考研數(shù)學(xué)二模擬388

考研數(shù)學(xué)二模擬388一、選擇題每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.

函數(shù)在(-∞，+∞)內(nèi)A.連續(xù)．B.有可去間斷點(diǎn)．C.有跳躍間斷點(diǎn)．D.有無窮間斷點(diǎn)．正確答案：B[解析]函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤≠0，先求出f(x)，再判斷間斷點(diǎn)的類型．

當(dāng)x≠0時(shí)，

故f(x)有可去間斷點(diǎn)x=0.應(yīng)選B．

2.

設(shè)函數(shù)f(x)=arctanx，若函數(shù)f(x)=xf'(ξ)，則=

A．1.

B．

C．

D．正確答案：D[解析]關(guān)鍵是將極限式中的變量ξ轉(zhuǎn)化為x，再按正常求極限方法進(jìn)行．

由已知條件f(x)=xf'(ξ)，有因此

于是

題設(shè)條件就是把函數(shù)f(x)=arctanx在區(qū)間[0，x]上利用Lagrange中值定理所得．

3.

已知函數(shù)則A.f'x-f'y=0.B.f'x+f'y=0.C.f'x-f'y=f．D.f'x+f'y=f．正確答案：D[解析]

故選D．

4.

設(shè)函數(shù)則A.x=π是函數(shù)F(x)的跳躍間斷點(diǎn)．B.x=π是函數(shù)F(x)的可去間斷點(diǎn)．C.F(x)在x=π處連續(xù)但不可導(dǎo)．D.F(x)在x=π處可導(dǎo)．正確答案：C[解析]當(dāng)0≤x＜π時(shí)，

當(dāng)π≤x≤2n時(shí)，

于是所以F(x)在x=π處連續(xù)．

易得F'-(x)=0，F(xiàn)'+(π)=2，即F(x)在x=π處的左、右導(dǎo)數(shù)存在但不相等，故不可導(dǎo)．應(yīng)選C．

5.

設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)＞0，g(0)＜0，且f'(0)=g'(0)=0，則函數(shù)z=f(x)g(y)在點(diǎn)(0，0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是A.f"(0)＜0，g"(0)＞0.B.f"(0)＜0，g"(0)＜0.C.f"(0)＞0，g"(0)＞0.D.f"(0)＞0，g"(0)＜0.正確答案：A[解析]直接利用二元函數(shù)取得極值的充分條件

顯然z'x(0，0)=f'(0)g(0)=0，z'y(0，0)=f(0)g'(0)=0，故(0，0)是z=f(x)g(y)可能的極值點(diǎn)．

計(jì)算得z"xx(x，y)=f"(x)g(y)，z"yy(x，y)=f(x)g"(y)，z"xy(x，y)=f'(x)g'(y)，

所以A=z"xx(0，0)=f"(0)g(0)，B=z"xy(0，0)=0，C=z"yy(0，0)=f(0)g"(0)．

由B2-AC＜0，且A＞0，C＞0，有f"(0)＜0，g"(0)＞0.因此應(yīng)選A．

6.

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)連續(xù)，則

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠?/p>

D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}，

D2={(x，y)|1≤y≤2，y≤x≤4-y}，

將其寫成一塊D={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4-y}，

故二重積分可以表示為答案應(yīng)選C．

7.

設(shè)向量組Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，下列命題正確的是A.若向量組Ⅰ線性無關(guān)，則r≤s．B.若向量組Ⅰ線性相關(guān)，則r＞s．C.若向量組Ⅱ線性無關(guān)，則r≤s．D.著向量組Ⅱ線件相關(guān)，則r＞s．正確答案：A[解析]因?yàn)棰窨捎散蚓€性表示，有

r(α1，α2，…，αr)≤r(β1，β2，…，βs)≤s

如果Ⅰ線性無關(guān)，則有r(α1，α2，…，αr)=r

可見選項(xiàng)A正確．

關(guān)于選項(xiàng)B、C、D不妨構(gòu)思幾個(gè)反例．

B項(xiàng)(1，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)，(0，1，0)；

C項(xiàng)(1，0，0)，(2，0，0)，(0，0，0)和(1，0，0)，(0，1，0)；

D項(xiàng)(1，0，0)和(1，0，0)，(2，0，0)．

8.

設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩等于1，則必有A.a=b或n+2b=0.B.a=b或a+2b≠0.C.a≠b且a+2b=0.D.a≠b且a+2b≠0.正確答案：C[解析]由伴隨矩陣A*秩的公式

可見若a=b易見r(A)≤1故A、B均不正確．

由于|A|=(a+2b)(a-b)2

當(dāng)a≠b，a+2b=0時(shí)，一方面A中有2階子式而又有|A|=0故秩r(A)=2.故應(yīng)選C．

二、填空題1.

曲線y=x2+x(x＜0)上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．正確答案：(-1，0)．[解析]由y=x2+x得y'=2x+1，y"=2.利用曲率公式

即(2x+1)2=1，故x=0或-1.又已知x＜0，所以x=-1，y=0.

應(yīng)填(-1，0)．

2.

設(shè)y=y(x)是由方程x2-y+1=ey所確定的隱函數(shù)，則正確答案：1[解析]將x=0代入方程x2-y+1=ey得y=0.

在方程x2-y+1=ey兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得2x-y'=ey·y'，

代入x=0，y=0得y'(0)=0.

再在方程2x-y'=ey·y'兩邊對(duì)x求導(dǎo)得2-y"=ey·(y')2+ey·y"，

代入x=0，y=0，y'(0)=0得y"(0)=1.故應(yīng)填1.

3.

微分方程y'+y=e-xcosx滿足條件y(0)=0的解為______．正確答案：e-xsinx[解析]直接按一階線性微分方程公式求解．

微分方程的通解為

由初值條件y(0)=0得C=0.所以應(yīng)填e-xsinx．

4.

一根長度為1的細(xì)棒位于x軸的區(qū)間[0，1]上，若其線密度ρ(x)=-x2+2x+1，則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)=______．正確答案：[解析]本題考查定積分的物理應(yīng)用．

因?yàn)?/p>

所以細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)

5.

設(shè)f(u，v)是二元可微函數(shù)，則正確答案：[解析]本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，直接利用公式即可．

利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式可得

所以

二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，最好設(shè)出中間變量，注意計(jì)算的正確性．

6.

二次型的規(guī)范形是______．正確答案：[解析]二次型矩陣，因?yàn)橹萺(A)=1有|λE-A|=λ3-9λ2知矩陣A的特征值為9，0，0.

三、解答題15～23小題，共94分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

設(shè)函數(shù)f(x)=x+aln(1+x)+bxsinx，g(x)=kx3．若f(x)與g(x)在x→0時(shí)是等價(jià)無窮小，求a，b，k的值．正確答案：[解法一]用泰勒公式

由題意知

即

亦是

所以

因而

[解法二]用洛必達(dá)法則

欲使

只需

由分子的極限為0，則a=-1.

再用洛必達(dá)法則

只需

由分子的極限為0，則

接著用洛必達(dá)法則，只需

因而所以[解析]此題是標(biāo)準(zhǔn)的極限逆問題，可用泰勒公式或洛必達(dá)法則解答．

2.

求正確答案：[解]

令則

所以

所以[解析]題設(shè)積分中含反三角函數(shù)，利用分部積分法．

被積函數(shù)中為兩種不同類型函數(shù)乘積且無法用湊微分法求解時(shí)，要想到用分部積分法計(jì)算；對(duì)含根式的積分，要想到分式有理化及根式代換．

3.

證明正確答案：[證明]令則

當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f"(x)≥2＞0，所以f'(x)單調(diào)增加．則，

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f'(x)＜f'(0)=0，于是f(x)在-1＜x＜0上單調(diào)減少，因此有

f(x)＞f(0)=0，即

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'(x)＞f'(0)=0，于是f(x)單調(diào)增加，因此有f(x)＞f(0)=0，即

綜上所述得，當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，(等號(hào)在x=0時(shí)成立)．

4.

求曲線x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)上點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長距離與最短距離．正確答案：[解]點(diǎn)(x，y)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離問題為求目標(biāo)函數(shù)在約束條件x3-xy+y3=1(x≥0，y≥0)下的最大值和最小值．為方便求導(dǎo)，我們構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

F(x，y，λ)=x2+y2+λ(x3-xy+y3-1)．

解方程組

由①，②消去λ得，(y-x)(3xy+x+y)=0，由于x≥0，y≥0，得y=x，代入③得唯一可能的極值點(diǎn)：x=y=1.另外，曲線L與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為(1，0)，(0，1)．計(jì)算這些點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離得故所求最長距離為最短距離為1.[解析]本題考查二元函數(shù)的條件極值問題，用拉格朗日乘數(shù)法．

求最值問題時(shí)要注意考慮區(qū)域邊界點(diǎn)或曲線端點(diǎn)的情況．

5.

設(shè)D是由直線y=1，y=x，y=-x圍成的有界區(qū)域，計(jì)算二重積分

正確答案：[解]積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱，利用對(duì)稱性

方法一：用直角坐標(biāo)

所以

方法二：用極坐標(biāo)

所以[解析]先利用二重積分的對(duì)稱性化簡，然后可用直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)計(jì)算

已知曲線L的方程6.

討論L的凹凸性；正確答案：[解]因?yàn)?/p>

故曲線L當(dāng)t≥0時(shí)是凸的．

7.

過點(diǎn)(-1，0)引L的切線，求切點(diǎn)(x0，y0)，并寫出切線的方程；正確答案：[解]由一小問知，切線方程為

設(shè)

則即

整理得

將t0=1代入?yún)?shù)方程，得切點(diǎn)為(2，3)，故切線方程為

8.

求此切線與L(對(duì)應(yīng)于x≤x0的部分)及x軸所圍成的平面圖形的面積．正確答案：[解]由題設(shè)可知，所求平面圖形如下圖所示，其中各點(diǎn)坐標(biāo)為

A(1，0)，B(2，0)，C(2，3)，D(-1，0)．

設(shè)L的方程x=g(y)，

則

由參數(shù)方程可得

由于(2，3)在L上，則

于是

[解析]第一小問利用曲線凹凸的定義來判定；第二小問先寫出切線方程，然后利用(-1，0)在切線上；第三小問利用定積分計(jì)算平面圖形的面積．

本題為基本題型，第Ⅲ問求平面圖形的面積時(shí)，要將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解．

一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由與連接而成的．

9.

求容器的體積；正確答案：[解]旋轉(zhuǎn)體分為體積相等的兩部分，于是

容器的體積為

或者

10.

若將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功?(長度單位：m，重力加速度為gm/s2，水的密度為1000kg/m3)正確答案：[解]利用微元法所做功的計(jì)算也分為兩部分

[解析]利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式計(jì)算容器的體積，利用微元法求所做的功．

設(shè)

已知線性方程組Ax=b存在2個(gè)不同的解．11.

求λ，a；正確答案：[解]因?yàn)榉匠探MAx=b有2個(gè)不同的解，故

由

于是λ=1或λ=-1.

當(dāng)λ=1時(shí)，方程組Ax=b無解，舍去．

當(dāng)λ=-1時(shí)，對(duì)Ax=b的增廣矩陣作初等行變換

可見a=-2時(shí)，方程組Ax=b有無窮多解．故λ=1，α=-2.

12.

求方程組Ax=b的通解．正確答案：[解]當(dāng)λ=-1，α=-2時(shí)

所以方程組Ax=b的通解為

已知二次型的秩為2.13.

求a的值；正確答案：[解]由于二次型f的秩為2，即二次型矩陣的秩為2，所以得a=0.

14.

求正交變換x=Qy把f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形；正確答案：[解]當(dāng)a=0時(shí)，

得到矩陣A的特征