考研數(shù)學(xué)二分類模擬題36

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題36一、填空題1.

設(shè)線性相關(guān)，則a=______．正確答案：[解析]α1，α2，α3線性相關(guān)的充分必要條件是，從而

2.

設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，且α1+2α2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3線性相關(guān)，則a=______。正確答案：5[解析]

因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，而α1+aα2，4α3，2α1+α2-α3，α2+α3線性相關(guān)，所以，即解得a=5．

3.

設(shè)，且α，β，γ兩兩正交，則a=______，b=______．正確答案：-4

-13[解析]因?yàn)棣粒?，γ正交，所以，解得a=-4，b=-13．

4.

設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)為4階方陣，且AX=0的通解為X=k(1，1，2，-3)T，則α2由α1，α3，α4表示的表達(dá)式為______．正確答案：α2=-α1-2α3+3α4[解析]因?yàn)?1，1，2，-3)T為AX=0的解，

所以α1+α2+2α3-3α4=0，故α2=-α1-2α3+3α4．

二、選擇題1.

若α1，α2，α3線性相關(guān)，α2，α3，α4線性無關(guān)，則______．A.α2可由α2，α3線性表示B.α4可由α1，α2，α3線性表示C.α4可由α1，α3線性表示D.α4可由α1，α2線性表示正確答案：A[解析]因?yàn)棣?，α3，α4線性無關(guān)，所以α2，α3線性無關(guān)，又因?yàn)棣?，α2，α3線性相關(guān)，所以α1可由α2，α3線性表示，選A．

2.

設(shè)向量組α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，則向量組______．A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性無關(guān)B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1線性無關(guān)C.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無關(guān)D.α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1線性無關(guān)正確答案：C[解析]因?yàn)?(α1+α2)+(α2+α3)-(α3+α4)+(α4+α1)=0，

所以α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1線性相關(guān)；

因?yàn)?α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，

所以α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1線性相關(guān)；

因?yàn)?α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0，

所以α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1線性相關(guān)，容易通過證明向量組線性無關(guān)的定義法得α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無關(guān)，選C．

3.

向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)的充分必要條件是______．A.向量組α1，α2，…，αm，β線性無關(guān)B.存在一組不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0C.向量組α1，α2，…，αm的維數(shù)大于其個(gè)數(shù)D.向量組α1，α2，…，αm的任意一個(gè)部分向量組線性無關(guān)正確答案：D[解析]A不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm，β線性無關(guān)可以保證α1，α2，…，αm線性無關(guān)，但α1，α2，…，αm線性無關(guān)不能保證α1，α2，…，αm，β線性無關(guān)；

B．不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm線性無關(guān)可以保證對(duì)任意一組非零常數(shù)k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一組不全為零的常數(shù)k1，k2，…，km使得k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保證k1，k2，…，km線性無關(guān)；

C．不對(duì)，向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān)不能得到其維數(shù)大于其個(gè)數(shù)，如線性無關(guān)，但其維數(shù)等于其個(gè)數(shù)，選D．

4.

設(shè)向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān)，β1可由α1，α2，…，αm線性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，則______．A.α1，α2，…，αm-1，β1線性相關(guān)B.α1，α2，…，αm-1，β1，β2線性相關(guān)C.α1，α2，…，αm，β1+β2線性相關(guān)D.α1，α2，…，αm，β1+β2線性無關(guān)正確答案：D[解析]A不對(duì)，因?yàn)棣?可由向量組α1，α2，…，αm線性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1線性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定線性相關(guān)；

B不對(duì)，因?yàn)棣?，α2，…，αm-1，β1不一定線性相關(guān)，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β線性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定線性相關(guān)；

C不對(duì)，因?yàn)棣?不可由α1，α2，…，αm線性表示，而β1可由α1，α2，…，αm線性表示，所以β1+β2不可由α1，α2，…，αm線性表示，于是α1，α2，…，αm，β1+β2線性無關(guān)，選D．

5.

設(shè)n維列向量組α1，α2，…，αm(m＜n)線性無關(guān)，則n維列向量組β1，β2，…，βm線性無關(guān)的充分必要條件是______．A.向量組α1，α2，…，αm可由向量組β1，β2，…，βm線性表示B.向量組β1，β2，…，βm可由向量組α1，α2，…，αm線性表示C.向量組α1，α2，…，αm與向量組β1，β2，…，βm等價(jià)D.矩陣A=(α1，α2，…，αm)與矩陣B=(β1，β2，…，βm)等價(jià)正確答案：D[解析]因?yàn)棣?，α2，…，αm線性無關(guān)，所以向量組α1，α2，…，αm的秩為m，向量組β1，β2，…，βm線性無關(guān)的充分必要條件是其秩為m，所以選D．

6.

設(shè)α1，α2，α3線性無關(guān)，β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，對(duì)任意的常數(shù)k有______．A.α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關(guān)B.α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)C.α1，α2，α3，β1+kβ2線性無關(guān)D.α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關(guān)正確答案：A[解析]因?yàn)棣?可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量組α1，α2，α3線性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關(guān)，選A．

7.

設(shè)n階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，記向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量組(Ⅲ)線性相關(guān)，則______．A.(Ⅰ)，(Ⅱ)都線性相關(guān)B.(Ⅰ)線性相關(guān)C.(Ⅱ)線性相關(guān)D.(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一個(gè)線性相關(guān)正確答案：D[解析]若α1，α2，…，αn線性無關(guān)，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，則rA=n，rB=n，于是r(AB)=n．因?yàn)棣?，γ2，…，γn線性相關(guān)，所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)＜n，故α1，α2，…，αn與β1，β2，…，βn至少有一個(gè)線性相關(guān)，選D．

8.

設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩為r1，向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩為r2，且向量組(Ⅱ)可由向量組(Ⅰ)線性表示，則______．A.α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩為r1+r2B.向量組α1-β1，α2-β2，…，αs-βs的秩為r1-r2C.向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1+r2D.向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1正確答案：D[解析]因?yàn)橄蛄拷Mβ1，β2，…，βs可由向量組α1，α2，…，αs線性表示，所以向量組α1，α2，…，αs與向量組口α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等價(jià)，選D．

9.

向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)的充要條件是______．A.α1，α2，…，αs都不是零向量B.α1，α2，…，αs中任意兩個(gè)向量不成比例C.α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量線性表示D.α1，α2，…，αs中有一個(gè)部分向量組線性無關(guān)正確答案：C[解析]若向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則其中任一向量都不可由其余向量線性表示，反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量線性表示，則α1，α2，…，αs一定線性無關(guān)，因?yàn)槿籀?，α2，…，αs線性相關(guān)，則其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，故選C．

10.

設(shè)A為n階矩陣，且|A|=0，則A______．A.必有一列元素全為零B.必有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例C.必有一列是其余列向量的線性組合D.任一列都是其余列向量的線性組合正確答案：C[解析]因?yàn)閨A|=0，所以rA＜n，從而A的n個(gè)列向量線性相關(guān)，于是其列向量中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，選C．

三、解答題1.

設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，證明：α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3線性無關(guān)．正確答案：[證明]方法一

令k1(α1+α2+α3)+k2(α1+2α2+3α3)+k3(α1+4α2+9α3)=0，即(k1+k2+k3)α1+(k1+2k2+4k3)α2+(k1+3k2+9k3)α3=0，

因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以確

而，由克拉默法則得k1=k2=k3=0，所以α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3線性無關(guān)．

方法二

令A(yù)=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)，

則因?yàn)榭赡妫詒(B)=r(A)=3，

故α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3線性無關(guān)．

2.

設(shè)α1，…，αm，β為m+1維向量，β=α1+…+αm(m＞1)．證明：若α1，…，αm線性無關(guān)，則β-α1，…，β-αm線性無關(guān)．正確答案：[證明]令k1(β-α1)+…+km(β-αm)=0，即

k1(α2+α3+…+αm)+…+km(α1+α2+…+αm-1)=0或(k2+k3+…+km)α1+(k1+k3+…+km)α2+…+(k1+k2+…+km-1)αm=0，

因?yàn)棣?，…，αm線性無關(guān)，所以

因?yàn)?，所以k1=…=km=0，故β-α1，…，β-αm線性無關(guān)．

3.

設(shè)α1，α2，…，αn(n≥2)線性無關(guān)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，α1+α2，α2+α3…，αn+α1線性無關(guān)．正確答案：[證明]設(shè)有x1，x2，…，xn，使x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0，即(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0，

因?yàn)棣?，α2，…，αn線性無關(guān)，所以有，該方程組系數(shù)行列式Dn=1+(-1)n+1，n為奇數(shù)線性無關(guān)．

4.

設(shè)α1，…，αn為n個(gè)m維向量，且m＜n．證明：α1，…，αn線性相關(guān)．正確答案：[證明]方法一向量組α1，…，αn線性相關(guān)的充分必要條件是方程組x1α1+…+xnαn=0有非零解，

因?yàn)榉匠探Mx1α1+…+xnαn=0中變量有n個(gè)，約束條件最多有m個(gè)且m＜n，所以方程組x1α1+…+xnαn=0一定有自由變量，即方程組有非零解，故向量組α1，αn線性相關(guān)．

方法二令A(yù)=(aα1，…，αn)，r(A)≤min{m，n}=m＜n，因?yàn)榫仃嚨闹扰c矩陣的行向量組與列向量組的秩相等，所以向量組α1，…，αn的秩不超過m，于是向量組α1，…，αn線性相關(guān)．

5.

證明：若一個(gè)向量組中有一個(gè)部分向量組線性相關(guān)，則該向量組一定線性相關(guān)．正確答案：[證明]設(shè)α1，…，αn為一個(gè)向量組，且α1，…，αr(r＜n)線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k1，…，kr，使得k1α1+…+krαr=0，于是k1α1+…+krαr+0αr+1+…+0αn=0，因?yàn)閗1，…，kr，0，…，0不全為零，所以α1，…，αn線性相關(guān)．

6.

n維列向量組α1，…，αn-1線性無關(guān)，且與非零向量β正交．證明：α1，…，αn-1，β線性無關(guān)．正確答案：[證明]令k0β+k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，…，αn-1與非零向量β正交及(β，k0β+k1α1+…+kn-1αn-1)=0得k0(β，β)=0，因?yàn)棣聻榉橇阆蛄?，所?β，β)=|β|2＞0，于是k0=0，故k1α1+…+kn-1αn-1=0，由α1，…，αn-1線性無關(guān)得k1=…kn-1=0，于是α1，…，αn-1，β線性無關(guān)．

7.

設(shè)向量組α1，…，αn為兩兩正交的非零向量組，證明：α1，…，αn線性無關(guān)，舉例說明逆命題不成立．正確答案：[證明]令k1α1+…+knαn=0，由α1，…，αn兩兩正交及(α1，k1α1+…+knαn)=0，得k1(α1，α1)=0，而(α1，α1)=|α1|2＞0，于是k1=0，同理可證k2=…=kn=0，故α1，…，αn線性無關(guān)．令，顯然α1，α2線性無關(guān)，但α1，α2不正交．

8.

設(shè)A為n×m矩陣，B為m×n矩陣(m＞n)，且AB=E．證明：B的列向量組線性無關(guān)．正確答案：[證明]首先r(B)≤min{m，n}=n，由AB=E得r(AB)=n，而r(AB)≤r(B)，所以r(B)≥n，從而r(B)=n，于是B的列向量組線性無關(guān)．

9.

設(shè)α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，而向量組α1，α2，…，αm，γ線性相關(guān)．證明：向量γ可由向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性表示．正確答案：[證明]因?yàn)橄蛄拷Mα1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，所以向量組α1，α2，…，αm也線性無關(guān)，又向量組α1，α2，…，αm，γ線性相關(guān)，所以向量γ，可由向量組α1，α2，…，αm線性表示，從而γ可由向量組α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn線性表示．

10.

設(shè)向量組線性相關(guān)，但任意兩個(gè)向量線性無關(guān)，求參數(shù)t．正確答案：[解]向量組α1，α2，α3線性相關(guān)的充分必要條件是|α1，α2，α3|=0，而，所以t=-1或者t=-5，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)向量線性無關(guān)，所以t=-5．

11.

設(shè)α1，α2，…，αn為n個(gè)線性無關(guān)的n維向量