2023年考研數(shù)學(xué)三真題

2023年考研數(shù)學(xué)（三）真題選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目規(guī)定，把所選項(xiàng)前的字母填在后邊的括號(hào)內(nèi)）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是（）.設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是：().若存在，則若存在，則.若存在，則存在若存在，則存在如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論對(duì)的的是：（）.設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表達(dá)需要量和價(jià)格，假如該商品需求彈性的絕對(duì)值等于1，則商品的價(jià)格是（）10203040曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的條數(shù)為（）0123（7）設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則下列向量組線(xiàn)相關(guān)的是()（A）(B)（C）(D)（8）設(shè)矩陣，則A與B（）（A）協(xié)議，且相似(B)協(xié)議，但不相似(C)不協(xié)議，但相似(D)既不協(xié)議，也不相似(9)某人向同一目的獨(dú)立反復(fù)射擊，每次射擊命中目的的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目的的概率為()(10)設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表達(dá)X,Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為()（A）(B)(C)(D)二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上（11）.（12）設(shè)函數(shù)，則.（13）設(shè)是二元可微函數(shù)，則________.（14）微分方程滿(mǎn)足的特解為_(kāi)_________.（15）設(shè)距陣則的秩為_(kāi)______.(16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),這兩數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為_(kāi)_______.三、解答題：17－24小題，共86分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié).（17）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)由方程擬定，試判斷曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）附近的凹凸性.（18）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分其中（19）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)函數(shù)，在上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得（20）（本題滿(mǎn)分10分）將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.（22）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特性值是A的屬于的一個(gè)特性向量.記，其中E為3階單位矩陣.（Ⅰ）驗(yàn)證是矩陣B的特性向量，并求B的所有特性值與特性向量；（Ⅱ）求矩陣B.（23）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.（24）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)總體的概率密度為.其中參數(shù)未知，是來(lái)自總體的簡(jiǎn)樸隨機(jī)樣本，是樣本均值.（Ⅰ）求參數(shù)的矩估計(jì)量；（Ⅱ）判斷是否為的無(wú)偏估計(jì)量，并說(shuō)明理由.2023年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、選擇題（本題共10分小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分，在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目規(guī)定，把所選項(xiàng)前的字母填在后邊的括號(hào)內(nèi)）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是（B）.設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是：(D).若存在，則若存在，則.若存在，則存在若存在，則存在如圖.連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)則下列結(jié)論對(duì)的的是：（C）.設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于（B）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中，分別表達(dá)需要量和價(jià)格，假如該商品需求彈性的絕對(duì)值等于1，則商品的價(jià)格是（D）10203040曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的條數(shù)為（D）0123（7）設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則下列向量組線(xiàn)相關(guān)的是(A)（A）(B)(C)(D)（8）設(shè)矩陣，則A與B（B）（A）協(xié)議，且相似(B)協(xié)議，但不相似(C)不協(xié)議，但相似(D)既不協(xié)議，也不相似(9)某人向同一目的獨(dú)立反復(fù)射擊，每次射擊命中目的的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命中目的的概率為(C)(10)設(shè)隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表達(dá)X,Y的概率密度，則在條件下，的條件概率密度為(A)（A）(B)(C)(D)二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙指定位置上（11）.（12）設(shè)函數(shù)，則.（13）設(shè)是二元可微函數(shù)，則.（14）微分方程滿(mǎn)足的特解為.（15）設(shè)距陣則的秩為＿＿1＿＿＿.(16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù),這兩數(shù)之差的絕對(duì)值小于的概率為＿＿.三、解答題：17－24小題，共86分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算環(huán)節(jié).（17）（本題滿(mǎn)分10分）設(shè)函數(shù)由方程擬定，試判斷曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，1）附近的凹凸性.【詳解】：（18）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分其中【詳解】：積分區(qū)域D如圖，不難發(fā)現(xiàn)D分別關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)是D在第一象限中的部分，即運(yùn)用被積函數(shù)無(wú)論關(guān)于x軸還是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，從而按二重積分的簡(jiǎn)化計(jì)算法則可得設(shè)，其中于是由于，故為計(jì)算上的二重積分，可引入極坐標(biāo)滿(mǎn)足.在極坐標(biāo)系中的方程是的方程是，，因而，故令作換元，則，于是且，代入即得綜合以上計(jì)算結(jié)果可知（19）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)函數(shù)，在上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又＝，＝，證明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得【詳解】：證明：(1)設(shè)在內(nèi)某點(diǎn)同時(shí)取得最大值，則，此時(shí)的c就是所求點(diǎn).若兩個(gè)函數(shù)取得最大值的點(diǎn)不同則有設(shè)故有，由介值定理，在內(nèi)肯定存在(2)由(1)和羅爾定理在區(qū)間內(nèi)分別存在一點(diǎn)＝0在區(qū)間內(nèi)再用羅爾定理，即.（20）（本題滿(mǎn)分10分）將函數(shù)展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.【詳解】：【詳解】：由于方程組(1)、(2)有公共解，即由方程組(1)、(2)組成的方程組的解.即距陣方程組(3)有解的充要條件為.當(dāng)時(shí)，方程組(3)等價(jià)于方程組(1)即此時(shí)的公共解為方程組(1)的解.解方程組(1)的基礎(chǔ)解系為此時(shí)的公共解為：當(dāng)時(shí)，方程組(3)的系數(shù)距陣為此時(shí)方程組(3)的解為，即公共解為：（22）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特性值是A的屬于的一個(gè)特性向量.記，其中E為3階單位矩陣.（Ⅰ）驗(yàn)證是矩陣B的特性向量，并求B的所有特性值與特性向量；（Ⅱ）求矩陣B.【詳解】：（Ⅰ）可以很容易驗(yàn)證，于是于是是矩陣B的特性向量.B的特性值可以由A的特性值以及B與A的關(guān)系得到，即，所以B的所有特性值為－2，1，1.前面已經(jīng)求得為B的屬于－2的特性值，而A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，于是根據(jù)B與A的關(guān)系可以知道B也是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，于是屬于不同的特性值的特性向量正交，設(shè)B的屬于1的特性向量為，所以有方程如下：于是求得B的屬于1的特性向量為因而，矩陣B屬于的特性向量是是，其中是不為零的任意常數(shù).矩陣B屬于的特性向量是是，其中是不為零的任意常數(shù).（Ⅱ）由有令矩陣，則，所以那么（23）（本題滿(mǎn)分11分）設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.【詳解】：（Ⅰ），其中D為中的那部分區(qū)域；求此二重積分可得（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是（24）（本