考研數(shù)學二分類模擬243

考研數(shù)學二分類模擬243解答題1.

設(shè)a1＞b1＞0，記

證明：數(shù)列{an}與{bn}的極限都存在且等于．正確答案：證明：因為a1＞b1＞0，所以利用歸納法不難得到an＞0，bn＞0．于是有

從而對n=2，3，…，有

以及

a1≥an≥bn≥b1

以上說明數(shù)列{an}遞減有下界，而數(shù)列{bn}遞增有上界．由單調(diào)有界定理知數(shù)列{an}與{bn}都收斂．

設(shè)及．對兩邊分別取極限，得，此即a=b．又由

得到anbn=an-1bn-1=…=a1b1．對anbn=a1b1兩邊取極限，有ab=a1b1．因此．[考點]極限、連續(xù)及其應(yīng)用

2.

若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則．正確答案：證1：因為f(x)在[a，b]上連續(xù)，所以f(x)在[a，b]上可積．

令，則有F'(x)=-f(x)，所以

注意到，F(xiàn)(b)=0，所以

證2：轉(zhuǎn)化為二重積分證明，則有

記g(x，y)=f(x)·f(y)，令，則顯然①=I1+I2．

再令D1表示由直線x=a，x=b，y=a，y=x所圍成的三角形區(qū)域，D2表示由直線x=a，x=b，y=b，y=x所圍成的三角形區(qū)域，則顯然D1與D2沒有公共的內(nèi)點(即除了y=x那條邊界，再無其他交點)，且D1∪D2為正方形區(qū)域[a，b]×[a，b]，故

則

[考點]一元函數(shù)微積分

3.

證明：對一切h＞0，不等式成立．正確答案：證明：設(shè)f(x)=lnx，在[1，1+h]上應(yīng)用拉格朗日(Lagrange)中值定理，可得

當h＞0時，由0＜θ＜1可推知1＜1+θh＜1+h，故．

注本例的不等式，稱為“對數(shù)不等式”．令，可得對數(shù)不等式的一個極其重要的形式，即．對數(shù)不等式逢考必用，請讀者務(wù)必熟稔于心![考點]函數(shù)、極限

4.

設(shè)試求函數(shù)的解析表達式，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．正確答案：解：積分區(qū)域為D1={(x，y)|x+y≤t)，記D0=D∩D1．

當t＜0時，x+y＜0，則f(x，y)=0，故；

當0≤t＜1時，D0={(x，y)|0≤y≤t-x，0≤x≤t)，如圖1所示，則

圖1

當1≤t＜2時，D0={(x，y)|x+y≤t，0≤x≤1，0≤y≤1}，如圖2所示，用直線y=t-1把D0分為兩部分，即

D0={(x，y)|0≤y≤t-1，0≤x≤1)∪{(x，y)|0≤x≤t-y，t-1≤y≤1}

則

圖2

當t＞2時，D0={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，如圖3所示，則

故

圖3[考點]二重積分

5.

設(shè)f(x)可導，且f(0)=f'(0)=1，求．正確答案：解：[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅰ)

6.

計算n(n＞1)階行列式

正確答案：解：按第1列展開，得

[考點]行列式

7.

設(shè)f(x1，x2，x3)=(x1-ax2)2+(x2-bx3)2+(x3-cx1)2，其中abc≠1．證明：f(x1，x2，x3)是正定二次型．正確答案：證明：本題的二次型f(x1，x2，x3)是三項平方和的形式，故對任意的x=(x1，x2，x3)T，f(x1，x2，x3)≥0．而由二次型正定的定義，對任意的x=(x1，x2，x3)T≠0，有f(x1，x2，x3)＞0．所以本題的二次型

只有零解等價于

[考點]二次型

設(shè)A是n階矩陣，λ是A的特征值，其對應(yīng)的特征向量為x．8.

證明：λ2是A2的特征值，x為特征向量；正確答案：證明：由Ax=λx得

A2x=A(Ax)=A(λx)=λAx=λ2x

可知λ2是A2的特征值，x為特征向量．[考點]特征值、特征向量及二次型

9.

若A2有特征值λ，其對應(yīng)的特征向量為x，x是否一定為A的特征向量?說明理由．正確答案：解：不一定．若A2x=λx，取，則A2=0，A2的特征值為λ=0，取，顯然A2x=0x，但

即x不是A的特征向量，因此結(jié)論未必成立．[考點]特征值、特征向量及二次型

10.

試證(廣義的積分中值定理)：設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點ξ∈(a，b)，使得

正確答案：證明：記

則由原函數(shù)存在定理知，F(xiàn)'(x)=f(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)且在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，故由拉格朗日中值定理，至少存在一點ξ∈(a，b)，使得

F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)

即

注廣義的積分中值定理告訴我們，積分中值定理

中的中值點ξ可以取到開區(qū)間里面，即ξ∈(a，b)．此結(jié)論讀者可以記住，直接應(yīng)用．[考點]一元函數(shù)微積分

11.

證明：如果向量β可以由向量組α1，α2，…，αs線性表出，那么表出方式唯一的充分必要條件是α1，α2，…，αs線性無關(guān)．正確答案：證明：設(shè)

β=b1α1+b2α2+…+bsαs①

充分性．設(shè)α1，α2，…，αs線性無關(guān)．如果還有β=c1α1+c2α2+…+csαs，那么

b1α1+b2α2+…+bsαs=c1α1+c2α2+…+csαs

從而

(b1-c1)α1+(b2-c2)α2+…+(bs-cs)αs=0

由于α1，α2，…，αs線性無關(guān)，因此有b1-c1=0，b2-c2=0，…，bs-cs=0，即b1=c1，…，bs=cs．

所以β由向量組α1，α2，…，αs線性表出的方式唯一．

必要性．設(shè)β由向量組α1，α2，…，αs線性表出的方式唯一．假如α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則有不全為0的數(shù)k1，k2，…，ks，使得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0②

式①與式②相加，得

β=(b1+k1)α1+(b2+k2)α2+…+(bs+ks)αs③

由于k1，k2，…，ks不全為0，因此(b1+k1，b2+k2，…，bs+ks)≠(b1，b2，…，bs)．于是β由α1，α2，…，αs線性表出的方式至少有兩種：式①和式③．這與表出方式唯一矛盾．因此α1，α2，…，αs線性無關(guān)．[考點]向量

12.

設(shè)f(x)在[0，+∞)內(nèi)可微，且滿足不等式．證明：至少存在一點ξ∈(0，+∞)，使得．正確答案：證明：令，x∈(0，+∞)，則顯然g(x)≤0且g(0)=0．

而，進一步得，故對任意的ε＞0，存在G＞0，使得當x≥G時，-ε＜g(x)＜ε．又因g(x)在[0，G]上連續(xù)，則必存在ξ∈[0，G]，使得g(ξ)為最小值，如果當g(ξ)=0時，則g(x)≡0，x∈[0，+∞)．結(jié)論顯然成立；當g(ξ)＜0時，ξ必在開區(qū)間(0，G+1)內(nèi)取得，從而ξ必為極小值點，由費馬定理知g'(ξ)=0，又因

即得．[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

設(shè)n階可逆矩陣A有特征值λ，對應(yīng)的特征向量為ξ．13.

證明λ≠0；正確答案：證明：若λ=0，則

|λE-A|=|-A|=0

即|A|=0，這和A可逆矛盾，故λ≠0．[考點]特征值與特征向量

14.

求矩陣A-1，A*，E-A-1的與λ相關(guān)的特征值和特征向量．正確答案：解：由題設(shè)條件知

Aξ=λξ①

給式①兩端左邊乘A-1，且知λ≠0，得

由式②知，A-1有特征值，特征向量仍為ξ．

再給式①兩端左邊乘A*，得

由式③知，A*有特征值，特征向量仍為ξ．

同理

故E-A-1有特征值，特征向量仍為ξ．[考點]特征值與特征向量

15.

求曲線y=x2-1(x＞0)上的點P，過點P作曲線的切線L，L與x軸，y軸分別交于點M，N，試求點P的坐標，使得ΔOMN面積最小．正確答案：解：由(x2-1)'=2x知，在P(x，y)處的切線L為Y=2x(X-x)+y．

令X=0，Y=0，可得點N，M的坐標為N(0，y-2x2)，．故△OMN的面積為

令S'x=0，得(負值被舍去)，由實際背景知存在最小值，又只一個可疑點．故，P的坐標為．[考點]一元函數(shù)微積分

16.

把f(x)=ln(1+sinx)在x=0處展開到x4項(帶佩亞諾余項)．正確答案：解：[考點]連續(xù)、導數(shù)、微分(Ⅱ)

17.

求A的逆矩陣，．正確答案：解：令．由上題的結(jié)論，可知

A=En+bH+b2H2+…+bn-1Hn-1，Hn=0

注意到

于是

A(En-bH)=En-bnHn=En

從而

[考點]矩陣

18.

設(shè)A是一個n階矩陣，α是一個n維列向量．證明：如果，那么有．正確答案：證明：

19.

證明：若f(x)為[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且對一切x∈[0，1]，有，則f(x)≡0．正確答案：證明：顯然f(0)=0．對任意x0∈(0，1)，由積分中值定理

其中0≤ξ1≤x0．而f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以f(x)在[0，1]上存在最大值M．對于ξ1，

有，其中0≤ξ2≤ξ1，所以

依次類推，可知存在ξn∈[0，x0]，使得．而，所以f(x0)=0．又因為f(x)在x=1處左連續(xù)，所以．