2024-2025學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)系列講座七-四邊形

2025學(xué)年度九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)系列講座七——四邊形1、在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=1，E為BC中點(diǎn)，對(duì)角線(xiàn)BD上的動(dòng)點(diǎn)P到E、C兩點(diǎn)距離之和的最小值為（）A、eq\f(\r(,3),4) B、eq\f(\r(,3),3) C、eq\f(\r(,3),2) D、eq\r(,3)2、如圖，在凸四邊形ABCD中，E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，AF、DE交于點(diǎn)G，BF、CE交于點(diǎn)H，四邊形EGFH的面積為10，則△ADG與△BCH的面積和為（）A、eq\f(20,3) B、10 C、15 D、203、矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=4，BC=8，將矩形折疊使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長(zhǎng)為（）A、3eq\r(,2) B、2eq\r(,5) C、eq\f(15,2) D、eq\f(16,3)4、如圖，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB中點(diǎn)，若CM=6.5，BC+DC+DA=17，則梯形ABCD的面積為（）A、20 B、30 C、40 D、505、在菱形ABCD中，∠ABC=120°，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，則直線(xiàn)BF與直線(xiàn)DE所夾的銳角的度數(shù)為（）A、30° B、40° C、50° D、60°6、如圖，點(diǎn)A在平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)上，試判斷S1，S2之間的大小關(guān)系（）A、S1=S2 B、S1>S2 C、S1<S2 D、無(wú)法確定7、如圖，已知直線(xiàn)l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行線(xiàn)間的距離都等于h，若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線(xiàn)上，則它的面積等于（）A、4h2 B、5h2 C、4eq\r(,2)h2 D、5eq\r(,2)h28、如圖，已知∠A=∠B，AA1、PP1、BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，則AP+PB=（）A、12 B、13 C、14 D、159在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，若cosB=eq\f(4,5)，EC=2，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段PE長(zhǎng)度的最小值是_______．10、在四邊形ABCD（如圖）中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，E是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，若DE=AB=3，CE=4eq\r(,2)，則AD的長(zhǎng)是_______．11、在梯形ABCD中，AB∥CD，其底角∠DAB=36°，∠CBA=54°，M、N分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，若這個(gè)梯形的下底AB比其上底CD長(zhǎng)2008，則線(xiàn)段MN=_______．12、用三種邊長(zhǎng)相等的正多邊形地磚鋪地，其頂點(diǎn)拼在一起，剛好能完全鋪滿(mǎn)地面，設(shè)正多邊形的變數(shù)分別為x、y、z，則=_______．13、如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=AC，DA=DB，∠ADB=90°，則∠ACD的度數(shù)等于_______．14、矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)P到A、B、C、D的長(zhǎng)分別為3，4，5，則PD的長(zhǎng)為_(kāi)____．15、如圖，△ABC中，∠BAC=120°，以AB、AC為邊分別向形外做正三角形ABD和正三角形ACE，M為AD的中點(diǎn)，N為AE的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，則∠MPN=_____°．16、如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于F，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，MN分別交BD、AC于P、Q，且∠FPQ=∠FQP，BD=10，則AC=______．17、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P為邊BC上的任意一點(diǎn)（可與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合），分別過(guò)B、C、D作射線(xiàn)AP的垂線(xiàn)，垂足分別是B’、C’、D’，求BB’+CC’+DD’的最大值和最小值．18、如圖，正方形ABCD被與兩條邊平行的線(xiàn)段EF、GH分割成四個(gè)小矩形，P是EF和GH的交點(diǎn)，若矩形PFCH的面積恰好是舉行AGPE面積的2倍，試確定∠HAF的大小，并證明你的結(jié)論．19、（1）如圖(a)，已知四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，證明：BD+DC=AC；（2）如圖(b)，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD=120°，證明：PA+PC+PD≥BD．（a）（b）20、在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AC平分∠DAB，E、F分別是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的中點(diǎn)，且EF=a，求梯形面積．21、分別以△ABC的邊AC和BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到邊AB的距離是AB的一半．22、如圖，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ACD=60°，點(diǎn)S、P、Q分別是OD、OA、BC的中點(diǎn)，（1）求證：△PQS是正三角形；（2）若AB=5，CD=3，求△PQS的面積；（3）若△PQS的面積與△AOD面積的比是7：8，求梯形上下兩底的比CD：AB．23、正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)F在線(xiàn)段CD上運(yùn)動(dòng)，AE平分∠BAF交邊BC于點(diǎn)E，（1）求證：AF=DF+BE；（2）設(shè)DF=x（0≤x≤1），△ADF和△ABE的面積的和S是否存在最大值？若存在，求此時(shí)x的值及S；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．24、在凹四邊形ABCD中，它的三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C均為45°，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，證明：四邊形EFGH是正方形．25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC=5，∠DBC=30°，（1）求對(duì)角線(xiàn)BD的長(zhǎng)度；（2）求梯形ABCD的面積．28．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿線(xiàn)段AB→BC→CD的方向運(yùn)動(dòng)，速度為2cm／s；點(diǎn)Q沿線(xiàn)段AD的方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm／s．當(dāng)P、Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，△APQ的面積為S(cm)．(1)當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某個(gè)t的值使∠CQP=60°?通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；(2)當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，是否存在某個(gè)t的值使PQ=AQ？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)試探究：點(diǎn)P在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t取何值時(shí)，S的值最大?并求出最大值；27．29．下列命題：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，AF＝BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O為AC的中點(diǎn)，OB交CE于N，連OH.下列結(jié)論中：①BF⊥CE；②OM＝ON；③；④.其中正確的命題有（）A．只有①②B．只有①②④C．只有①④D．①②③④30．我們給出如下定義：有一組相鄰內(nèi)角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出一個(gè)你所學(xué)過(guò)的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱(chēng)；（2）如圖1，在中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且CD=CA，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．求證：四邊形AGEC是等鄰角四邊形；（3）如圖2，若點(diǎn)D在的內(nèi)部，（2）中的其他條件不變，EF與CD交于點(diǎn)H．圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個(gè)四邊形，不必證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．31．如圖，已知M是正方形ABCD的邊DC所在的直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．32．如圖，P是正方形ABCD邊AB上任意一點(diǎn)，Q是外角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且DP=PQ，求證：DP⊥PQ．33．如圖，已知在中，為直角，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，CE⊥BD于E，（1）若BD平分，求證：=BD；（2）若D為AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如何變化，若變化，求它的變化范圍；若不變，求出它的度數(shù)，并說(shuō)明理由．34．以凸四邊形ABCD的四條邊為邊在形外作四個(gè)正方形，依次記四個(gè)正方形的中心分別為、、、，求證：=且⊥．35．如圖已知四邊形ABCD中，AC=BD，，請(qǐng)你探索AB+CD與AC的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．36．如圖已知，在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且，探究：滿(mǎn)足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形，并證明你的結(jié)論．37．如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)F在線(xiàn)段CD上運(yùn)動(dòng)，AE平分交邊BC于點(diǎn)E，（1）求證：AF=DF+DE；（2）設(shè)DF=（），和的面積和為S，S是否存在最大值？若存在，ADBC·M·NADBC·M·N38．如圖，大樓ABCD（可以看作不透明的長(zhǎng)方體）的四周都是空曠的水平地面，地面上有甲、乙兩人，他們現(xiàn)在分別位于點(diǎn)M和點(diǎn)N處，M、N均在AD的中垂線(xiàn)上，且M、N到大樓的距離分別為60米和米，又已知AB=40，BC=120．由于大樓遮擋著，所以乙不能直接看到甲．若乙沿著大樓的外面地帶行走，直到看到甲（甲保持不動(dòng)）．則他行走的最短路線(xiàn)為多少？39．如圖，將正方形沿圖中虛線(xiàn)（其中x＜y）剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼成一個(gè)矩形（非正方形）．（1）畫(huà)出拼成的矩形的簡(jiǎn)圖；（2）求的值