題的結(jié)論，命題成立．

證2：設(shè)A可表示成

A=B+C

①

其中B是對稱矩陣，C是反對稱矩陣，即BT=B，CT=-C，則AT=BT+CT，從而

AT=B-C

②

①+②，得，①-②，得．故

所以，得證．[考點]矩陣

8.

討論下列函數(shù)

的可導(dǎo)性．正確答案：解：對于f(x)，當(dāng)x0≠0時，由于

因此f(x)在x0處不連續(xù)，所以不可導(dǎo)．

當(dāng)x=0時，由于上式當(dāng)x→0時極限不存在，因此f(x)在x=0處也不可導(dǎo)．

同理，對于g(x)，當(dāng)x0≠0時，g(x)在x0處也不連續(xù)，從而也不可導(dǎo)．而

所以g'(0)=0．[考點]一元函數(shù)微積分

9.

設(shè)n個方程的n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的行列式等于0，并且A的第k行l(wèi)列元素akl的代數(shù)余子式Akl≠0．證明：η=(Ak1，Ak2，…，Akn)T是齊次線性方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系．正確答案：證明：由于Akl≠0，因此A有一個n-1階子式不為0．又因為|A|=0，所以r(A)=n-1．則Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)為n-r(A)=n-(n-1)=1．

考慮Ax=0的第i個方程：ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0．

當(dāng)i≠k時，利用行列式展開式的性質(zhì)，有ai1Ak1+ak2Ak2+…+ainAkn=0．

當(dāng)i=k時，有ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn=|A|=0．

因此，η=(Ak1，Ak2，…，Akn)T是Ax=0的一個解．由于Akl≠0，因此η是非零解，從而η線性無關(guān)，即η是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系．[考點]線性方程組

10.

若f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：f(x)可以取到f(a)，f(b)之間的一切值．反之，若f(x)可以取到f(a)，f(b)之間的一切值，討論f(x)在[a，b]上是否連續(xù)．正確答案：解：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則由連續(xù)函數(shù)的介值定理，f(x)可以取到f(a)，f(b)之間的一切值；反之不一定．例如

則f(x)的值域為[0，3]，顯然f(x)能取到f(0)=0，f(3)=3之間的一切值，但f(x)在x=1，x=2處不連續(xù)．

所以，當(dāng)f(x)可以取到f(a)，f(b)之間的一切值時，f(x)在[a，b]上不一定連續(xù)，如圖所示．

[考點]函數(shù)、極限

11.

設(shè)f(u)是可微函數(shù)，求全微分的原函數(shù)．正確答案：解：根據(jù)

推知所求原函數(shù)存在．所求原函數(shù)為

[考點]多元函數(shù)微積分

證明：12.

；正確答案：證明：利用的遞減性，有

依此對前半不等式的k=1，2，…，n-1所得n-1個不等式進行相加，即得本題所要證明的不等式右邊；依此對后半不等式的k=1，2，…，n所得n個不等式進行相加，即得本題所要證明的不等式左邊．[考點]一元函數(shù)微積分

13.

．正確答案：證明：由上一小題的結(jié)論，當(dāng)n→∞時，有

于是結(jié)論成立．[考點]一元函數(shù)微積分

14.

設(shè)f(x)是(0，+∞)上單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證：對任意a≥0都有不等式

其中D={(x，y)|0≤x≤a，0≤y≤x}．正確答案：證明：將二重積分化為先對y后對x的二次積分，有

記

由于f(x)是單調(diào)遞減的函數(shù)，因此f(x)＞f(a)，故F'(a)≥0．再由F(0)=0，故對任意a≥0，有F(a)≥F(0)=0，因此．[考點]二重積分

15.

設(shè)g(x)在[0，+∞]上有二階導(dǎo)函數(shù)，試問：當(dāng)a，b，c為何值時，函數(shù)

在x=0處有二階導(dǎo)數(shù)f"(0)．正確答案：解：因為g(x)在[0，+∞)上有二階導(dǎo)函數(shù)，所以g(x)，g'(x)在x=0處右連續(xù)，且g"+(0)存在．又因為f(x)在x=0處有二階導(dǎo)數(shù)，所以f(x)，f'(x)在x=0處連續(xù)，從而有

于是

因為f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，所以f"+(0)=f"-(0)=f"(0)．而

由此得2a=g"+(0)，從而．于是得

[考點]函數(shù)、極限

16.

確定常數(shù)a，使向量組α1=(1，1，A)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量組β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T線性表出，但向量組β1，β2，β3不能由向量組α1，α2，α3線性表出．正確答案：解：記A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)．由于β1，β2，β3不能由向量組α1，α2，α3線性表出，所以A的秩r(A)＜3，從而行列式

解得a=1或a=-2．

當(dāng)a=1時，α1=α2=α3=β1=(1，1，1)T，顯然α1，α2，α3可由β1，β2，β3線性表出，而β2=(-2，1，4)T不能由向量組α1，α2，α3線性表出，即a=1符合題意．

當(dāng)a=-2時，考慮

再考慮非齊次線性方程組Bx=α2，由上述階梯型矩陣可知，r(B)=2，而r(B，α2)=3，則方程組Bx=α2無解．即α2不能由向量組β1，β2，β3線性表出，所以a=-2不符合題意，應(yīng)舍去．

綜上a=1．[考點]向量

設(shè)A是3×4階矩陣且r(A)=1，設(shè)(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T，(2，-4，3，a+1)T均為Ax=0的解．17.

求常數(shù)a；正確答案：解：因為r(A)=1，所以方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有三個線性無關(guān)的解向量，故(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T，(2，-4，3，a+1)T線性相關(guān)，即

解得a=6．[考點]線性方程組

18.

求方程組Ax=0的通解．正確答案：解：因為(1，-2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(-1，2，0，1)T線性無關(guān)，所以方程組Ax=0的通解為x=k1(1，-2，1，2)T+k2(1，0，5，2)T+k3(-1，2，0，1)T(k1，k2，k3為任意常數(shù))．[考點]線性方程組

19.

設(shè)矩陣A=(α1，α2，α3，α4)，αi(i=1，2，3，4)均為四維列向量，其中α2，α3，α4線性無關(guān)，α1=2α2-α3，向量b=α1+α2+α3+α4，求方程Ax=b的通解．正確答案：解：由已知可得Ax=0的基礎(chǔ)解系中只含有一個向量．

由α1=2α2-α3得

再由

b=α1+α2+α3+α4

得

故通解為x=k(1，-2，1，0)T+(1，1，1，1)T，k為任意常數(shù)．[考點]矩陣、向量、方程組

20.

設(shè)A為實矩陣，B=AAT，且，求A.正確答案：解：因，故aij=0，i=1，2，…，n；j=1，2，…，n．故A=0．[考點]矩陣

21.

證明：向量組α1，α2，…，αs(s≥2)線性相關(guān)向量組中至少有一個向量可以由其余向量線性表出．正確答案：證明：必要性．設(shè)α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)k1，k2，…，ks，使得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

設(shè)ki≠0，則由上式得

充分性．設(shè)αj=l1α1+…+lj-1αj-1+lj+1αj+1+…+lsαs，則l1α1+…+lj-1αj-1+(-1)αj+lj+1αj+1…+…+lsαs=0．從而α1，α2，…，αs線性相關(guān)．

注由本例的結(jié)論顯然可得，向量組α1，α2，…，αs(s≥2)線性無關(guān)向量組中每一個向量都不能由其余向量線性表出．[考點]向量

22.

設(shè)z=siny+f(sinx-siny)，其中f為