考研數學二分類模擬242

考研數學二分類模擬242解答題設n階實對稱矩陣A的秩為r，且滿足A2=A.

求：1.

二次型xTAx的標準形；正確答案：解：因為A2=A，所以|A||E-A|=0，即A的特征值為0或者1（江南博哥），因為A為實對稱矩陣，所以A可對角化，由r(A)=r得A的特征值為λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，則二次型xTAx的標準形為．[考點]二次型

2.

|E+A+A2+…+An|的值．正確答案：解：令

B=E+A+A2+…+An

則B的特征值為λ=n+1(r重)，λ=1(n-r重)，故

|E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r[考點]二次型

3.

求微分方程的通解．正確答案：解：原方程可寫為

y"+2y'+2y=e-x+e-xcosx

那么只需分別求解下列微分方程

y"+2y'+2y=e-x

y"+2y'+2y=e-xcosx

以上方程對應齊次方程的特征方程

r2+2r+2=0

的特征根r1，2=-1±i，對應齊次方程的通解

Y(x)=e-x(C1cosx+C2sinx)

由待定系數法可求得方程

y"+2y'+2y=e-x

的特解為，方程

y"+2y'+2y=e-xcosx

的特解為．

于是所求方程的通解

[考點]常微分方程及其應用

4.

求極限．正確答案：解：記，則

所以原極限等于．[考點]函數、極限

5.

設，證明：存在．正確答案：證明：

所以{xn}單調遞減．

由于

則

即{xn}有下界．故{xn}收斂．[考點]函數、極限

6.

設

求正交矩陣T，使得T-1AT為對角矩陣．正確答案：解：

因此A的全部特征值是3(三重)，7．

對于特征值3，求得(3E4-A)x=0的一個基礎解系

把α1，α2，α3施密特正交化，得

把β1，β2，β3分別單位化，得

對于特征值7．求得(7E4-A)x=0的一個基礎解系：α4=(1，-1，-1，1)T．

把α4單位化，得

令T=(η1，η2，η3，η4)，則T是正交矩陣，且T-1AT=diag{3，3，3，7}．[考點]特征值與特征向量

7.

設非零n維列向量α，β正交且A=αβT．證明：A不可相似對角化．正確答案：證明：令λ為矩陣A的特征值，x為λ所對應的特征向量，則Ax=λx，顯然A2x=λ2x，因為α，β正交．所以

A2=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=0

于是λ2x=0，而x≠0，故矩陣A的特征值為λ1=λ2=…=λn=0．

又由α，β都是非零向量得A≠0，且r(0E-A)=r(A)≥1，故

n-r(0E-A)≤n-1＜n

所以A不可相似對角化．[考點]特征值與特征向量

8.

已知f(x)在(2，+∞)內可導，f(x)＞0，且，k為常數，試證：在(2，+∞)內f(x)≤Ax-(k+1)，其中A為與x無關的常數．正確答案：證明：由題設得

xf'(x)+f(x)≤-kf(x)

即

不等式兩邊同時在(2，x)上積分，得

即

lnf(x)≤-(k+1)lnx+[lnf(2)+ln2k+1]

令lnf(2)+ln2k+1=lnA，則顯然有l(wèi)nf(x)≤ln(Ax-(k+1))，從而f(x)≤Ax-(k+1)．[考點]一元函數微積分

9.

計算，其中D：x2+y2≤1．正確答案：解：令x=rcosθ，y=rsinθ，0≤θ≤2π，0≤r≤1．則

[考點]二重積分

10.

設f(x)，g(x)為(a，b)內的單調遞減函數，令

F(x)=max{f(x)，g(x)}，G(x)=min{f(x)，g(x)}

證明：F(x)，G(x)都是(a，b)內的單調遞減函數．正確答案：證明：，若x1＜x2，則f(x1)＞f(x2)，g(x1)＞g(x2)，從而

F(x1)=max{f(x1)，g(x1)}＞max{f(x2)，g(x2)}=F(x2)

G(x1)=min{f(x1)，g(x1)}＞min{f(x2)，g(x2)}=G(x2)

即證得F(x)，G(x)都是(a，b)內的單調遞減函數．[考點]函數、極限

11.

設A是n階方陣且滿足A2=A，證明：(A+E)k=E+(2k-1)A，其中k是正整數，E是n階單位矩陣．正確答案：證明：注意到(A+E)k=(E+A)k且Am=A(m=1，2，…，k)．

由二項式公式展開，可得

[考點]矩陣

12.

證明：函數

在x=0的任何空心鄰域內都有不可微點，但在x=0是可微的．正確答案：證明：

故f'(0)=0，即在x=0處函數f(x)是可微的．

下面我們指出在x=0處的任何鄰域(-δ，δ)(其中δ＞0)中，函數f(x)總有不可微點．事實上，令，則當n充分大時，總可使0＜xn＜δ，從而點xn∈(-δ，δ)．

注意到，故，所以f(x2n)=0且當時，．

則

同理可得f'+(x2n)=π．所以f'-(x2n)≠f'+(x2n)．

于是，函數f(x)在點x2n處不可微，即函數f(x)在x=0的任何空心鄰域內都有不可微點．[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅰ)

13.

設函數f(x)在(a，b)內可微，a＞0，b＞0且f(a+0)，f(b-0)均存在，證明：存在ξ∈(a，b)，使得

①正確答案：解：提示：補充定義，令f(a)=f(a+0)，f(b)=f(b-0)，則f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導．欲證明的式①可改寫成

亦即

因此，對函數，在[a，b]上應用柯西中值定理即得．[考點]一元函數微積分

14.

研究函數

在x=0處的極值．正確答案：解：由于當x≠0時，恒有f(x)＞f(0)，故當x=0時函數有極小值f(0)=0．[考點]連續(xù)、導數、微分(Ⅱ)

15.

求全微分的原函數u(x，y)．正確答案：解：因為

在整個坐標平面上成立，所以存在定義在整個坐標平面上的函數u(x，y)，使得

由于

所以

其中C為任意常數．[考點]多元函數微積分

16.

求極限．正確答案：解：因為，所以

同理

所以

[考點]多元函數微分學

設A是n階實對稱矩陣．17.

證明若|A|＜0，則存在n維列向量ξ0，使得；正確答案：證明：，故有特征值小于零，設為λ1＜0，對應的特征向量為ξ0，則有，因λ1＜0且，故．[考點]二次型

18.

若|A|＞0，是否對任何n維向量ξ，均有ξTAξ＞0，說明理由．正確答案：解：不是A正定的充分條件，因可能有偶數個負特征值可使題中不等式成立，設λ1＜0，λ2＜0，λi＞0，i=3，…，n，λ1，λ2對應的特征向量分別是ξ1，ξ2，則有

[考點]二次型

19.

．正確答案：解：令，則x=(u-1)4，dx=4(u-1)3du．于是，有

[考點]一元函數微積分

20.

設f(x)二次可微，f(0)=f(1)=0，，試證：．正確答案：證明：因f(x)在[0，1]上連續(xù)，故有最大值．又因，f(0)=f(1)=0，故最大值在(0，1)內部達到．所以存在x0∈(0，1)，使得．于是f(x0)為極大值．由費馬定理，有f'(x0)=0．

在x=x0處按泰勒公式展開，存在ξ，η∈(0，1)，使得

因此

而當時

當時