考研數(shù)學(xué)二模擬410

考研數(shù)學(xué)二模擬410一、選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.

設(shè)則f(x，y)在點(0，0)處______．A.連續(xù)，但不可偏導(dǎo)B.可偏導(dǎo)，但不連續(xù)C.連續(xù)、可偏導(dǎo)，但不可微D.可微正確答案：D[解析]由得f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，

由得f'x(0，0)=0，

再由得，

即f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)且f'x(0，0)=0，

令，則

因為

故f(x，y)在(0，0)處可微．選D.

2.

設(shè)D為有界閉區(qū)域，z=f(x，y)在D上二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且在區(qū)域D內(nèi)滿足：，則______．A.f(x，y)在D取到最小值和最大值B.f(x，y)在D內(nèi)取到最小值但取不到最大值C.f(x，y)在D內(nèi)取到最大值取不到最小值D.f(x，y)在D內(nèi)既取不到最大值又取不到最小值正確答案：D[解析]對區(qū)域D內(nèi)任意一點(x，y)，

因為，所以D內(nèi)任意一點都不是最值點，故f(x，y)在D內(nèi)既取不到最小值又取不到最大值，選D.

3.

設(shè)，則為______．

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]由

得

選C.

4.

設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)三階連續(xù)可導(dǎo)，且f'(x0)=f"(x0)=0，f'''(x0)＞0，則下列結(jié)論正確的是______．A.x=x0為f(x)的極大值點B.x=x0為f(x)的極小值點C.(x0，f(x0))為曲線y=f(x)的拐點D.(x0，f(x0))不是曲線y=f(x)的拐點正確答案：C[解析]

由極限的保號性，存在δ＞0，當(dāng)0＜|x-x0|＜δ時，

當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時，f"(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時，f"(x)＞0，則(x0，f(x0))為曲線y=f(x)的拐點，選C.

5.

設(shè)f(x)連續(xù)，則為______．A.0B.f(x+b)C.f(x+b)-f(x+a)D.f(b+y)-f(a+y)正確答案：C[解析]

則，選C．

6.

若f(x)∈C[1，+∞)，在[1，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f(1)＜0，f'(x)≥k＞0，則在(1，+∞)內(nèi)f(x)=0______．A.至少有一個根B.只有一根C.沒有根D.有無根無法確定正確答案：B[解析]當(dāng)x＞1時，由f(x)-f(1)=f'(ξ)(x-1)≥k(x-1)得f(x)≥f(1)+k(x-1)，于是.

因為f(x)在[1，+∞)上連續(xù)且f(1)＜0，所以f(x)=0在(1，+∞)內(nèi)至少有一個根．

又因為f'(x)≥k＞0，所以f(x)單調(diào)增加，于是f(x)=0在(1，+∞)內(nèi)有且僅有一個根，選B.

7.

設(shè)A為三階矩陣，特征值為λ1=λ2=1，λ3=2，其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，令P1=(α1-α3，α2+α3，α3)，則．

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]A*的特征值為2，2，1，其對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1，α2，α3，

令P=(α1，α2，α3)，則得

選A.

8.

設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=n，則下列結(jié)論不正確的是______A.若AB=O，則B=OB.對任意矩陣B，有r(AB)=r(B)C.存在B，使得BA=ED.對任意矩陣B，有r(BA)=r(B)正確答案：D[解析]因為r(A)=n，所以方程組AX=0只有零解，而由AB=O得B的列向量為方程組AX=0的解，故若AB=O，則B=O；

令BX=0，ABX=0為兩個方程組，顯然若BX=0，則ABX=0，反之，若ABX=0，因為r(A)=n，所以方程組AX=0只有零解，于是BX=0，即方程組BX=0與ABX=0為同解方程組，故r(AB)=r(B)；

因為r(A)=n，所以A經(jīng)過有限次初等行變換化為，即存在可逆矩陣P使得，令B=(En

O)P，則BA=E；

令B=(111)，r(A)=1，但r(BA)=0≠r(B)=1，選D.

二、填空題1.

設(shè)f(x)為單調(diào)函數(shù)，且g(x)為其反函數(shù)，又設(shè)f(1)=2，，f"(1)=1．則g"(2)=______．正確答案：[解析]

2.

f(x)=x4ln(1-x)，當(dāng)n＞4時，f(n)(0)=______．正確答案：[解析]設(shè)

由

再由麥克勞林公式的唯一性得，即

3.

已知函數(shù)z=u(x，y)eax+by，且，若z=z(x，y)滿足方程，則a=______，b=______．正確答案：a=1，b=1[解析]

則

4.

正確答案：[解析]改變積分次序，得，

于是

5.

正確答案：[解析]

6.

設(shè)則B*A=______．正確答案：[解析]因為B=AE12(2)E13，所以|B|=|A||E12(2)||E13|=-3，

又因為B*=|B|B-1，所以，

故

三、解答題共94分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

令x=cost(0＜t＜π)將方程(1-x2)y"-xy'+y=0化為y關(guān)于t的微分方程，并求滿足y|x=0=1，y'|x=0=2的解．正確答案：[解]

代入原方程得，該方程的通解為y=C1cost+C2sint，

原方程的通解為

將初始條件y|x=0=1，y'|x=0=2代入得C1=2，C2=1，故特解為．

2.

設(shè)方程在變換下化為，求常數(shù)a的值．正確答案：[解]

代入整理得

從而故a=-2．

3.

求曲線y=-x2+1上一點P(x0，y0)(其中x0≠0)，使過P點作拋物線的切線，此切線與拋物線及兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積最?。_答案：[解]切線方程為

令y=0，得切線與x軸的交點為，

令x=0，得切線與y軸的交點為．

1)當(dāng)x0＞0時，因為，所以所圍成圖形面積為

令

因為，所以當(dāng)時，所圍成的面積最小，所求的點為．

2)當(dāng)x0＜0時，因為，所以所圍成的面積為

令，得，

因為，所以當(dāng)時，所圍成的面積最小，所求點為．

4.

設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0，在(0，a)內(nèi)二階可導(dǎo)且f"(x)＞0．證明：

正確答案：[解]令

因為f"(x)＞0，所以f'(x)單調(diào)增加，故f'(ξ)＜f'(x)，

于是φ"(x)＞0(0＜x＜a)．

由得φ'(x)＞0(0＜x≤a)，

再由得φ(x)＞0(0＜x＜a)，

于是由φ(a)＞0，故

5.

計算二重積分，其中積分區(qū)域D={(x，y)|0≤x2≤y≤x≤1}．正確答案：[解]

6.

設(shè)u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．正確答案：[解]由ex+ey=ez得

再由u=f(x2+y2，xz)得，

7.

求微分方程y"+y'-2y=xex+sin2x的通解．正確答案：[解]特征方程為λ2+λ-2=0，

特征值為λ1=-2，λ2=1，y"+y'-2y=0的通解為y=C1e-2x+C2ex.

設(shè)y"+y'-2y=xex

(*)

y"+y'-2y=sin2x

(**)

令(*)的特解為y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得

由y"+y'-2y=sin2x得，

顯然有特解

對，令其特解為y=Acos2x+Bsin2x，代入得則，所以原方程的通解為

8.

設(shè)，討論當(dāng)a，b取何值時，方程組AX=b無解、有唯一解、有無數(shù)個解；有無數(shù)個解時求通解．正確答案：[解]

情形一：a≠0

當(dāng)a≠0且a-b+1≠0時，方程組有唯一解；

當(dāng)a≠0且a-b+1=0；方程組有無數(shù)個解，

由

方程組的通解為

情形二：a=0

當(dāng)b≠1時，方程組無解；

當(dāng)b=1時，方程組有無數(shù)個解，

由

方程組的通解為

設(shè)A為三階實對稱矩陣，若存在正交矩陣Q，使得且A*α=α．9.

求正交矩陣Q；正確答案：[解]顯然A的特征為λ1=λ2=-1，λ3=2，A*的特征值為μ1=