考研數(shù)學(xué)二分類模擬244

考研數(shù)學(xué)二分類模擬244解答題1.

設(shè)f(x)有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，，求f(0)．正確答案：解：

所以

f(0)=I-f(π)=5-2=3[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

2.

設(shè)A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α3，α5線性無關(guān)，且α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5，求方程組Ax=0的通解．正確答案：解：因?yàn)棣?，α3，α5線性無關(guān)，又α2，α4可由α1，α3，α5線性表出，所以r(A)=3，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量．

由α2=3α1-α3-α5，α4=2α1+α3+6α5得方程組Ax=0的兩個(gè)解為

ξ1=(3，-1，-1，0，-1)T，ξ2=(2，0，1，-1，6)T

故Ax=0的通解為k1(3，-1，-1，0，-1)T+k2(2，0，1，-1，6)T(k1，k2為任意常數(shù))．[考點(diǎn)]線性方程組

3.

函數(shù)y=e-|x|在x=0處是否連續(xù)?是否可導(dǎo)?是否有極值?為什么?正確答案：解：令f(x)=e-|x|，則，所以y=e-|x|在x=0處連續(xù)．

又因?yàn)?/p>

所以y=e-|x|在x=0處不可導(dǎo)．又知，e-x≤1；，ex＜1，所以y=e-|x|在x=0處有極大值1．[考點(diǎn)]連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分(Ⅰ)

設(shè)二階矩陣．證明：4.

若|A|＜0，則A可相似于對(duì)角矩陣；正確答案：(1)證明：因

因|A|＜0，故A有兩個(gè)不同的特征值，從而A有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，A可相似于對(duì)角矩陣．[考點(diǎn)]特征值與特征向量

5.

若b，c同號(hào)，則A可相似于對(duì)角矩陣．正確答案：證明：同第一小題，有

因b，c同號(hào)，則bc＞0，故A有兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，A可相似于對(duì)角矩陣．[考點(diǎn)]特征值與特征向量

6.

求．正確答案：解：作變換t=-x，得

故

所以

I=4e-1[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

7.

計(jì)算Am，其中m是正整數(shù)，．正確答案：解：

由上述猜想得

當(dāng)m=1時(shí)顯然，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明式①成立．

假設(shè)Am-1時(shí)命題成立，現(xiàn)在考慮

由數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)于任意正整數(shù)m，式①成立．

注雖然可以把A寫成，但是不一定可以交換，因此二項(xiàng)式定理對(duì)于此題不適用．[考點(diǎn)]矩陣

8.

計(jì)算．正確答案：解1：湊全微分法．

解2：換元法．令，則x=sin2t，dx=sin2tdt，注意到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

9.

討論反常積分的斂散性．正確答案：解：當(dāng)p≥1時(shí)，原反常積分為無窮限的反常積分．對(duì)一切x∈[1，+∞)，有，而發(fā)散，故發(fā)散，從而原反常積分發(fā)散．

當(dāng)p＜1時(shí)，原反常積分既是無窮限的反常積分，也是瑕積分(瑕點(diǎn)為0)，故需將其拆成兩部分的和，分別討論兩個(gè)反常積分的斂散性．令

當(dāng)0＜p＜1時(shí)，對(duì)一切x∈[1，+∞)，有

(此時(shí)2-p＞1)，則收斂，所以由比較判別法知收斂．

又0＜p＜1時(shí)，0＜1-p＜1，，故由比較判別法的極限形式知瑕積分收斂．故0＜p＜1時(shí)，原反常積分收斂．

當(dāng)p≤0時(shí)，注意到此時(shí)1-p≥1，而，故瑕積分發(fā)散，從而原反常積分發(fā)散．

綜上，當(dāng)0＜p＜1時(shí)，原反常積分收斂；

當(dāng)p≥1或p≤0時(shí)，原反常積分發(fā)散．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

10.

設(shè)a＞0，證明：數(shù)列的極限存在，并求極限．正確答案：證明：由條件知

用歸納法易證{xn}單調(diào)遞增

再用歸納法證明：對(duì)所有的正整數(shù)n，有

顯然當(dāng)n=1，2時(shí)式②成立．假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)式②成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)

即證得{xn}單調(diào)遞增且有上界，故存在，設(shè)．對(duì)式①兩邊同時(shí)取極限得，解得．所以

[考點(diǎn)]函數(shù)、極限

11.

求．正確答案：解：令，則，而

所以．[考點(diǎn)]不定積分、定積分、反常積分

12.

設(shè)，求x2項(xiàng)與x3項(xiàng)的系數(shù)．正確答案：解：按照行列式的定義，f(x)的每一項(xiàng)均來自不同行不同列元素的乘積，而x2項(xiàng)和x3項(xiàng)均來自(x+2)(2x+3)(3x+1)，所以x2的系數(shù)為23，x3的系數(shù)為6．[考點(diǎn)]行列式

13.

，求．正確答案：解：注意到P1，P2為初等矩陣，且，故

[考點(diǎn)]矩陣

14.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，且f'(x)＞0，f(a)=0．試證

其中b＞a＞0，x=g(y)是y=f(x)的反函數(shù)．正確答案：證明：由于f[g(y)]=y，g[f(x)]=x，因此

[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

15.

設(shè)f(x，y)在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)且在邊界上取值為零，證明

其中D為圓環(huán)域ε2≤x2+y2≤1．正確答案：證明：令x=rcosθ，y=rsinθ，則

于是

因?yàn)閒(x，y)在單位圓邊界上取值為零，所以f(cosθ，sinθ)=0，利用定積分中值定理知

故

結(jié)論得證．[考點(diǎn)]二重積分

已知五階行列式

計(jì)算：16.

A41+A42+A43+A44+A45；正確答案：解1：

解2：由

2(A41+A42+A43)+A44+A45=0

A41+A42+A43+2(A44+A45)=27

得

A44+A45=18

①

故

A41+A42+A43+A44+A45=9

②[考點(diǎn)]行列式

17.

A41．正確答案：解：因

A41+2A42+3A43+4A44+5A45=0③

3A41+A42+2A43+4A44+5A45=0④

④-③可得

2A41-A42-A43=0⑤

而由①②兩式可知

A41+A42+A43=-9⑥

⑤⑥兩式相加得A41=-3．[考點(diǎn)]行列式

18.

計(jì)算，其中D={(x，y)|3x2≤y≤3}，[y-3x2]表示取整函數(shù)．正確答案：解：因?yàn)楸环e函數(shù)的根號(hào)中取整函數(shù)，所以將區(qū)域D分解為如下三個(gè)區(qū)域(下圖)

D1=D∩{(x，y)|0≤y-3x2＜1}

D2=D∩{(x，y)|1≤y-3x2＜2}

D3=D∩{(x，y)|2≤y-3x2≤3}

且

根據(jù)二重積分對(duì)區(qū)域的可加性及D2，D3關(guān)于y軸的對(duì)稱性，得

[考點(diǎn)]多元函數(shù)微積分

19.

試求曲線y3+xy2+x2y+6=0在點(diǎn)(1，-2)處的曲率．正確答案：解：由已知條件可得

(3y2+2xy+x2)y'+(y2+2xy)=0

(6yy'+4y+2xy'+4x)y'+(3y2+2xy+x2)y"+2y=0

將x=1，y=-2代入上式得y'|x=1=0，，于是所求曲率

[考點(diǎn)]定積分的應(yīng)用

20.

設(shè)，求證：f(x)在(0，+∞)上的最大值不超過．正確答案：證明：因?yàn)閒'(x)=(x-x2)(sinx)2n，所以，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'(x)＜0．故對(duì)一切x≥0，有f(x)≤f(1)，而

所以，當(dāng)x＞0時(shí)，，命題得證．[考點(diǎn)]一元函數(shù)微積分

21.

設(shè)A，B是同階可逆方陣，且A-1+B-1是可逆矩陣，證明A+B是可逆矩陣，并求(A+B)-1．正確答案：