考研數(shù)學二分類模擬題84

考研數(shù)學二分類模擬題84一、填空題1.

正確答案：．[解析]

也可以直接使用洛必達法則，但不如上面湊差函數(shù)直接等價代換方便．

2.

正確答案：．[解析]這是“1∞”型，，而，故

3.

正確答案：．[解析]這是“1∞”型，，

而，故

4.

正確答案：0[解析]令

In=∫e-xsinnxdx=-e-xsinnx+n∫e-xcosnxdx=-e-xsinnx-ne-xcosnx-n2In，

所以

即

(1)∫eaxsinbxdx是典型的循環(huán)積分(兩次分部積分后再次出現(xiàn)本身)．

(2)本題實際上有著更一般的結論：

若f(x)在[0，1]上有一階連續(xù)導數(shù)，則．可用夾逼準則去推導，留給讀者自練．

5.

=______．正確答案：．[解析]

而

由夾逼準則可知：原極限=．

6.

正確答案：．[解析]

7.

正確答案：．[解析]

8.

極限正確答案：sin1-cos1．[解析]

二、選擇題1.

設函數(shù)f(x)=arctanx．若f(x)=xf'(ξ)，則

A．1．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]因為，且f(x)=xf'(ξ)，所以可知，從而．又當x→0時，，故

2.

設，則極限等于

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]

故

選項B正確．

3.

若，則為A.0．B.6．C.36．D.∞．正確答案：C

4.

已知，其中a，b是常數(shù)，則A.a=1，b=1．B.a=-1，b=1．C.a=1，b=-1．D.a=-1，b=-1．正確答案：C[解析]由知，

1-a=0，a+b=0，則a=1，b=-1．

5.

設，則

A．

B．a(chǎn)=0，b=-2．

C．

D．a(chǎn)=1，b=-2．正確答案：A[解析]解法1

由上式右端可知a=1，否則原式極限為無窮．

則

得．

解法2

由泰勒公式可知．

又

則

直接在分子中加一個x，減一個x，湊出ln(1+x)-x，然后拆開處理也是很簡單的．

6.

等于

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]

7.

設函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是A.若{xn}收斂，則{f(xn)}收斂．B.若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂．C.若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂．D.若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂．正確答案：B[解析]在選項B中，因為數(shù)列{xn}單調(diào)，考慮到f(x)是單調(diào)有界函數(shù)，所以數(shù)列{f(xn)}不僅單調(diào)，而且有界，從而收斂．

8.

設an＞0(n=1，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，則數(shù)列{Sn}有界是數(shù)列{an}收斂的A.充分必要條件．B.充分非必要條件．C.必要非充分條件．D.既非充分也非必要條件．正確答案：B[解析]因為an＞0(a=1，2，…)，所以數(shù)列{Sn}是單調(diào)增加的．

如果{Sn}有界，根據(jù)單調(diào)有界準則，知{Sn}的極限存在，記由此可得

即數(shù)列{an}收斂．可知數(shù)列{Sn}有界是數(shù)列{an}收斂的充分條件．

但是，若{an}收斂，{Sn}卻未必有界．例如，取an=1(n=1，2，…)，則{an}收斂，但Sn=n無上界．可見{Sn}有界并非是{an}收斂的必要條件，故應選B．

9.

當x→0時，x-sinx是x2的A.低階無窮?。瓸.高階無窮?。瓹.等價無窮?。瓺.同階但非等價無窮?。_答案：B[解析]解法1

由于，則當x→0時，x-sinx是x2的高階無窮?。?/p>

解法2

由于x→0時，，故選B．

10.

設當x→0時，ex-(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，則

A．

B．a(chǎn)=1，b=1

C．

D．a(chǎn)=-1，b=1．正確答案：A[解析]解法1

由泰勒公式可知

由題設可知，

即

則，b=1．

解法2

由洛必達法則可知

若b≠1，上式右端趨于無窮，從而左端也趨于無窮，與原題設矛盾，所以b=1．

因此

，所以應選A．

11.

設x→0時，etanx-ex與xn是同階無窮小，則n為A.1．B.2．C.3．D.4．正確答案：C[解析]當x→0時，

etanx-ex=exe(tanx-x-1)～ex(tanx-x)～tanx-x，

而

，

所以

因此選C．

可以仿照解答來驗證：當x→x0時，若f(x)→0，g(x)→0，則ef(x)-eg(x)～f(x)-g(x)．

12.

設，則當x→0時，α(x)是β(x)的A.高階無窮?。瓸.低階無窮?。瓹.M階但不等價的無窮?。瓺.等價無窮?。_答案：C[解析]解法1

先利用洛必達法則求出，再根據(jù)此極限值進行判定．

故α(x)是β(x)同階但不等價的無窮小量．

解法2

，故選C．

三、解答題1.

求極限正確答案：解法1

解法2

解法3

由x→0時，，知，于是

解法4

由于，則，于是

2.

求極限正確答案：解法1

解法2

遇到當x→0時．分子含sinx，arcsinx，tanx，arctanx，分母對應為x3或者分子含ln(1+x)，分母對應是x2時都可以采用解法2這種加減項拆開湊常見差函數(shù)的等價方法進行求解．

3.

求極限正確答案：解

因為

且

所以

4.

設函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)≠0，求極限正確答案：解法1

解法2

解法3

5.

已知函數(shù)．設，試求α的取值范圍．正確答案：解

因為

由題意，得α＞1．

又因為

由題意，得α＜3．

綜上所述，1＜α＜3．

6.

求極限正確答案：解

7.

已知，求常數(shù)a．正確答案：解

這是“1∞”型，直接有，則a=ln3．

8.

確定常數(shù)a，b，c的值，使．正確答案：解

由于x→0時，ax-sinx→0且

故b=0．再用洛必達法則：

若a≠1，則上式為∞，與條件不符，故a=1，從而再用洛必達法則(或等價無窮小代換)，得．

9.

比較的大小，說明理由；正確答案：解

當0≤t≤1時，因為0≤ln(1+t)≤t，所以

0≤|lnt|[ln(1+t)]n≤tn|lnt|，

因此

10.

記un=|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求極限．正確答案：解

由上一小題知

因為

所以．故由夾逼準則可知．[解析](1)本題第一問用到基本不等式：，x∈(0，+∞)．

(2)第二問實際上是有著更一般的結論：若f(x)在[0，1]上連續(xù)，則(讀者可用夾逼準則簡單驗證)，于是由于，記f(t)=t|lnt|，0＜t≤1，則可補充定義f(0)=0，這樣f(t)=t|lnt|在0≤t≤1上便是連續(xù)的，根據(jù)上面的結論便有，再由夾逼準則知，

11.

設f(x)是區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)減少且非負的連續(xù)函數(shù)，(n=1，2，…)，證明數(shù)列{an}的極限存在．正確答案：證

由題設可得

因此

即數(shù)列{an}有下界．又

即數(shù)列{an}單調(diào)減少，故由單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準則知數(shù)列{an}的極限存在．

12.

設0＜x1＜3，(n=1，2，…)，證明數(shù)列{xn}的極限存在，并求此極限．正確答案：解

由題設0＜x1＜3知，x1，3-x1均為正數(shù)，故

設當k＞1時，，則

故由數(shù)學歸納法知，對任意正整數(shù)n＞1，均有，即數(shù)列{xn}是有界的．

又當n＞1時，

故當n＞1時，xn+1≥xn，即數(shù)列{xn}單調(diào)增加．

所以由單調(diào)有界數(shù)列極限存在的準則知存在．

設，由

得

解之得，a=0(舍去)．即

設數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)．13.

證明存在，并求該極限；正確答案：證

用歸納法證明{xn}單調(diào)下降且有下界．

由0＜x1＜π，得

0＜x2=sinx1＜x1＜π．

設0＜xn＜π，則

0＜xn+1=sinxn＜xn＜π，

所以{xn}單調(diào)下降且有下界，故存在．

記由xn+1=sinxn得a=sina，所以a=0，即．

14.

計算．正確答案：解

因為

又因上一小題知，所以

[解析](1)本題用到基本不等式sinx＜x＜tanx，．

(2)第二問中不能對數(shù)列直接使用洛必達法則，需要轉化為函數(shù)形式才可以使用洛必達法則進行求導．

15.

證明：對任意的正整數(shù)n，都有成立；正確答案：證法1

令f(x)=lnx(x＞0)．對任意正整數(shù)n，根據(jù)拉格朗日中值定理，得

其中n＜ξ＜n+1，所以

證法2

令F(x)=x-ln(1+x)(x＞0)，則

即當x＞0時F(x)單調(diào)增加．又F(0)=0，所以F(x)＞0(x＞0)，從而

再令，則

即G(x)(x＞0)單調(diào)增加．又G(0)=0，所以G(x)＞0(x＞0)，從而

綜上可知，有

證法3

令，可知．

又

即F(x)(x＞0)單調(diào)減少，所以F(x)＞0(x＞0)，故

再令，可知

又

即G(x)(x＞0)單調(diào)減少，所以G(x)＞0(x＞0)，故

綜上可知，有

．

證法4

因為，且

所以．

16.

設(n-1，2，…)，證明數(shù)列{an}收斂．正確答案：證

由上一小題知，當n≥1時

故數(shù)列{an}單調(diào)減少且有下界，所以{an}收斂．

17.

證明方程xn+xn-1+…+x=1(n為大于1的整數(shù))在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根；正確答案：證

令f(x)=xn+xn-1+…+x-1(n＞1)，則f(x)在上連續(xù)．且

故由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理知，f(x)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即方程xn+xn-1+…+x=1在區(qū)間內(nèi)至少有一個實根．

又

故f(x)在內(nèi)單調(diào)增加，可知f(x)在區(qū)間內(nèi)只有一個零點．從而方程f(x)=0，即xn+xn-1+…+x=1在區(qū)間內(nèi)有且儀有一個實根．

18.

記上一小題中的實根為xn，證明存在，并求此極限·正確答案：解

由于，所以數(shù)列{xn}有界．又

而，所以

即

顯然方括號內(nèi)各項均為正，于是有

xn≥xn+1，n=2，3，…，

即{xn}單調(diào)減少．

由以上討論知，數(shù)列{xn}單調(diào)有界，故{xn}收斂，設．由于

令n→∞，并注意到，則有，解得，

即．[解析]本題是一道綜合題，考查方程的根的存在性及個數(shù)、數(shù)列的單調(diào)有界準則．

設函數(shù)．