2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)48個易錯點梳理

高中數(shù)學(xué)易錯點梳理

必考知識點：

第一章、集合與函數(shù)概念（常用邏輯用語）

第二章、基本初等函數(shù)

第三章、函數(shù)的應(yīng)用

第四章、三角函數(shù)

第五章、平面向量

第六章、三角恒等變換

第七章、解三角形

第八章、數(shù)列

第九章、不等式

第十章、空間幾何體

第十一章、點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第十一章、直線與方程

第十三章、圓與方程

第十四章、圓錐曲線與方程

第十五章、算法初步與框圖

第十六章、概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例

第十七章、推理與證明

第十八章、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入

第十九章、選修系列（坐標系與參數(shù)方程、不等式選講）

第二十章、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第二十一章、計數(shù)原理與二項式

數(shù)學(xué)中的隱含條件往往最容易被忽視，這些隱含條件通常被稱為題中

的“陷阱”，解題過程中一不小心就會掉進去。本文列舉出了高中課本中

一些常見的易錯點，希望問學(xué)們在今后的學(xué)習(xí)中引以為戒。

一、集合與簡易邏輯

易錯點1對集合表示方法理解存在偏差

【問題】1：已知4={/|3＞0},8={引)，＞1},求AflB。

錯解：AQB=a＞

剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質(zhì)。

正確結(jié)果：A[yB=B

【問題】2：已知A={y|y=x+2),B={(x,y)|A：2+y2=4},求加公。

錯解：AC|B={(0,2),(-2,0))

正確答案：AQB=(b

剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認為A為點集。

反思：對集合表示法部分學(xué)生只從形式上“掌握”，對其本質(zhì)的理解存在

誤區(qū)，常見的錯誤是不理解集合的表示法，忽視集合的代表元素。

易錯點2在解含參數(shù)集合問題時忽視空集

【問題]：已知4=*|24＜工＜〃2},3="|_2＜工＜1},且4口8,求〃的取值

范圍。

錯解:[-1,0)

剖析：忽視A=0的情況。

2

正確答案：[T,2]

反思：由于空集是一個特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集

合4tB就有可能忽視了A=0,導(dǎo)致解題結(jié)果錯誤。尤其是在解含參數(shù)

的集合問題時，更應(yīng)注意到當參數(shù)在某個范圍內(nèi)取值時，所給的集合可

能是空集的情況?？忌捎谒季S定式的原因，往往會在解題中遺忘了這

個集合，導(dǎo)致答案錯誤或答案不全面。

易錯點3在解含參數(shù)問題時忽視元素的互異性

【問題】：已知｛々+2,3+1)2,/+3。+3),求實數(shù)。的值。

錯解：a=-2,-1,0

剖析：忽視元素的互異性，其實當。=-2時，3+H+3a+3=l；當。=-1

時，a+2=/+34+3=1；均不符合題意。

正確答案：a=0

反思：集合中的元素具有確定性、互異性、無序性，集合元素的三性中

的互異性對解題的影響最大，特別是含參數(shù)的集合，實際上就隱含著對

字母參數(shù)的一些要求。解題時可先求出字母參數(shù)的值，再代入驗證。

易錯點4充分必要條件顛倒出錯

【問題】：已知〃*是實數(shù)，則7>0且b>0"是“a+“0且必>0”的

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既

不充分也不必要條件

錯解：選B

剖析：識記不好，不能真正理解充要條件概念，未能掌握判斷充要條件

的方法。

正確答案：C

3

反思：對于兩個條件A8,如果An8,則A是B的充分條件，8是4的

必要條件，如果AO8,則4是B的充要條件。判斷充要條件常用的方法

有①定義法；②集合法；③等價法。解題時最容易出錯的就是顛倒了充

分性與必要性，所以在解決這類問題時，一定要分清條件和結(jié)論，根據(jù)

充要條件的定義，選擇恰當?shù)姆椒ㄗ鞒鰷蚀_的判斷，不充分不必要常借

助反例說明。

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

易錯點5判斷函數(shù)奇偶性時忽視定義域

【問題】1：判斷函數(shù)y=(L+D的奇偶性。

A(A-1)

錯解：原函數(shù)即y=不〃，.??為奇函數(shù)

x

剖析：只關(guān)注解析式化簡，忽略定義域。

正確答案：非奇非偶函數(shù)。

【問題】2:判斷函數(shù)/3=病工+忘了的奇偶性。

錯解：*/f(-x)=f(x)，:.為偶函數(shù)

剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一結(jié)論，導(dǎo)

致錯誤。

正確答案：既奇且偶函數(shù)。

反思：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱。如果不具

備這個條件，一定是非奇非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，

如果對定義域內(nèi)任意X都有〃T)=-/(X),則/")為奇函數(shù)；如果對定義

域內(nèi)任意X都有/(-幻=/(M，則/(幻為偶函數(shù)，如果對定義域內(nèi)存在X。使

4

f(f)，則fM不是奇函數(shù)；如果對定義域內(nèi)存在與使

-(f)5)，則f(x)不是偶函數(shù)。

易錯點6解“二次型函數(shù)”問題時忽視對二次項系數(shù)的討論

【問題】：函數(shù)/(1)=(〃2-1a2+2(m+1)工-1的圖象與X軸只有一個交點，求

實數(shù)m的取值范圍。

錯解：由△=()解得加=0或〃?=-3

剖析：知識殘缺，分類討論意識沒有，未考慮機-1=0的情況。

正確答案：{-3,0,1}

反思：在二次型函數(shù)y=+"+c中，當〃，()時為二次函數(shù)，其圖象為拋

物線；當。=0,g0時為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問題時，

應(yīng)密切注意爐項的系數(shù)是否為0,若不能確定，應(yīng)分類討論，另外有關(guān)

三個“二次”之間的關(guān)系的結(jié)論也是我們應(yīng)關(guān)注的對象。例如：

江+法+。>0解集為Ro〃>(),△<0或a=b=0,c>0

ax2+反+,>0解集為0o〃<0,A<0或"b=0,c<0

易錯點7用函數(shù)圖象解題時作圖不準

【問題】：求函數(shù)/(%)=□的圖象與直線〃功=2,的交點個數(shù)。

錯解：兩個

剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)增減速度快慢對作圖的影響。

正確答案：三個

反思：“數(shù)形結(jié)合”是重要思想方法之一，以其準確、快速、靈活及操作

性強等諸多優(yōu)點頗受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的青睞。但我們在解題時應(yīng)充分利用函

數(shù)性質(zhì)，畫準圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)致圖形“失真”，從而得出錯誤的

5

答案。

易錯點8忽視轉(zhuǎn)化的等價性

【問題】1：已知方程爾2_3x+l=0有且只有一個根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，

求實數(shù)m的取值范圍。

錯解：???方程皿2-3x+l=O有且只有一個根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，???函數(shù)

丁=皿2_3/1的圖象與x軸在（0J）內(nèi)有且只有一個交點，J/（0）/（1）<0,

解得m<2

剖析：知識殘缺，在將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)時，應(yīng)考慮到f⑴=0的情況。

正確答案：〃2￡（-00,2]

剖析：①在轉(zhuǎn)化過程中，去絕對值時出錯，從而得到錯誤的圖象。

②在圖象變換過程中出錯，搞錯平移方向。

正確答案：D

反思：等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，處理得當會起到意想不到

的效果，但等價轉(zhuǎn)化的前提是轉(zhuǎn)化的等價性，反之會出現(xiàn)各種離奇的錯

慶、口。

6

易錯點9分段函數(shù)問題

【問題】1：.已知是R上的增函數(shù)，求。的取值范圍。

axx>\

錯解：(L2)

剖析：知識殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，忽視/*)

在分界點附近函數(shù)值大小關(guān)系。

正確答案：I⑵

【問題】2:設(shè)函數(shù)"尸+…嚷若?求關(guān)于X

的方程X解的個數(shù)。

錯解：兩個

剖析：基礎(chǔ)不實，分類討論意識沒有，未能將方程〃力=”分兩種情況來

解。

正確答案：三個

反思：與分段函數(shù)相關(guān)的問題有作圖、求值、求值域、解方程、解不等

式、研究單調(diào)性及討論奇倡性等等。在解決此類問題時，要注意分段函

數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，如果自變量取值不能確定，要對自變量

取值進行分類討論，同時還要關(guān)注分界點附近函數(shù)值變化情況。

易錯點10誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系

【問題】：函數(shù)/(幻=/+加+法+/在x=l處有極值10,求a,8的值。

錯解：由/(I)=10,/(I)=0解得a=4,〃=一11或a=—3』=3

剖析：對“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”邏輯關(guān)系分辨不清，錯把〃/)為極

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值的必要條件當作充要條件。

正確答案：a=4,b=-ll

反思：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時，很容易出現(xiàn)的錯誤是求出使導(dǎo)函

數(shù)等于o的點，而沒有對這些點左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號進行判斷，誤以

為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點就是函數(shù)的極值點。出現(xiàn)這種錯誤的原因就是對

導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪?dǎo)函數(shù)在一點處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個函數(shù)

在此點取到極值的必要條件，充要條件是（（%）=0且f㈤在與兩側(cè)異號。。

易錯點H對“導(dǎo)數(shù)值符號”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹

【問題】：若函數(shù)/（幻=以3_/在H上為減函數(shù)，求實數(shù)〃的取值范圍。

錯解：由尸（幻=3--1<0在R上怛成立，,解得〃<0

△=12。<0

錯誤!未找到引用源。

剖析：概念模糊，錯把/⑶在某個區(qū)間上是單調(diào)增（減）函數(shù)的充分條

件當成充要條件。事實上。=0時滿足題意。

正確答案：a<0

反思：一個函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個函數(shù)的導(dǎo)

函數(shù)在此區(qū)間上恒大（?。┯诘扔?,且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間

上都不恒為Oo切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?僅為該函數(shù)在此

區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件。

易錯點12對“導(dǎo)函數(shù)值正負”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚

【問題】：已知函數(shù)/‘（X）的導(dǎo)函數(shù)（x）的圖象如圖所示，則y=f（x）

的圖象最有可能的是_____.

8

錯解：選A8,O

剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于r(o)=r⑵=0,且兩邊值

符號相反，故。和2為極值點;又因為當x<0和x>2時，:(x)>0,當0vx<2

時，r(x)<0,所以函數(shù)/(x)在(TO,0)和(2,+8)上為增函數(shù)，在(0⑵上為減

函數(shù)。

正確答案：C

反思：解答此類題的關(guān)鍵是抓?、賹?dǎo)函數(shù)的零點與原函數(shù)的極值點關(guān)系

——極值點的導(dǎo)數(shù)值為0；②導(dǎo)函數(shù)值的符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系一

一原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負。

三、數(shù)列

易錯點13由S“求應(yīng)時忽略對“〃=1”檢驗

【問題】:已知數(shù)列｛an｝的前n項和S“=/_〃+],求凡。

錯解：由an=Sn-解得an=2n-2

剖析：考慮不全面，錯誤原因是忽略了凡=Sn-%成立的條件n22,實際

上當n=l時就出現(xiàn)了So,而So是無意義的，所以使用〃S,-求%,

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只能表示第二項以后的各項，而第一項能否用這個勺表示，尚需檢驗。

[

正確答案：an=[（"!）

”[2n-2（n^2,neN）

反思：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項4與其前n項和S”之間關(guān)系如下

a.=[S'（〃=?，在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記住其分段的特點。

當題中給出數(shù)列｛/｝的應(yīng)與5“關(guān)系時，先令〃=1求出首項《，然后令〃N2

求出通項〃“=S“-S1,最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令〃N2

求出通項a”=S,-Se，也不對〃=1進行檢驗。

易錯點14忽視兩個“中項”的區(qū)別

【問題】：b2=ac是aec成等比數(shù)列的（）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充

分有不必要條件

錯解：C

剖析：思維不縝密，沒有注意到當招=〃「時，〃也「可能為0c

正確答案：B

反思：若a,b,c成等比數(shù)列，則b為〃和c的等比中項。由定義可知只有同

號的兩數(shù)才有等比中項，僅是'”為〃和c的等比中項”的必

要不充分條件，在解題時務(wù)必要注意此點。

易錯點15等比數(shù)列求和時忽視對夕討論

【問題】：在等比數(shù)列｛凡｝中，5.為其前n項和，且S3=36，求它的公

比q。

10

錯解：=3a3,解得q=-l

\-q2

剖析：知識殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒有對公比q是否等于

1進行討論，導(dǎo)致失誤。

正確答案：q=-；或q=l

反思：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比數(shù)列的每一

項包括公比均不為0,等比數(shù)列的其前n項和S”為分段函數(shù)，其中當q=l

時，Sn=naxo而這一點正是我們解題中被忽略的。

易錯點15用錯了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)

【問題］：已知等差數(shù)列｛勺｝的前m項和為30,前2m項和為100,求

它的前3m項和53〃

錯解一：170

剖析：基礎(chǔ)不實，記錯性質(zhì)，誤以為鼠,S?,”,S3”,成等差數(shù)列。

錯解二：130

剖析：基礎(chǔ)不實，誤以為S.EQS3nl滿足S3mnS/Szi

正確答案:210

反思：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)(略)，這些公式和性

質(zhì)是解題的根本，用錯了公式和性質(zhì)，自然就失去了方向。解決這類問

題的一個基本出發(fā)點就是考慮問題要全面，把各種可能性都考慮進去，

認為正確的命題給予證明，認為不正確的命題舉出反例予以說明。

易錯點16用錯位相減法求和時項數(shù)處理不當

【問題】：求和工=1+3〃+5〃2+...+(2〃-l)a”To

11

剖析：①考慮不全面，未對〃進行討論，丟掉0=1時的情形。

②將兩個和式錯位相減后，成等比數(shù)列的項數(shù)弄錯。

③將兩個和式錯位相減后，丟掉最后一項。

n2(。=1)

正確答案：s=?12a(1-2〃-1

\-a(l-6i)\-a

反思：如果一個數(shù)列為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項積所得到的,

那么該數(shù)列可用錯位相減法求和?；痉椒ㄊ窃O(shè)這個和式為Sn,在這個

和式的兩端同時乘以等比數(shù)列的公比得到另一個和式，將這兩個和式錯

位相減，得到一個新的和式，該式分三部分①原來數(shù)列的第一項；②一

個等比數(shù)列的前n?l項和；③原來數(shù)列的第n項乘以公比的相反數(shù)。在

用錯位相減法求和時務(wù)必要處理好這三個部分，特別是等比數(shù)列的項數(shù),

有時含原來數(shù)列的第一項共〃項，有時只有〃一1項。另外，如果公比為字

母需分類討論。

易錯點17數(shù)列中的最值錯誤

【問題】：在等差數(shù)列｛%｝中，《=25,S產(chǎn)S-求比數(shù)列的前幾項和

最大。

剖析：①解題不細心，在用等差數(shù)列前n和求解時，解得n=12.5,誤認

為n=12.5o

②考慮不全面，在用等差數(shù)列性質(zhì)求解得出郁=。時?，誤認為只有席最大。

正確答案：%或％

反思：數(shù)列的通項公式與前n項和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要善

于用函數(shù)的觀點認識和理解數(shù)列問題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)

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的特點，有時即使考慮了n為正整數(shù)，但對于n為何值時，能夠取到最

值求解出錯。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點要根據(jù)正整數(shù)

距離二次函數(shù)的對稱軸遠近而定。

四、三角函數(shù)

易錯點18求解時忽略角的范圍

【問題】1：在A4BC中,sinA=-,cosB=——,求cosA,sinB的值。

513

錯解：cosA=±-,sinB=±—

513

剖析：基礎(chǔ)不實，忽視開方時符號的選取。

正確答案：cosA=-,sinB=—

513

【問題】2：在中，48為銳角，且sinA=乎,sin八平，求A+8的

值。

錯解：先求出sin（A+8）=也，???A+8￡（0,萬），...A+B二乙或包

244

剖析：知識殘缺，由于45為銳角，所以A+Bw（O,疝0又由于正弦函數(shù)

在（0,%）上不是單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin（A+8）,宜改求cos（A+B）

或tan（A+B）o

正確答案：A+B二工

4

【問題】1:在AABC中,已知a=近，b=6,B=H，求角A

錯解：用正弦定理求得sin4=",???A—或組

244

剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視隱含條件出錯。

正確答案：A二工

4

反思：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯點之一。解

13

題時，務(wù)必重視“根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知

角的范圍，并進行定號

易錯點19求關(guān)于sinx,cosx最值時忽視正、余弦函數(shù)值域

【問題］：已知sinx+siny=：,求siny-cos?x的最大值。

錯解：令，=sinx,Wsiny-cos2x=r2-r—|(-l<r<l),通過配方、作圖解得

siny-cos2x的最大值為g

剖析：本題雖注意到sinx的值域，但未考慮到sinx與siny相互制約，即

由于-1WsinyWl,

?-1<sinx<1

，sinx必須同時滿足」1o

-1<——sinx<1

［3

正確答案：-

9

反思：求關(guān)于sinx,cosx最值的常規(guī)方法是通過令，=sinx(或cosx)將三

角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的二次函數(shù)問題求解。但由于正、余弦函

數(shù)值域限制，，只能在某一特定范圍內(nèi)取值，解題時務(wù)必要注意此點。

易錯點20三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯誤

【問題】：已知函數(shù)尸cos(±?2x),求它的單調(diào)減區(qū)間。

4

錯解：2&乃W工?2xW2%乃+乃

4

剖析：概念混淆，錯因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的單調(diào)性概

念相混淆。應(yīng)化成廠cos(2x.工)求解正確答案：

4

(kTT+與,k兀+當(k￡Z)

OO

反思：對于函數(shù)丁=念皿(3+e)來說，當?>0時，由于內(nèi)層函數(shù)〃

是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)y=AsinQx+e)的單調(diào)性與函數(shù)丁=疝］的單調(diào)性

相同，故可完全按照函數(shù)y=sinx的單調(diào)性來解決；但當。<0時,內(nèi)層函

數(shù)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)y=4sin(5+0)的單調(diào)性與函數(shù)

y=sinx的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù))，=sinx的單調(diào)性來解決。一

般來說，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)化為正數(shù)加以解;央，對于帶有絕對

值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。

易錯點21圖象變換的方向把握不準

【問題］：要得到函數(shù)y=sinx的圖象，只需將函數(shù))，=cos(x-鼻的圖象

()

A向右平移？個單位B向右平移；個單位C向左平移？個單位D向

633

左平移N個單位

6

錯解一：C

剖析：知識殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。

錯解二：D

剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯了平移方向。

正確答案：A

反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，

y=sinx—>y=sin(x+0)(卬>。)平移的量為閘,

y=sinxfy=sin松—>y=sin(vur+夕)(w>0)平移的量為何。

w

易錯點22忽視平面向量基本定理的成立條件

【問題】：下列各組向量中，可以作為基底的是

?a=(0,0),b=(1,-2)；@a=(-1,2),b=(5,7);

③小(3,5),i=(6,10);@a=(2,?3),b=(4,-6);

錯解：選①或③或④

正確答案：②

15

剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作

為平面內(nèi)的基底。

反思：如果：、1是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任

一向量C,有且只有一對實數(shù)入1，入2，使。=入1〃+人在平面向量知

識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這

部分知識時，務(wù)必要注意這兩個定理的作用和成立條件。

易錯點23忽視“向量數(shù)量積運算”與“實數(shù)運算”區(qū)別

【問題】：已知向量￡=（x,x+|）與另=（2乂-3）的夾角為鈍角，求實數(shù)x的取

值范圍為

錯解：-l<x<2

2

剖析：概念模糊，錯誤地認為@可為鈍角=小<0

正確答案：」<x<2且TWO

2

反思：（a,b\為鈍角。a.b<0且消坂不共線=卜々+X%<°

六、不等式

易錯點24不等式性質(zhì)應(yīng)用不當

【問題］：已知Ovavzr,~<0<y,求函a-夕的取值范圍。

錯解：TOvav萬，??.（）一呼）—九一］,??.a一匹牛9

剖析：套用錯誤，不等式具有同向相加性質(zhì)，但兩邊不能分別相減。

正確答案：（《尊

反思：不等式基本性質(zhì)是不等式的基礎(chǔ)，有些性質(zhì)是條件不等式，在使

用這些性質(zhì)解題時，務(wù)必要檢驗成立條件，不能想當然套用，忽視了就

會出錯。

易錯點25忽視等號同時成立的條件，擴大了范圍

【問題】：已知函數(shù)/。)=加+以，fil</(-l)<2,2</(l)<4,求〃-2)的取

值范圍。

錯解：先由IV/(-1)K2,2K/⑴K4求出a,b的范圍,再用不等式性質(zhì)求出

”-2)的范圍為［5,10］。

剖析：知識殘缺，多次使用同向相加性質(zhì)，從而擴大了取值范圍。

正確答案：利用待定系數(shù)法或線性規(guī)劃求解，八-2)的范圍為［5,10］。

反思：在多次運用不等式性質(zhì)時，其等號成立的條件可能有所不同，造

成累積誤差，結(jié)果使變量范圍擴大。為了避免這類錯誤，必須注意①檢

查每次使用性質(zhì)時等號成立的條件是否相同；②盡可能多的使用等式。

易錯點26去分母時沒有判斷分母的符號

【問題】：解不等式三人>0

x-1

錯解：?.?匕上>(),

/.X2-A*-6>0,解得{x|x<-2,或43}

X—1

剖析：基礎(chǔ)不實，沒有考慮分母X-1的符號，直接去分母，應(yīng)對X-1進行

分類討論，或用數(shù)軸標根法求解。

正確答案：(-2,l)U(3,xo)

反思：解分式不等式的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)a>b,c>0nac>bc；

a>b,c<0^ac<bco解分式不等式基本思想是通過去分母將分式不等式

轉(zhuǎn)化為整式不等式，但在去分母之前必須對分母的符號進行判斷，必要

時要對分母進行討論。

17

易錯點27解含參數(shù)不等式時分類討論不當

【問題】：解關(guān)于x的不等式|2x-l|<〃-2

錯解一：原不等式等價于解得，+，工二一』

2222

剖析：基礎(chǔ)不實，直接利用絕對值不等式的解集公式，而忽視對a-2進

行分類討論。

錯解二：當〃-2<0時，原不等式不成立。

當"2>0時，原不等式等價于-(4-2)〈2%-1(々-2,解得

，+，一」

2222

剖析：技能不熟，沒有對a-2=0進行討論。

正確答案：當。-2<0時，不等式解集是①；當a-2N0對，不等式解集是

反思：含參數(shù)不等式的解法是不等式問題的難點。解此類不等式時一定

要注意對字母分類討論，討論時要做到不重不漏，分類解決后，要對各

個部分的結(jié)論按照參數(shù)由小到大進行整合。

易錯點28忽視均值不等式應(yīng)用條件

【問題】1：若x<0,求函數(shù)f(x)=x+2的最值。

X

錯解:當x=V^時，f(x)取得最小值2y/2

剖析：基礎(chǔ)不實，基本不等式a+b22J防成立條件為a>0,Z?>0,本題中

x<0,不能直接使用公式。

正確答案：最大值為-2a,無最小值。

【問題】：設(shè)0<X<7T求函數(shù)/(x)=sinx4~的最小值。

9sinx

18

錯解：/(x)=sinx+—^―>2.sinx?=4

sinxVsin尤

剖析：知識殘缺，因為上述解法取等號條件是sinx=/_,sinx=±2,而

sinx

這是不可能的。

正確答案：最小值為5

【問題】3：設(shè)〃>0,人>0,且〃+。=1,求函數(shù)f(x)=2+2的最小值。

ab

錯解：???2+"?)(2+：)22疝%區(qū)=4#,???函數(shù)f(x)的最小值

ababVab

為4^o

剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但兩次使用均值不等式時取等

號的條件不一樣，因此取不到4祈。

正確答案：最小值為5+2〃

反思、：均值不等式方(。>0功>0)取等號的條件是“一正，二

定，三相等”。

在解題過程中，務(wù)必要先檢驗取等號的三個條件是否成立。常規(guī)的解法

是①如果積或和不是定值，設(shè)法構(gòu)造“定值”；②若是〃>0,6〉0不能保

證，可構(gòu)造“正數(shù)”或利用導(dǎo)數(shù)求解；③若是等號不能成立，可根據(jù)“對

勾函數(shù)”圖象，利用單調(diào)性求解。

易錯點28平面區(qū)域不明

【問題】：(X-2)，+1衣+丁-3)<0表示的平面區(qū)域是()

錯解一：選A計算錯誤

錯解二：選B思維不縝密

錯解三：選D審題粗心，未注意到不含等號。

正確答案：C

反思：一條直線/：4+砌，+。=0（4,8不全為零）把平面分成兩個半平面，在

每個半平面內(nèi)的點（x,y）使小+為+。值的符號一致。鑒于此，作不等

式對應(yīng)的平面區(qū)域方法是畫線定界，取點定域，若含等號畫實線，否則

畫虛線。

易錯點29求目標函數(shù)最值時忽視），的系數(shù)4的符號

”1，

【問題】：若變量滿足約束條件卜+yNO,求目標函數(shù)z=x-2y的最

x-y-2<0,

大值。

錯解：先作可行域，在平移直線得最優(yōu)解（?1,1）,所以Za=-3

剖析：識記錯誤，當y的系數(shù)小于0時，使得直線/在y軸上截距最大的

可行解，是目標函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解。

正確答案：3

反思：解線性規(guī)劃問題的基本方法是圖解法。當B>0時，動直線

/:Ar+8），=力在y軸上的截距越大，目標函數(shù)2=小+分值越大，截距越小,

目標函數(shù)值越小；反之，當B<0時，動直線/:Ar+取力在y軸上截距越

大，目標函數(shù)z=值越小，截距越小，目標函數(shù)值越大。其中y的

系數(shù)B的符號是解題的關(guān)鍵，也是同學(xué)們經(jīng)常忽略的地方。

七、立體幾何

易錯點30不會將三視圖還原為幾何體

【問題上若某空間幾何體的三視圖如圖所示，

求該幾何體的體積。

錯解：如圖該幾何體是底面為邊長應(yīng)正方形，高為1

的棱柱，，該幾何體的體積為丫=(a)2xl=2

剖析：識圖能力欠缺，由三視圖還原幾何體時出錯。

正確答案：V=1

反思：在由三視圖還原空間幾何體時，要根據(jù)三個視圖綜合考慮，根據(jù)

三視圖的規(guī)則，可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為實線。

在還原幾何體形狀時，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進行

綜合考慮。

易錯點31空間點、線、面位置關(guān)系不清

【問題】：給定下列四個命題：

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互

平行；

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；.

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一

個平面也不垂直.

其中為真命題的是

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

錯解：A

21

剖析：①空間想象能力欠缺，不會借助身邊的幾何體作出判斷；

②空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉或定理用錯。

正確答案：D

反思：空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對空間點、線、

面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的重要題型。解決這類問題的基本思路

有兩條：一是逐個尋找反例作出否定的判斷，逐個進行邏輯證明作出肯

定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置(如教室、課桌、燈管)

作出判斷，但要注意定理應(yīng)用準確，考慮問題全面細致。

易錯點32平行關(guān)系定理使用不當

【問題工正方體ABCD—AiBCiDi中,M,N,Q分別是棱D|Ci，AQ”

BC的中點，P在對角線BDi上，且而巨的，給出下列四個命題：(1)

MN〃面4PC；(2)C]Q〃面APC；(3)A,P,M三點共線；(4)面MNP

//面APC.正確序號為()

A、(1)(2)B、(1)(4)C、(2)(3)D、(3)(4)

錯解：A、B、D

剖析：空間線面關(guān)系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC內(nèi)而

導(dǎo)致錯誤。

正確答案：C

反思：證明空間平行關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸，但要正確應(yīng)用定理

并注意定理的應(yīng)用條件。如在證明直線a//平面a時，不能忽略直線a在

平面Q外。證明有關(guān)線線，線面，面面平行時使用定理應(yīng)注意找足條件，

書寫規(guī)范，推理嚴謹。

22

易錯點33垂直關(guān)系定理使用不當

【問題］：已知三棱錐P—ABC中，PA±ABC,AB±

AC,PA=AC二%AB,N為AB上一點，AB=4AN,M、

S分別為PB、BC的中點。

①證明：CM±SN；a

②求SN與平面CMN所成角的大小.

剖析：①在利用線面垂直的判定定理證明兩個平面互相垂直時,

只證明了該直線垂直于這個平面內(nèi)的兩條直線，沒有說明這兩

條直線是否相交，不符合定理的條件；②在求線面角時，沒有

說明找角的過程。

反思：證明空間垂直關(guān)系的基本思想是轉(zhuǎn)化和化歸。如在證明線線垂直

時，可先把其中一條直線視為某平面內(nèi)的直線，然后再利用線面垂直的

性質(zhì)定理和判定定理證明另一條直線垂直于這個平面，進而達到證明線

線垂直的目的。

易錯點34利用空間向量求線面角幾種常見錯誤

【問題工如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M,

"分別為AB,DF的中點，若平面ABCDJ_平面DCEF,求直線MN與

平面DCEF所成角的余弦值。

剖析：本題在求得平面DCEF的一個法向量次二(0,0,2)及

—?_k,MNDA衣

MN=（一1/,2）后，可得COS<MN,￡>A>=］而而廠亍

23

可能出現(xiàn)的錯誤為：-半;當

正確答案：手

反思：若直線與平面所成的角為。，直線的方向向量為Z,平面的法向量

為K則sine=|cos<i*>|。容易出錯的是①誤以為直線的方向向量與平

面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向

量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對值；③不清楚線面角

的范圍。

易錯點35二面角概念模糊

【問題工如圖，四棱錐S-ABCQ中，底面ABC。為矩形，3。，底面48?！?gt;,

AD=42,DC=SD=2,點M在側(cè)棱SC上，NABM=60。$

①證明：M是側(cè)棱SC的中點；（畀、

②求二面角S-AM-3的余弦值。，層二冷°,

剖析：本題在求得平而S4M、M4A的法向量、（后，1,1）,b-（V2,0,

2）后，然后計算出cos<Z〃=手；接著可能錯誤地以為二面角S-4W-B

余弦值為半，其實本題中的二面角是鈍角，<3石>僅為其補角。

正確答案：一半

反思：若兩個平面的法向量分別為Z，，若兩個平面所成的銳二面角為

0,則8$。=何<￡屏|;若兩個平面所成二面角為鈍角，則

cose=Tcos<3阻?？傊?，在解此類題時，應(yīng)先求出兩個平面的法向量及

24

其夾角，然后視二面角的大小而定。

利用空間向量證明線面位置關(guān)系基本步驟為①建立空間坐標系，寫出

相關(guān)點的坐標；②用向量表示相應(yīng)的直線；③進行向量運算；④將運算

結(jié)果轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的位置關(guān)系。解此類問題常見錯誤有①不會將空間問題

轉(zhuǎn)化為向量問題；②不會建系，不會用向量表示直線，③計算錯誤，④

使用定理出錯，⑤書寫不規(guī)范。

八、解析幾何

易錯點36傾斜角與斜率關(guān)系不明

【問題】：下列命題正確的為。

①任何一條直線都有傾斜角，都有斜率；②直線的傾斜角越大，它的斜

率就越大；

③平行于x軸的直線，傾斜角為0°或180°；

④平行于y軸的直線，斜率不存在，所以傾斜角不存在；

剖析：知識殘缺，概念模糊。

正確答案：無選項

反思：傾斜角和斜率分別從不同角度反映了直線的傾斜程度，但二者也

有區(qū)別，任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率，解此類題常見錯

誤有①弄錯直線傾斜角的范圍；②當直線與x軸平行或重合時，誤認為

傾斜角為0°或180°；③不了解傾斜角與斜率關(guān)系。

易錯點37判斷兩直線位置關(guān)系時忽視斜率不存在

【問題】:已知直線八：ax+2y+6=0和，2：x+(a-1)y+a2-l=0,

①試判斷人與/2是否平行；②當八，/2時，求。的值c

剖析：本題中的直線為一般式，宜用②中的等價關(guān)系求解，如果用①中

的等價關(guān)系求解，一定要考慮斜率不存在的情況。

25

正確答案：(1)a=-l(2)a=-

3

反思：在解幾中，判斷平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系的方法有兩種：

①若直線八：y=匕：y=k2x+b29則有

/1與/2相父=女產(chǎn)22；/i〃，2O&=k2,且biWbz；k^k2=-1

②若直線4：Ax+g)，=G，/2：^+52>=02,則有/1與/2相交

<=>-4月*0；

A——&B]=0

11//，20?/I_L/2=A4+8/2=0

A,C2-A2Ct0或耳。2-82GHo

兩種方法各有優(yōu)缺點，方法①簡便易行，但僅適用于斜率存在的直線,

方法②適用于任意的直線，但運算量較大?？忌?jīng)常出錯的是；用方法

①但忽視對斜率的討論。

易錯點38平行線間的距離公式使用不當

【問題】：求兩條平行線，i：3x+4y+6=0和，2：6x+8y-4=0間的距離。

錯解：八尸y_歸1)|_2或,_上-I一

y/A2+B26+個VA2+B2762+82

.??直線人與/2的距離為2或1

剖析：技能不熟，求兩條平行線間的距離時，沒有把X、y的系數(shù)化成相

同。

正確答案：|

反思：兩條平行線之間的距離是指其中一條直線上的任意一點到另一條

直線的距離。若直線八：Ax+By+C產(chǎn)0和，2：Ax+By+C2=0(CWC2),則直

線與/2的距離為"=單二幺。常見的錯誤是忽視判斷兩直線中x、y系

JA2..?2

數(shù)是否相等。

26

易錯點39誤解“截距”和“距離”的關(guān)系

【問題工若直線依+2y+2=0(aw0)與拋物線(y-1)2=x-1在X軸上

的截距相等，求。的值。

錯解：直線公+2y+2=0("0)在X軸上的截距為.二，拋物線(y-1)

a

?x-1在x軸上的截距為2,J-2=2,解得。=±1

a

剖析：概念模糊，錯把截距當成距離。

正確答案：a=-l

反思：截距是指曲線與坐標軸交點的橫(縱)坐標，它是一個實數(shù)，可

為正數(shù)、負數(shù)、零，而距離一定是非負數(shù)，對此考生應(yīng)高度重視。

易錯點40忽視直線點斜式和斜截式方程適用范圍

【問題】：求過點(2,1)和(m2)的直線方程。

錯解：先求出斜率k=鋁=_二，故所求直線方程為y—1=_二(x-2)

剖析：知識殘缺，未考慮k不存在的情況。

正確答案：當好2時，直線方程為x=2,當〃聲2時，直線方程為y—1=_=

a-2

(x—2)

反思：點斜式y(tǒng)-%=&(x-4)和斜截式》=履+6是兩種常見的直線方程形

式，應(yīng)用非常廣泛，但它們僅適用于斜率存在的直線，解題時一定要驗

證斜率上是否存在，若情況不明，一定要對斜率人分類討論。

易錯點41忽視直線截距式方程適用范圍

【問題】：直線/經(jīng)過點P(2,3),且在兩坐標軸上的截距相等，求直線

/方程。

錯解：設(shè)直線/方程為土+2=1(&W0),將點P代入得所5,???/的方程

aa

為x+y-5=0

剖析：知識殘缺，不了解截距式方程適用范圍，漏掉直線過原點的情況。

正確答案：x+y-5=0或3x-2y=0

反思：直線的截距式方程為'+'=1(HW0),。為直線在x軸上的截

ab

距，b為直線在y軸上的截距。其適用范圍為①不經(jīng)過原點，②不與坐

標軸垂直。

易錯點42忽視圓的一般式方程成立條件

27

【問題］：已知圓的方程為爐+9+奴+2產(chǎn)。2=0，過4(1,2)作圓的切線有

兩條，求。的取值范圍。

錯解：???過4(1,2)作圓的切線有兩條，???點4在圓外，???〃2+4+9>0,.??

aeR

剖析：技能不熟，忽視圓的一般式方程的充要條件。

正確答案：［苧，竽'

反思：在關(guān)于x、y的二元二次方程公十「十“十斗十尸=0中，當

D2+E2-4F>0,表示一個圓；當。2+石2_4尸=0時，表示一個點；當

。、爐—4/<0時，不表示任何圖形。/+丁2+。丫+或+尸=0僅僅是曲線為

圓的一個必要不充分條件，在判斷曲線/+產(chǎn)+6+或+/=()類型時，判

斷。?+爐-4/的符號至關(guān)重要，這也是考生易錯點之一。

易錯點43忽視圓錐曲線定義中的限制條件

【問題】1:已知定點耳(-3,0),5(3,0)，在滿足下列條件的平面上動點P的

軌跡中是橢圓的是

A儼用+|尸石|=4B|尸耳|+|2用=6C用+|PE|=1OD

|P用2+忸閭2=］2

錯解：A或B

剖析：概念模糊，由于|BF?I=6,所以A選項無軌跡，B選項的軌跡為線

段”6。

正確答案：C

【問題】2:說出方程J(x-6)2+y2-J(x+6)2+y2=8表示的曲線。

錯解：雙曲線_________________

剖析：知識不全，"(『一6)2+)尸一4/+6)2+爐=8表示動點Rx,y)至：定點

6(6,0),6(-6,0)的距離只差為8,K|PFI|>|PF2|,工軌跡為以為焦點

6(6,0),F2(-6,0)的雙曲線的左支。

正確答案：軌跡為以為焦點76,0),乙(-6,0)的雙曲線的左支

反思：在橢圓的定義中，對常數(shù)加了一個條件，即常數(shù)大于山用。這種

規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況一一軌跡為一條線段或無軌跡。在雙

曲線的定義中，不僅對常數(shù)加了限制條件，同時要求距離差加了絕對值,

其實如果不加絕對值其軌跡只表示雙曲線的一支，對此考生經(jīng)常出錯。

易錯點57求橢圓標準方程時忽視“定位”分析

【問題］：若橢圓<+后=1的離心率”畫,求機的值是。

5m5

28

222

錯解：a=5,b=m9Ac=5-m,又用半，/.m=3

剖析：技能不熟，沒有考慮到焦點在y軸上