2025千題百煉-高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（三）：第70煉 求點(diǎn)的軌跡方程含答案

2025千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題（三）：第70煉求點(diǎn)的軌跡方程含答案第70煉求點(diǎn)的軌跡問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、求點(diǎn)軌跡方程的步驟：（1）建立直角坐標(biāo)系（2）設(shè)點(diǎn)：將所求點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為，同時(shí)將其他相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)化（未知的暫用參數(shù)表示）（3）列式：從已知條件中發(fā)掘的關(guān)系，列出方程（4）化簡：將方程進(jìn)行變形化簡，并求出的范圍2、求點(diǎn)軌跡方程的方法（1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡即可（2）代入法：所求點(diǎn)與某已知曲線上一點(diǎn)存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程（3）定義法：從條件中能夠判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程。常見的曲線特征及要素有：①圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡直角→圓：若，則點(diǎn)在以為直徑的圓上確定方程的要素：圓心坐標(biāo)，半徑②橢圓：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡確定方程的要素：距離和，定點(diǎn)距離③雙曲線：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡注：若只是到兩定點(diǎn)的距離差為常數(shù)（小于定點(diǎn)距離），則為雙曲線的一支確定方程的要素：距離差的絕對(duì)值，定點(diǎn)距離④拋物線：平面上到一定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離（定點(diǎn)在定直線外）相等的點(diǎn)的軌跡確定方程的要素：焦準(zhǔn)距：。若曲線位置位于標(biāo)準(zhǔn)位置（即標(biāo)準(zhǔn)方程的曲線），則通過準(zhǔn)線方程或焦點(diǎn)坐標(biāo)也可確定方程（4）參數(shù)法：從條件中無法直接找到的聯(lián)系，但可通過一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程。二、典型例題：例1：設(shè)一動(dòng)點(diǎn)到直線的距離到它到點(diǎn)的距離之比為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A.B.C.D.思路：設(shè)，則可直接利用已知條件列出關(guān)于的等式，化簡即可解：設(shè)答案：C例2：已知兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為___________思路：通過作圖可得等價(jià)的條件為直線的斜率的關(guān)系，設(shè)，則，則可通過的斜率關(guān)系得到動(dòng)點(diǎn)的方程解：若在軸上方，則代入可得：，化簡可得：即若在軸下方，則，同理可得：當(dāng)時(shí)，即為等腰直角三角形，或滿足上述方程所以當(dāng)在一四象限時(shí)，軌跡方程為當(dāng)在線段上時(shí)，同樣滿足，所以線段的方程也為的軌跡方程綜上所述：的軌跡方程為或答案：或例3：已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程是（）A.B.C.D.思路：依題意可得，，，則有，因?yàn)樽陨碛熊壽E方程，為：，將代入可得關(guān)于的方程，即的軌跡方程：答案：D例4：已知是拋物線上的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡方程是__________思路：考慮設(shè)，由拋物線可得：，且，故考慮利用向量關(guān)系得到與的關(guān)系，從而利用代入法將用進(jìn)行表示，代入到即可解：由拋物線可得：設(shè)①在上，將①代入可得：，即答案：例5：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，則直線與的交點(diǎn)所在曲線方程為________思路：由橢圓可得：，從而可確定線與的方程。，若聯(lián)立方程解，則形式較為復(fù)雜不易化簡，觀察兩條直線方程的特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)若兩邊相乘，有平方差的特點(diǎn)，且與橢圓相交，則關(guān)于軸對(duì)稱，有。所以兩方程左右兩邊分別相乘可得：，再利用滿足橢圓方程，消去等式中的即可解：由橢圓可知：，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)。與橢圓相交于關(guān)于軸對(duì)稱考慮直線與的方程：由可得：①同理可得：②①②可得：③由在橢圓上可得：，代入③可得：，整理后可得：答案：小煉有話說：本題消元的方法比較特殊，是抓住了兩直線中某些地方具備平方差公式的特點(diǎn)，從而兩式相乘，再進(jìn)行代入消元。例6：若動(dòng)圓過定點(diǎn)且和定圓外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是___________思路：定圓的圓心為，觀察到恰好與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以考慮點(diǎn)軌跡是否為橢圓或雙曲線，設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則有，由兩圓外切可得，所以，即距離差為定值，所以判斷出的軌跡為雙曲線的左支，則，解得，所以軌跡方程為答案：小煉有話說：本題從所給條件中的對(duì)稱定點(diǎn)出發(fā)，先作一個(gè)預(yù)判，從而便可去尋找符合定義的要素，即線段的和或差。要注意本題中，所以軌跡為雙曲線的一支。例7：是圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點(diǎn)，為圓周上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則的軌跡方程為（）A.B.C.D.思路：可得，發(fā)現(xiàn)剛好與均在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而聯(lián)想到雙曲線或橢圓的焦點(diǎn)，觀察幾何性質(zhì)可得：由的中垂線可得，從而考慮，即到的距離和為定值5，從而判斷出其軌跡為橢圓，可得，則，所以橢圓方程為：答案：C例8：已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，若于，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A.B.C.D.思路：先處理?xiàng)l件可得由為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線相等，所以該四邊形為矩形。即，設(shè)，即，聯(lián)立直線與拋物線方程并利用韋達(dá)定理可得，從而可得直線過定點(diǎn)，結(jié)合圖像性質(zhì)可得，則的軌跡為以為直徑的圓，軌跡方程為解：，且為為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線該四邊形為矩形，即設(shè)，聯(lián)立方程：，消去可得：，由可得，即直線過定點(diǎn)即的軌跡為以為直徑的圓則該圓的圓心為，半徑軌跡方程為答案：B例9：過點(diǎn)作圓的割線，交圓于兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的軌跡解：設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為由可得：①，聯(lián)立方程：，消去可得：代入①可得：即，而代入可得：化簡可得：，因?yàn)樵趫A內(nèi)所以點(diǎn)的軌跡是直線被圓截得的弦例10：如圖所示，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，軸，點(diǎn)在的延長線上，且（1）求點(diǎn)的軌跡方恒，并求當(dāng)為何值時(shí)，的軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓（2）當(dāng)時(shí)，在（1）中所得曲線記為，已知直線，是上的動(dòng)點(diǎn)，射線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交曲線于點(diǎn)，又點(diǎn)在上且滿足，求點(diǎn)的軌跡方程解：（1）思路：自身有軌跡方程，且條件中所求的點(diǎn)與點(diǎn)存在聯(lián)系（），所以考慮利用代入法求軌跡方程。設(shè)，然后利用向量關(guān)系找到的坐標(biāo)與坐標(biāo)的聯(lián)系，從而代入到所在的方程便得到關(guān)于的等式，即的軌跡方程設(shè)軸①由在上可知：，代入①可得：即當(dāng)時(shí)，的軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓（2）思路：由（1）可知曲線方程為，從而題目中的點(diǎn)均有方程。設(shè)所求點(diǎn)，則可考慮尋找的坐標(biāo)與之間的聯(lián)系。本題共線是關(guān)鍵點(diǎn)，因?yàn)樵谶@條線上的點(diǎn)，其與點(diǎn)距離的比值即為橫縱坐標(biāo)的比值。所以先從入手，題目中沒有的比例，則不妨設(shè)，進(jìn)而得到與的聯(lián)系：，再尋找的聯(lián)系，結(jié)合條件可知，從而用即可表示出與的聯(lián)系（而不用再設(shè)字母）：。所以可以用代入法分別將兩組關(guān)系代入至直線與橢圓方程，再消去即可得到的軌跡方程解：由（1）可得曲線方程為：設(shè)設(shè)由線段比例可得：由同理可得：分別在直線與橢圓上，代入可得：，化簡可得：的軌跡方程為：第72煉圓錐曲線中的面積問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、面積問題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運(yùn)算，通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底（或高）。（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個(gè)三角形的面積和，對(duì)于三角形如果底和高不便于計(jì)算，則也可以考慮拆分成若干個(gè)易于計(jì)算的三角形2、多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)，從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系，使得計(jì)算得以簡化3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底找高的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運(yùn)算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡單，便于分析4、橢圓與雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式（證明詳見“圓錐曲線的性質(zhì)”）（1）橢圓：設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且，則（2）雙曲線：設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且，則二、典型例題：例1：設(shè)為橢圓的左右焦點(diǎn)，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，的值等于___________思路：由橢圓中心對(duì)稱的特性可知關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，所以與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，面積相等。且四邊形可拆成與的和，所以四邊形的面積最大即面積最大，因?yàn)?，所以?dāng)最大時(shí)，面積最大。即位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積最大。由可知，所以，進(jìn)而計(jì)算出的值為答案：例2：已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸上方，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線的斜率為，則的面積是（）A.B.C.D.思路：將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而可得，所以，計(jì)算的面積可以以為底，為高，所以考慮利用條件計(jì)算出的縱坐標(biāo)，設(shè)，則有，所以可解得或（舍去），所以答案：B例3：已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，，則與面積之和的最小值是（）A.B.C.D.思路：由入手可考慮將向量坐標(biāo)化，設(shè)，則，進(jìn)而想到可用韋達(dá)定理。所以設(shè)與軸交于直線。聯(lián)立方程，所以，所以由可得：，所以，不妨設(shè)在軸上方，如圖可得：，由可知，消元后可得：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最小值為答案：B例4：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)，，垂足為，則的面積是（）A.B.C.D.8思路：斜率為可知直線的傾斜角為，從而可得，所以在計(jì)算面積時(shí)可利用兩邊與夾角，所以可得，由拋物線性質(zhì)可得，所以只需求得焦半徑，即只需解出點(diǎn)橫坐標(biāo)。利用幾何關(guān)系可得，另一方面，由焦半徑公式可得：，所以可得方程：，從而，所以答案：C小煉有話說：（1）本題的解法是利用題目中的幾何關(guān)系求解，繞過代數(shù)運(yùn)算，而突破點(diǎn)即為直線的傾斜角，所以當(dāng)題目中出現(xiàn)特殊角時(shí)，可以考慮蘊(yùn)含其中的幾何特點(diǎn)，從而使得運(yùn)算更為簡單。（2）本題的也可通過聯(lián)立方程，使用代數(shù)方法解決，方法步驟如下：由拋物線方程可得：，設(shè)，聯(lián)立方程：，整理可得：或或（舍）例5：以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線，其左右焦點(diǎn)分別為，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上點(diǎn)滿足，則等于（）A.B.C.D.思路：可先利用橢圓確定雙曲線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)，的頂點(diǎn)為，即為的坐標(biāo)，橢圓的焦點(diǎn)為，所以雙曲線中，進(jìn)而觀察可聯(lián)想到投影，即在的投影與在的投影相等，由幾何關(guān)系可得為的角平分線。由可得，即平分，從而為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑。從而答案：A例6：已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，為三角形的內(nèi)心，若成立，則的值為（）A.B.C.D.思路：由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可得到三邊的距離相等，所以的高均為，從而，即，所以只需利用確定的關(guān)系即可。解：為三角形的內(nèi)心在雙曲線上，且是焦點(diǎn)即為離心率由可得：，兩邊同時(shí)除以得：，解得即答案：C例7：已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求的方程（2）設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求的方程解：（1）設(shè)思路：首先設(shè)，，由圖像可得，考慮聯(lián)立直線與橢圓方程并利用點(diǎn)到直線距離公式和弦長公式用表示出，從而也可用進(jìn)行表示：，再利用均值不等式即可得到最大值。等號(hào)成立的條件即為的值。（注意直線與橢圓相交，所以消元后的方程）（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程可得：，整理后可得：，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不等實(shí)根解得：或由方程可得：代入可得：由均值不等式可得：等號(hào)成立條件：此時(shí)的方程為或例8：已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為（1）求橢圓的方程（2）若是橢圓上的四點(diǎn)，已知與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值解：（1），設(shè)，則（2）由（1）可得：，因?yàn)樵O(shè)，，聯(lián)立方程可得：，消去可得：整理后可得：①設(shè)，以替換①中的可得：設(shè)，可得時(shí)，例9：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且三角形的三邊所在直線的斜率滿足（1）求點(diǎn)的軌跡方程（2）若是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，且，直線與交于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得和的面積滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。（1）思路：本題設(shè)點(diǎn)，且已知，直接利用條件列出等式化簡即可解：設(shè)，由可得：，依題意可得：整理后可得：，其中所以的軌跡方程為‘（2）思路：從圖中可得和的高相同，從而面積的比值轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)底邊的比，即，再由可得，進(jìn)而，由共線再轉(zhuǎn)成向量關(guān)系則只需求出的坐標(biāo)即可解出的坐標(biāo)解：設(shè)，即因?yàn)榭山獾们?，即所以存在符合條件的例10：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，則與的面積之比（）A.B.C.D.思路：由聯(lián)想到焦半徑公式，從而可解得，從而可判斷出在的左側(cè)，作出圖像可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形具備同“高”的特點(diǎn)（即到的距離），所以，若直接從長度出發(fā)，則運(yùn)算量較大，所以考慮將比值視為整體，并進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)移，