考研數(shù)學(xué)二分類模擬題99

考研數(shù)學(xué)二分類模擬題99一、填空題1.

微分方程y"+y=-2x的通解為_(kāi)_____．正確答案：y=-2x+C1cosx+C2sinx，其中C1，C2為任意常數(shù)．[解析]特征方程為r2+1=0（江南博哥），解得r1=i，r2=-i．

對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

易觀察出該非齊次方程的一個(gè)特解為y*=-2x．

則原方程通解為y=C1cosx+C2sinx-2x(其中C1，C2為任意常數(shù))．

2.

微分方程y"+2y'+5y=0的通解為_(kāi)_____．正確答案：y=e-x(C1cos2x+C2sin2x)，其中C1，C2為任意常數(shù)．[解析]特征方程為r2+2r+5=0，r1，2=-1±2i．

故通解為y=C1e-xcos2x+C2e-xsin2x．

3.

微分方程y"-4y=e2x的通解為_(kāi)_____．正確答案：．[解析]特征方程為：r2-4=0，解得r1=2，r2=-2，故y"-4y=0的通解Y=C1e-2x+C2e2x．由于非齊次方程右端的非齊次項(xiàng)為e2x，指數(shù)上的2為特征方程的單根，故原方程特解可設(shè)為y*=Axe2x，代入原方程化簡(jiǎn)得．故所求通解為

4.

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y"-4y'+3y=2e2x的通解為_(kāi)_____．正確答案：C1e3x+C2ex-2e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)．[解析]方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為r2-4r+3=0，解得r1=3，r2=1，故齊次方程的通解為Y=C1e3x+C2ex．因?yàn)榉驱R次項(xiàng)f(x)=2e2x，α=2不是特征方程的根，故可令方程的特解為y*=Ae2x，代入方程得4Ae2x-8Ae2x+3Ae2x=2e2x，求得A=-2．于是方程的通解為

y=Y+y*=C1e3x+C2ex-2e2x，其中C1，C2為任意常數(shù)．

5.

3階常系數(shù)線性齊次微分方程y'''-2y"+y'-2y=0的通解為y=______．正確答案：C1e2x+C2cosx+C3inx，其中C1，C2，C3為任意常數(shù)．[解析]原方程對(duì)應(yīng)的特征方程為

r3-2r2+r-2=0．

其根為r1=2，r2，3=±i，因此原方程的通解為

y=C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3為任意常數(shù)．

6.

已知y1=e3x-xe2x，y2=ex-xe2x=-xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程滿足條件y|x=0=0，y'|x=0=1的解為y=______．正確答案：-ex+e3x-xe2x．[解析]記則是題設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)解，且線性無(wú)關(guān)．由此可得題設(shè)微分方程的通解是

即y=C1e3x+C2ex-xe2x．

代入初始條件y|x=0=0，y'|x=0=1，得

解出C1=1，C2=-1，故所求特解為y=e3x-ex-xe2x．

7.

設(shè)函數(shù)y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0處y(x)取得極值3，則y(x)=______．正確答案：e-2x+2ex．[解析]求y(x)歸結(jié)為求解二階常系數(shù)齊次線性方程的初值問(wèn)題．

由特征方程λ2+λ-2=0，即(λ+2)(λ-1)=0得特征根λ1=-2，λ2=1，于是得通解y=C1e-2x+C2ex．

由初值條件得

因此y(x)=e-2x+2ex．

二、解答題1.

已知y1=xex+e2x，y2=xex-e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程．正確答案：解

由題設(shè)知，e2x與e-x是相應(yīng)齊次方程兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，且xex是非齊次方程的一個(gè)特解，故此方程是

y"-y'-2y=f(x)．

將y=xex代入上式，得

f(x)=(xex)"-(xex)'-2xex=2ex+xex-ex-xex-2xex

=ex-2xex，

因此所求方程為y"-y'-2y=ex-2xex．

2.

利用代換將方程

y"cosx-2y'sinx+3ycosx=ex

化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解．正確答案：解

y=usecx，y'=u'secx+utanxsecx，

y"=u"secx+2u'tanxsecx+usec3x+utan2xsecx，

代入原方程，將原方程化為

u"+2u'tanx+usec2x+utan2x-2u'tanx-2utan2x+3u=ex，

即u"+4u=ex．

解之，得通解，還原成y，得原方程的通解

其中C1，C2為任意常數(shù)．

3.

用變量代換x=cost(0＜t＜π)化簡(jiǎn)微分方程(1-x2)y"-xy'+y=0，并求其滿足y|x=0=1，y'|x=0=2的特解．正確答案：解

將y'，y"代入原方程，得

即

其特征方程為λ2+1=0，解得λ=±i，于是此方程的通解為

y=C1cost+C2sint，

從而原方程的通解為

由y|x=0=1，y'|x=0=2，得C1=2，C2=1，故所求方程的特解為

4.

已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二階微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y'+2y=0的兩個(gè)解．若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)，并寫出該微分方程的通解．正確答案：解

將y2(x)=u(x)ex代入原方程并整理得

(2x-1)u"+(2x-3)u'=0．

令u'(x)=z，則

(2x-1)z'+(2x-3)z=0，

解得

從而

由u(-1)=e，u(0)=-1，得，所以u(píng)(x)=-(2x+1)e-x．

所以原微分方程的通解為y=C1ex-C2(2x+1)．

5.

設(shè)，其中f(x)為連續(xù)函數(shù)，求f(x)．正確答案：解

即f"(x)+f(x)=-sinx．

這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，初始條件

y|x=0=f(0)=0，y'|x=0=f'(0)=1．

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y=C1sinx+C2cosx．非齊次方程的特解可設(shè)為y*=x(asinx+bcosx)．用待定系數(shù)法求得a=0，．于是．非齊次方程的通解為

由初始條件得，C2=0，從而

這里為什么可以求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)要清楚，出的每一項(xiàng)都可導(dǎo)，則左端也可導(dǎo)，于是可以兩端求導(dǎo)，對(duì)于二階導(dǎo)也是如此；另外，這類積分方程一定注意找出隱含著的初始條件．

6.

已知函數(shù)f(x)在(0，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)＞0，，且滿足

求f(x)．正確答案：解

設(shè)

則

于是有

從而

代入題目所給等式得

故有

即

兩邊積分得

再由條件，得C=1，即

本題是用導(dǎo)函數(shù)的定義建立的微分方程，注意不可以使用洛必達(dá)法則求；另外還應(yīng)分清h是極限變量，而x是參變量(視為常數(shù))．

7.

設(shè)y=y(x)是區(qū)間(-π，π)內(nèi)過(guò)點(diǎn)的光滑曲線．當(dāng)-π＜x＜0時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的法線都過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)0≤x＜π時(shí)，函數(shù)y(x)滿足y"+y+x=0．求y(x)的表達(dá)式．正確答案：解

當(dāng)-π＜x＜0時(shí)，設(shè)(x，y)為曲線上任一點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，法線斜率為

由題意，法線斜率為，所以有

分離變量解得

x2+y2=C，

由初始條件，得C=π2所以

．

①

當(dāng)0≤x＜π時(shí)，y"+y+x=0的通解為

y=C1cosx+C2sinx-x，

②

y'=-C1sinx+C2cosx-1．

③

因?yàn)榍€y=y(x)光滑，所以y(x)連續(xù)且可導(dǎo)，由①式知

代入②，③式，得C1=π，C2=1，故

y=πcosx+sinx-x，0≤x＜π．

因此

在(-π，0)上根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程并求解，在[0，π)上直接求解二階常系數(shù)非齊次微分方程，最后利用曲線在(-π，π)內(nèi)是一條光滑的可知函數(shù)連續(xù)且可導(dǎo)，從而求出任意常數(shù)，但有多數(shù)考生不會(huì)利用曲線是光滑的來(lái)確定任意常數(shù)．

8.

設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程所確定，其中ψ(t)具有2階導(dǎo)數(shù)，且，ψ'(1)=6，已知，求函數(shù)ψ(t)．正確答案：解

因?yàn)?/p>

由題設(shè)得

從而

(1+t)ψ"(t)-ψ'(t)=3(1+t)2，

即

設(shè)u=ψ'(t)，則有，由求解公式得

由u|t=1=ψ'(1)=6，知C1=0，于是ψ'(t)=3t(1+t)．

由，知C2=0，于是

已知函數(shù)f(x)滿足方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex．9.

求f(x)的表達(dá)式；正確答案：解法1

聯(lián)立

解得f'(x)-3f(x)=-2ex，因此

f(x)=e3∫dx[∫(-2ex)e-3∫dxdx+C]

=e3x(-2∫exe-3xdx+C)=ex+Ce3x，

將其代入f"(x)+f(x)=2ex，有

(ex+9Ce3x)+ex+Ce3x=2ex，

可得C=0，于是f(x)=ex．

解法2

f"(x)+f'(x)-2f(x)=0對(duì)應(yīng)的特征方程是λ2+λ-2=0，其根為λ1=1，λ2=-2，故f"(x)+f'(x)-2f(x)=0的通解為f(x)=C1ex+C2e-2x，且

f'(x)=C1ex-2C2e-2x，f"(x)=C1ex+4C2e-2x，

代入f"(x)+f(x)=2ex，有

(C1ex+4C2e-2x)+C1ex+C2e-2x=2ex，

從而知C1=1，C2=0，即有f(x)=ex．

10.

求曲線的拐點(diǎn)．正確答案：解

因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，y"＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，y"＞0，又y(0)=0，所以曲線的拐點(diǎn)為(0，y(0))，即點(diǎn)(0，0)．

11.

設(shè)函數(shù)y=y(x)滿足微分方程y"-3y'+2y=2ex，且其圖形在點(diǎn)(0，1)處的切線與曲線y=x2-x+1在該點(diǎn)的切線重合，求函數(shù)y=y(x)．正確答案：解

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y=C1ex+C2e2x．

設(shè)原方程的特解為y*=Axex，得A=-2，故原方程通解是y(x)=C1ex+C2e2x-2xex．又已知其圖形在點(diǎn)(0，1)處與曲線y=x2-x+1有公共切線，得

y|x=0=1，y'|x=0=-1，

即C1+C2=1，C1+2C2=1．解得C1=1，C2=0．所以y=(1-2x)ex．

兩條曲線在某點(diǎn)切線重合有兩層含義：在該點(diǎn)有相同的函數(shù)值及相同的導(dǎo)數(shù)值．

12.

設(shè)y=y(x)是一向上凸的連續(xù)曲線，其上任意一點(diǎn)(x，y)處的曲率為，且此曲線上點(diǎn)(0，1)處的切線方程為y=x+1，求該益線的方程，并求函數(shù)y=y(x)的極值．正確答案：解

因曲線向上凸，故y"＜0．由題設(shè)，有

化簡(jiǎn)，即為

y"=-(1+y'2)．

曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，故y(0)=1．又因在該點(diǎn)處的切線方程為y=x+1，即切線斜率為1，于是y'(0)=1．現(xiàn)在歸結(jié)為求

的特解．

令y'=p，y"=p'，于是得p'=-(1+p2)，分離變量解得arctanp=C1-x．以p(0)=1代入，得，所以，再積分，得

以y(0)=1代入，得，故所求曲線方程為

取其含有x=0在內(nèi)的連續(xù)的一支為

當(dāng)時(shí)，，y→-∞，故此函數(shù)無(wú)極小值．當(dāng)時(shí)，y取極大值，極大值．

設(shè)L是一條平面曲線，其上任意一點(diǎn)P(x，y)(x＞0)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，恒等于該點(diǎn)處的切線在y軸上的截距，且L經(jīng)過(guò)點(diǎn)．13.

試求曲線L的方程；正確答案：解

設(shè)曲線L過(guò)點(diǎn)P(x，y)的切線方程為

Y-y=y'(X-x)，

令X=0，則該切線在y軸上的截距為y-xy'．

由題設(shè)知

令，則此方程可化為

解之得

由L經(jīng)過(guò)點(diǎn)．于是L方程為

即

14.

求L位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積最?。_答案：解

設(shè)第一象限內(nèi)曲線在點(diǎn)P(x，y)處的切線方程為

即

它與x軸及y軸交點(diǎn)分別為

所求面積為

對(duì)x求導(dǎo)得

令S'(x)=0，解得

當(dāng)時(shí)，S'(x)＞0，因而是S(x)在內(nèi)的唯一極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)．于是所求切線為

即

15.

設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l：y=y(x)與直線y=x相切于原點(diǎn)．記α為曲線l在點(diǎn)(x，y)處切線的傾角，若，求y(x)的表達(dá)式．正確答案：解法1

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有y'=tanα，即α=arctany'，所以

由題意，得

①

令y'=p，則y"=p'，代入①式得

p’=p(1+p2)，

分離變量得

兩邊積分得

②

由題意有y'(0)=1，即當(dāng)x=0時(shí)p=1，代入②式得，于是有

兩邊積分得

由題意有y(0)=0，代入上式得，所以

解法2

由題設(shè)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義得

于是有

α=y+C1，

③

由后一個(gè)等式得

x+C=ln|sinα|，

即sinα=C2ex．

④

由題意：曲線l與直線y=x相切于原點(diǎn)，得

即，代入④式得，從而得

將y(0)=0和代入③式得．所以

16.

設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為r=r(θ)，M(r，θ)為L(zhǎng)上任一點(diǎn)，M0(2，0)為L(zhǎng)上一定點(diǎn)．若極徑OM0、OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上M0、M兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)值的一半，求曲線L的方程．正確答案：解

由已知條件得

兩邊對(duì)θ求導(dǎo)得

即

從而

因?yàn)?/p>

所以

由條件r(0)=2，知，故所求曲線L的方程為

即

即L為直線

17.

設(shè)函數(shù)y(x)(x≥0)二階可導(dǎo)，且y'(x)＞0，y(0)=1．過(guò)曲線y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x，y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S1，區(qū)間[0，x]上以y=y(x)為曲邊的曲邊梯形面積記為S2，并設(shè)2S1-S2恒為1，求此曲線y=y(x)的方程．正確答案：解

曲線y=y(x)上點(diǎn)P(x，y)處的切線方程為

Y-y=y'(x)(X-x)．

它與x軸的交點(diǎn)為．由于y'(x)＞0，y(0)=1，從而y(x)＞0，于是

又

由條件2S1-S2=1知

①

兩邊對(duì)x求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得

yy"=(y')2．

令p=y'，則上述方程可化為

從而

解得p=C1y，即

于是y=eC1x+C2．

注意到y(tǒng)(0)=1，并由①式得y'(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲線的方程是y=ex．

18.

如圖所示，C1和C2分別是和y=ex的圖像，過(guò)點(diǎn)(0，1)的曲線C3是一單調(diào)增函數(shù)的圖像．過(guò)C2上任一點(diǎn)M(x，y)分別作垂直于x軸和y軸的直線lx和ly．記C1，C2與lx所圍圖形的面積為S1(x)；C2，C3與ly所圍圖形的面積為S2(y)．如果總有S1(x)=S2(y)，求曲線C3的方程x=φ(y)．

正確答案：解

由題設(shè)S1(x)=S2(y)，知

即

兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

由y=ex，得

于是

從而

故曲線C3的方程為

19.

設(shè)f(x)是區(qū)間[0，+∞)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且f(0)=1．對(duì)任意的t∈[0，+∞)，直線x=0，x=t，曲線y=f(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成一旋轉(zhuǎn)體．若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．正確答案：解

旋轉(zhuǎn)體的體積，側(cè)面積，由題設(shè)條件知

上式兩端對(duì)t求導(dǎo)得

即

由分離變量法解得

即

將y(0)=1代入知C=1，故

于是所求函數(shù)為

20.

設(shè)單位質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)，初速度v|t=0=v0．已知阻力與速度成正比(比例常數(shù)為1)，問(wèn)t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為?并求到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程．正確答案：解

設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為v(t)．由題設(shè)，有

解此方程，得v(t)=v0e-t．

由得t=ln3．到此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程

21.

某湖泊的水量為V，每年排入湖泊內(nèi)含污染物A的污水量為，流入湖泊內(nèi)不含A的水量為，流出湖泊的水量為．已知1999年底湖中A的含量為5m0，超過(guò)國(guó)家規(guī)定指標(biāo)．為了治理污染，從2000年初起，限定排入湖泊中含A污水的濃度不超過(guò)．問(wèn)至多需經(jīng)過(guò)多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以內(nèi)?(注：設(shè)湖水中A的濃度是均勻的．)正確答案：解

設(shè)從2000年初(令此時(shí)t=0)開(kāi)始，第t年湖泊中污染物A的總量為m，濃度為，則在時(shí)間間隔[t，t+dt]內(nèi)，排入湖泊中A的量為，流出湖泊的水中A的量為

因而在此時(shí)間間隔內(nèi)湖泊中污染物A的改變量

由分離變量法解得

代入初始條件m|t=0=5m0，得

于是

令m=m0，得t=6ln3，即至多需經(jīng)過(guò)6ln3年，湖泊中污染物A的含量降至m0以內(nèi)．

22.

一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)K＞0．假設(shè)在融化過(guò)程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為r0的雪堆在開(kāi)始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的，問(wèn)雪堆全部融化需要多少小時(shí)?正確答案：解

設(shè)雪堆在時(shí)刻t的體積，側(cè)面積S=2πr2，由題設(shè)知

于是．積分得r=-Kt+C，由r|t=0=r0，有r=r0-Kt．

又

即

這樣，從而．

因雪堆全部融化時(shí)r=0，故得t=6．即雪堆全部融化需6小時(shí)

23.

有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線x=φ(y)(y≥0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面(如圖所示)，容器的底面圓的半徑為2m．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以3m3/min的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面積將以πm2/min的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無(wú)液體)．

(Ⅰ)根據(jù)t時(shí)刻液面的面積，寫出t與φ(y)之間的關(guān)系式；

(Ⅱ)求曲線x=φ(y)的方程．

(注：m表示長(zhǎng)度單位米，min表示時(shí)間單位分．)正確答案：解法1

(Ⅰ)設(shè)在t時(shí)刻，液面的高度為y，則由題設(shè)知此時(shí)液面的面積為πφ2(y)=4π+πt，從而t=φ2(y)-4．

(Ⅱ)液面的高度為y時(shí)．液體的體積為

上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得

πφ2(y)=6φ(y)φ'(y)，

即πφ(y)=6φ'(y)．

解此微分方程，得

由φ(0)=2知C=2，故所求曲線方程為

解法2

(Ⅰ)在t時(shí)刻液面的面積為

22π+πt．

由題意知πx2=4π+πt，于是t與φ(y)之間的關(guān)系為

φ2(y)=4+t．

(Ⅱ)設(shè)液面高度為y，在t時(shí)刻到t+dt時(shí)刻，液體體積的變化即體積微元滿足

3dt=(4π+πt)dy．

解此微分方程得

當(dāng)t=0時(shí)，y=0．得，從而．由t=φ2(y)-4得．考慮到φ(0)=2，

故所求曲線方程為

24.

已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時(shí)刻該物體溫度對(duì)時(shí)間的變化率與該時(shí)刻物體和介質(zhì)的溫差成正比．現(xiàn)將一初始溫度為120℃的物體在20℃