考研數(shù)學(xué)二分類模擬題27

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題27解答題1.

設(shè)f(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，．證明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf'(ξ)=0．正確答案：[證明]令φ(x)=x2f(x)，由積分中值定理得，其中c∈，即φ(c)=φ(1)，顯然φ(x)在區(qū)間[0，1]上可導(dǎo)，由羅爾中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ'(x)=0．而φ'(x)=2xf(x)+x2f'(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f'(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf'(ξ)=0．

2.

設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]令，顯然φ(x)在[a，b]上可導(dǎo)，又φ(a)=φ(b)=0，

由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ'(ξ)=0，而，

所以，即．[解析]由得即，則輔助函數(shù)為．

3.

設(shè)f(t)在[0，π]上連續(xù)，在(0，π)內(nèi)可導(dǎo)，且．證明：存在ξ∈(0，π)，使得f'(ξ)=0．正確答案：[證明]令，因?yàn)镕(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F'(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因?yàn)閟inx1≠0，所以f(x1)=0．

設(shè)x1是f(x)在(0，π)內(nèi)唯一的零點(diǎn)，則當(dāng)x∈(0，π)且x≠x1時(shí)，有sin(x-x1)f(x)恒正或恒負(fù)，于是

而矛盾，所以f(x)在(0，π)內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．不妨設(shè)f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由羅爾中值定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f'(ξ)=0．

4.

設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=f(2)=0，且|f'(x)|≤2．證明：

正確答案：[證明]由微分中值定理得f(x)-f(0)=f'(ξ1)x，其中0＜ξ1＜x，f(x)-f(2)=f'(ξ2)(x-2)，其中x＜ξ2＜2，于是

從而

5.

設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階連續(xù)可導(dǎo)，證明：存在ξ∈(a，b)，使得

正確答案：[證明]令，則F(x)在[a，b]上三階連續(xù)可導(dǎo)，取，由泰勒公式得

兩式相減得，即

因?yàn)閒"(x)在[a，b]上連續(xù)，所以存在ξ∈[ξ1，ξ2](a，b)，使得，從而

6.

求曲線與x軸圍成的區(qū)域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．正確答案：[解]

取，dVy=2πxcosxdx，

故

7.

求曲線y=x2-2x、y=0、x=1、x=3所圍成區(qū)域的面積S，并求該區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V．正確答案：[解]區(qū)域面積為

設(shè)L：y=e-x(x≥0)．8.

求由y=e-x、x軸、y軸及x=a(a＞0)所圍成平面區(qū)域繞x軸一周而得的旋轉(zhuǎn)體的體積V(a)．正確答案：[解]

9.

設(shè)，求c．正確答案：[解]由，得，解得．

設(shè)y=f(x)為區(qū)間[0，1]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)．10.

證明存在c∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，c]上以f(c)為高的矩形面積等于區(qū)間[c，1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積；正確答案：[證明]S1(c)=cf(c)，，即證明S1(c)=S2(c)，或．令，φ(0)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理，存在c∈(0，1)，使得φ'(c)=0，即，所以S1(c)=S2(c)，命題得證．

11.

設(shè)f(x)在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且，證明(1)中的c是唯一的．正確答案：[證明]令，因?yàn)閔'(x)=2f(x)+xf'(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上為單調(diào)函數(shù)，所以(1)中的c是唯一的．

12.

求圓x2+y2=2y內(nèi)位于拋物線y=x2上方部分的面積．正確答案：[解]由得所圍成的面積為

13.

求雙紐線(x2+y2)2=a2(x2-y2)所圍成的面積．正確答案：[解]根據(jù)對稱性，所求面積為第一卦限面積的4倍，令則雙紐線的極坐標(biāo)形式為，第一卦限的面積為

所求面積為A=4A1=a2．

14.

拋物線y2=2x把圓x2+y2=8分成兩個(gè)部分，求左右兩個(gè)部分的面積之比．正確答案：[解]設(shè)左邊的面積為S1，右邊的面積為S2，

由得

則

由得

15.

設(shè)C1，C2是任意兩條過原點(diǎn)的曲線，曲線C介于C1，C2之間，如果過C上任意一點(diǎn)P引平行于x軸和y軸的直線，得兩塊陰影所示區(qū)域A，B有相等的面積，設(shè)C的方程是y=x2，C1的方程是，求曲線C2的方程．正確答案：[解]由題設(shè)C:y=x2，，令C2:x=f(y)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則

所以，因?yàn)镻∈C，所以有，即，兩邊對x求導(dǎo)，得，即．

從而C2的方程為，即

16.

設(shè)曲線y=a+x-x3，其中a＜0．當(dāng)x＞0時(shí)，該曲線在x軸下方與y軸、x軸所圍成圖形的面積和在x軸上方與x軸所圍成圖形的面積相等，求a．正確答案：[解]設(shè)曲線y=a+x-x3與x軸正半軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為α，β(α＜β)，由條件得，移項(xiàng)得

因?yàn)棣拢?，所以4a+2β-β3=0．

又因?yàn)?β，0)為曲線y=a+x-x3與x軸的交點(diǎn)，所以有a+β-β3=0，從而有．

17.

曲線y=(x-1)(x-2)和x軸圍成平面圖形，求此平面圖形繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：[解]取[x，x+dx][1，2]，dv=2πx|(x-1)(x-2)|dx=-2πx(x-1)(x-2)dx，

18.

設(shè)平面圖形D由x2+y2≤2x與y≥x圍成，求圖形D繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：[解]取[x，x+dx][0，1]，則

19.

求曲線y=3-|x2-1|與x軸圍成的封閉圖形繞y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：[解]取[x，x+dx][0，1]，

dv1=π[32-(x2-1)2]dx=π(8+2x2-x4)dx，

dv2=π[32-(1-x2)2]dx=π(8+2x2-x4)dx，

則所求體積為

20.

求由曲線y=4-x2與x軸圍成的部分繞直線x=3旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積．正確答案：[解]方法一取[x，x+dx][-2，2]，則dV=2π(3-x)(4-x2)dx，

方法二取[y，y+dy][0，4]，

則

21.

曲線y=x2(x≥0)上某點(diǎn)處作切線，使該曲線、切線與x軸所圍成的面積為，求切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程，并求此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積．正確答案：[解]設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(a，a2)(a＞0)，則切線方程為y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，

由題意得，解得a=1，

則切線方程為y=2x-1，旋轉(zhuǎn)體的體積為．

22.

求擺線(a＞0)的第一拱繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：[解]

23.

設(shè)曲線與x軸、y軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V1(a)，繞y軸旋轉(zhuǎn)所得立體體積為V2(a)，問a為何值時(shí)，V1(a)+V2(a)最大，并求最大值．正確答案：[解]曲線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a，0)，(0，b)，其中b=4-a．曲線可化為，對任意的[x，x+dx][0,a]，

于是，根據(jù)對稱性，有．

于是．

令，又V"(2)＜0，所以a=2時(shí)，兩體積之和最大，且最大值為．

24.

設(shè)一拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(0，0)與(1，2)，且a＜0，確定a，b，c，使得拋物線與x軸所圍圖形的面積最?。_答案：[解]因?yàn)榍€過原點(diǎn)，所以c=0，又曲線過點(diǎn)(1，2)，所以a+b=2，b=2-a．

因?yàn)閍＜0，所以b＞0，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為0，，所以

令S'(a)=0，得a=-4，從而b=6，所以當(dāng)a=-4，b=6，c=0時(shí)，拋物線與x軸所圍成的面積最小．

設(shè)直線y=kx與曲線所圍平面圖形為D1，它們與直線x=1圍成平面圖形為D2．25.

求k，使得D1與D2分別繞x軸旋轉(zhuǎn)一周成旋轉(zhuǎn)體體積V1與V2之和最小，并求最小值；正確答案：[解]由方程組得直線與曲線交點(diǎn)為

則令因?yàn)閂"(k)＞0，所以函數(shù)V(k)當(dāng)時(shí)取最小值，且最小值為．

26.

求此時(shí)的D1+D2．正確答案：[解]因?yàn)?，所以此時(shí)．

27.

求擺線(0≤t≤2π)的長度．正確答案：[解]，則．

28.

設(shè)曲線，過原點(diǎn)作切線，求此曲線、切線及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積．正確答案：[解]設(shè)切點(diǎn)為，則過原點(diǎn)的切線方程為

將代入切線方程，得a=2，，故切線方程為，

由曲線在區(qū)間[1，2]上的一段繞x軸一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積為

切線y在區(qū)間[0，2]上一段繞x軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲面面積為