人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析章末復習課

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE1章末復習課一、線性回歸分析1．回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．其基本步驟為通過散點圖和經(jīng)驗選擇經(jīng)驗回歸方程的類型，然后通過一定的規(guī)則確定出相應的經(jīng)驗回歸方程，通過一定的方法進行檢驗，最后應用于實際或?qū)︻A報變量進行預測．2．主要培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例1某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\x\to(y))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\r(2)≈1.414.解(1)由已知得樣本平均數(shù)為eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12000.(2)樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,20,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分層隨機抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層隨機抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)關(guān)系．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層隨機抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計．反思感悟解決回歸分析問題的一般步驟(1)畫散點圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖．(2)判斷變量的相關(guān)性并求經(jīng)驗回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系．在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))，然后寫出經(jīng)驗回歸方程．(3)回歸分析．畫殘差圖或計算R2，進行殘差分析．(4)實際應用．依據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程解決實際問題．跟蹤訓練1如圖給出了根據(jù)我國2012年～2018年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點圖和經(jīng)驗回歸方程的殘差圖(2012年～2018年的年份代碼x為1～7)．(1)根據(jù)散點圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)散點圖相應數(shù)據(jù)計算得eq\i\su(i＝1,7,y)i＝1074，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝4517，求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程(精確到0.01)；(3)根據(jù)經(jīng)驗回歸方程的殘差圖，分析經(jīng)驗回歸方程的擬合效果．附：經(jīng)驗回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)根據(jù)散點圖可知y與x呈正線性相關(guān)．(2)由所給數(shù)據(jù)計算得eq\x\to(x)＝eq\f(1,7)×(1＋2＋…＋7)＝4，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,7,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(221,28)≈7.893，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)≈eq\f(1074,7)－7.893×4≈121.86.故所求經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝7.89x＋121.86.(3)由題中給出的殘差圖知歷年數(shù)據(jù)的殘差均在－2到2之間，說明經(jīng)驗回歸方程的擬合效果較好．二、獨立性檢驗1．獨立性檢驗研究的問題是有多大把握認為兩個分類變量之間有關(guān)系．為此需先列出2×2列聯(lián)表，從表格中可以直觀地得到兩個分類變量是否有關(guān)系．另外等高堆積條形圖能更直觀地反映兩個分類變量之間的情況．獨立性檢驗的思想是可以先假設二者無關(guān)系，求隨機變量χ2的值，若χ2大于臨界值，則拒絕假設，否則，接受假設．2．通過計算χ2的值，進而分析相關(guān)性結(jié)論的可信程度，提升數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例2為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5〖0,50〗(50,150〗(150,475〗〖0,35〗32184(35,75〗6812(75,115〗3710(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5〖0,150〗(150,475〗〖0,75〗(75,115〗(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，分析該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度是否有關(guān)．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).解(1)由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數(shù)為32＋6＋18＋8＝64，所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計值為eq\f(64,100)＝0.64.(2)由所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：SO2PM2.5〖0,150〗(150,475〗〖0,75〗6416(75,115〗1010(3)零假設為H0：該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×64×10－16×102,80×20×74×26)≈7.484>6.635≈x0.010，根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)．反思感悟獨立性檢驗的一般步驟①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；②根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計算χ2的值；③查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作出統(tǒng)計判斷．跟蹤訓練2考察小麥種子滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗觀察，得到數(shù)據(jù)如下表：種子滅菌種子未滅菌合計黑穗病26184210無黑穗病50200250合計76384460試分析依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷種子滅菌與小麥發(fā)生黑穗病有關(guān)？解零假設H0：種子滅菌與小麥發(fā)生黑穗病無關(guān)．由列聯(lián)表的數(shù)據(jù)可得χ2＝eq\f(460×26×200－184×502,76×384×210×250)≈4.804>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，可以認為種子滅菌與小麥發(fā)生黑穗病有關(guān)系．三、數(shù)形結(jié)合思想在獨立性檢驗中的應用1．數(shù)形結(jié)合思想就是在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時，將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；在進行回歸分析時，常利用散點圖、殘差圖等說明線性相關(guān)情況或模型的擬合效果．在獨立性檢驗中，我們常用等高堆積條形圖直觀地反映數(shù)據(jù)的情況，從而可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系．2．主要培養(yǎng)數(shù)學抽象和數(shù)學運算的素養(yǎng)．例3某機構(gòu)為了了解患色盲是否與性別有關(guān)，隨機抽取了1000名成年人進行調(diào)查，在調(diào)查的480名男性中有38名患色盲，520名女性中有6名患色盲，分別利用圖形和獨立性檢驗(α＝0.001)的方法來判斷患色盲與性別是否有關(guān)．解根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：性別色盲合計患色盲未患色盲男38442480女6514520合計449561000根據(jù)列聯(lián)表作出相應的等高堆積條形圖，如圖所示．圖中兩個深色條的高分別表示男性和女性中患色盲的頻率，從圖中可以看出，男性中患色盲的頻率明顯高于女性中患色盲的頻率，因此我們可認為患色盲與性別有關(guān)．零假設為H0：患色盲與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(1000×38×514－442×62,480×520×44×956)≈27.139>10.828＝x0.001，根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，推斷H0不成立，即認為患色盲與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.001.反思感悟解獨立性檢驗的應用問題的關(guān)注點(1)兩個明確：①明確兩類主體；②明確研究的兩個問題；(2)兩個準確：①準確畫出2×2列聯(lián)表；②準確理解χ2.跟蹤訓練3電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查．如圖所示的是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖．將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關(guān)？非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的分布列，均值E(X)和方差D(X)．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)α0.050.01xα3.8416.635解(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷合計男301545女451055合計7525100零假設為H0：“體育迷”與性別無關(guān)．將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈3.030<3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認為“體育迷”與性別無關(guān)．(2)由頻率分布直方圖，知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為eq\f(1,4).由題意知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，從而X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)E(X)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，D(X)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).四、化歸與轉(zhuǎn)化思想在非線性回歸分析中的應用1．轉(zhuǎn)化與化歸思想主要體現(xiàn)在非線性回歸分析中．在實際問題中，并非所有的變量關(guān)系均滿足線性關(guān)系，故要選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過代數(shù)變換，把非線性問題線性化．2．主要培養(yǎng)數(shù)學建模和數(shù)學運算的素養(yǎng)．例4某機構(gòu)為研究某種圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進行了初步處理，得到了下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(u)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))2eq\i\su(i＝1,8,)(ui－eq\x\to(u))·(yi－eq\x\to(y))15.253.630.2692085.5－230.30.7877.049表中ui＝eq\f(1,xi)，eq\x\to(u)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,u)i.(1)根據(jù)散點圖判斷y＝a＋bx與y＝c＋eq\f(d,x)哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的經(jīng)驗回歸方程？(只要求給出判斷，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01)．(3)若該圖書每冊的定價為10元，則至少應該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于78840元？(假設能夠全部售出．結(jié)果精確到1)附：對于一組數(shù)據(jù)(ω1，υ1)，(ω2，υ2)，…，(ωn，υn)，其經(jīng)驗回歸直線eq\o(υ,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))ω的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)υi－\x\to(υ),\i\su(i＝1,n,)ωi－\x\to(ω)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(υ)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(ω).解(1)由散點圖判斷，y＝c＋eq\f(d,x)更適合作為該圖書每冊的成本費y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的經(jīng)驗回歸方程．(2)令u＝eq\f(1,x)，先建立y關(guān)于u的經(jīng)驗回歸方程，由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)ui－\x\to(u)2)＝eq\f(7.049,0.787)≈8.96，所以eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))·eq\x\to(u)＝3.63－8.96×0.269≈1.22，所以y關(guān)于u的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋8.96u，所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.22＋eq\f(8.96,x).(3)假設印刷x千冊，依題意得10x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1.22＋\f(8.96,x)))x≥78.840，所以x≥10，所以至少印刷10000冊才能使銷售利潤不低于78840元．反思感悟可線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，選擇跟散點圖擬合得最好的函數(shù)模型進行變量代換，作出變換后樣本點的散點圖，用線性回歸模型擬合．跟蹤訓練4光伏發(fā)電是利用太陽能電池及相關(guān)設備將太陽光能直接轉(zhuǎn)化為電能．近幾年在國內(nèi)出臺的光伏發(fā)電補貼政策的引導下，某地光伏發(fā)電裝機量急劇上漲，如表：年份20112012201320142015201620172018年份代碼x12345678新增光伏裝機量y兆瓦0.40.81.63.15.17.19.712.2某位同學分別用兩種模型：①eq\o(y,\s\up6(^))＝bx2＋a；②eq\o(y,\s\up6(^))＝dx＋c進行擬合，得到相應的經(jīng)驗回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下(注：殘差等于yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)：經(jīng)過計算得eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝72.8，eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2＝42，eq\i\su(i＝1,8,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝686.8，eq\i\su(i＝1,8,)(ti－eq\x\to(t))2＝3570，其中ti＝xeq\o\al(2,i)，eq\x\to(t)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,t)i.(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①、模型②的擬合效果，應該選擇哪個模型？并簡要說明理由；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測該地區(qū)2021年新增光伏裝機量是多少？(在計算回歸系數(shù)時精確到0.01)參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)選擇模型①.理由如下：根據(jù)殘差圖可以看出，模型①的估計值和真實值比較相近，模型②的殘差值相對較大一些，所以模型①的擬合效果相對較好．(2)由(1)可知，y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x2＋eq\o(a,\s\up6(^))，令t＝x2，則eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^)).由所給數(shù)據(jù)可得eq\x\to(t)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,t)i＝eq\f(1,8)×(1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64)＝25.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,y)i＝eq\f(1,8)×(0.4＋0.8＋1.6＋3.1＋5.1＋7.1＋9.7＋12.2)＝5，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(686.8,3570)≈0.19，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈5－0.19×25.5≈0.16，所以y關(guān)于x的非線性經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.19x2＋0.16，預測該地區(qū)2021年新增光伏裝機量為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.19×112＋0.16＝23.15(兆瓦)．1．如圖所示的是一組觀測值的四個線性回歸模型對應的殘差圖，則對應的線性回歸模型的擬合效果最好的殘差圖是()〖答案〗A〖解析〗因為殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，故選A.2．兩個分類變量X和Y，值域都為{0,1}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35.依據(jù)小概率值α＝0.025的獨立性檢驗，認為X與Y有關(guān)系，則c等于()A．3B．4C．5D．6附：α0.050.025xα3.8415.024〖答案〗A〖解析〗2×2列聯(lián)表為Y＝0Y＝1合計X＝0102131X＝1cd35合計10＋c21＋d66故χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥5.024.把選項A，B，C，D代入驗證可知選A.3．有下列說法：①若某商品的銷售量y(件)關(guān)于銷售價格x(元/件)的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5x＋350，當銷售價格為10元時，銷售量一定為300件；②經(jīng)驗回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(