高中數(shù)學(xué) 1.1.2 簡(jiǎn)單多面體基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.1.2簡(jiǎn)單多面體基礎(chǔ)鞏固北師大版必修2一、選擇題1．五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有()A．20 B．15C．12 D．10[答案]D[解析]由題意五棱柱對(duì)角線一定為上底面的一個(gè)頂點(diǎn)和下底面的一個(gè)頂點(diǎn)的連線，因?yàn)椴煌谌魏蝹?cè)面內(nèi)，故從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有2條，五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有2×5＝10條．2．下圖中是四棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的是()[答案]D[解析]A，C都是四棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖，B是四棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖，D是四棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖．3．給出下列幾個(gè)結(jié)論：①棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；②多面體至少有四個(gè)面；③棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn)．其中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]①顯然是正確的；對(duì)于②，顯然一個(gè)圖形要成為空間幾何體，則它至少需要有四個(gè)頂點(diǎn)，因?yàn)槿齻€(gè)頂點(diǎn)只圍成一個(gè)平面圖形是三角形，當(dāng)有四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，易知它可圍成四個(gè)面，因而一個(gè)多面體至少應(yīng)有四個(gè)面，而且這樣的面必是三角形，故②是正確的；對(duì)于③，棱臺(tái)的側(cè)棱所在的直線就是原棱錐的側(cè)棱所在的直線，而棱錐的側(cè)棱都有一個(gè)公共的點(diǎn)，即棱錐的頂點(diǎn)，于是棱臺(tái)的側(cè)棱所在的直線均相交于同一點(diǎn)，故③是正確的．4．一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是()A．底面是正方形有兩個(gè)側(cè)面是矩形B．底面是正方形，兩個(gè)側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形且有一個(gè)頂點(diǎn)處的兩條棱互相垂直D．底面是正方形，每個(gè)側(cè)面都是全等矩形的四棱柱[答案]D[解析]對(duì)于A，滿足了底面是正方形，但兩個(gè)側(cè)面是矩形并不能保證另兩個(gè)側(cè)面也是矩形(相對(duì)的兩個(gè)面)；對(duì)于B，垂直于底面的側(cè)面不是面內(nèi)所有直線都垂直于底面，因此，不能保證側(cè)棱垂直于底面；對(duì)于C，底面是菱形但不一定是正方形，同時(shí)側(cè)棱也不一定和底面垂直；對(duì)于D，側(cè)面全等且為矩形，保證了側(cè)棱與底面垂直，底面是正方形，保證了底面是正多邊形，因而符合正棱柱的定義和基本特征．故選D.5．一個(gè)棱錐的各條棱都相等，那么這個(gè)棱錐一定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐[答案]D[解析]因?yàn)槔忮F的各條棱都相等，所以側(cè)面都是正三角形，又因?yàn)轫旤c(diǎn)處的各個(gè)面上頂角之和小于360°，從而側(cè)面數(shù)小于6，故選D.6．水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖(圖中數(shù)字寫(xiě)在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是()A．1 B．2C．快 D．樂(lè)[答案]B[解析]由題意，將正方體的展開(kāi)圖還原成正方體，1與樂(lè)相對(duì)，2與2相對(duì)，0與快相對(duì)，所以下面是2.二、填空題7．如圖所示，三棱臺(tái)A′B′C′－ABC截去三棱錐A′－ABC后，剩余部分是________．[答案]四棱錐[解析]剩余部分是四棱錐A′－BB′C′C.8．下列命題中正確的是________．①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；②各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；③各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；④底面是正多邊形，并且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐．[答案]④[解析]①不能保證頂點(diǎn)在底面上的射影為底面正多邊形的中心；②不能保證底面為正多邊形，只能說(shuō)明多邊形共圓；③這個(gè)命題更具迷惑性，最關(guān)鍵的原因是不能保證這些全等的等腰三角形的腰長(zhǎng)都作為側(cè)棱長(zhǎng)，故不正確，只有④正確．三、解答題9．正四棱臺(tái)AC1的高是17cm，兩底面的邊長(zhǎng)分別是4cm和16cm，求這個(gè)棱臺(tái)側(cè)棱的長(zhǎng)和斜高．[解析]如圖所示，設(shè)棱臺(tái)的兩底面的中心分別是O1和O，B1C1和BC的中點(diǎn)分別是E1和E，連接O1O，E1E，O1B1，OB，O1E1，OE，則四邊形OBB1O1和OEE1O1∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，∴O1E1＝2cm，OE＝8cm，O1B1＝2eq\r(2)cm，OB∴B1B2＝O1O2＋(OB－O1B1)2＝361cm2，E1E2＝O1O2＋(OE－O1E1)2＝325cm2.∴B1B＝19cm，E1E＝5eq\即棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為19cm，斜高為5eq\一、選擇題1．已知長(zhǎng)方體的全面積為11，十二條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為()A．2eq\r(3) B．eq\r(14)C．5 D．6[答案]C[解析]設(shè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為a、b、c，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ab＋bc＋ca＝11，,4a＋b＋c＝24，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ab＋bc＋ca＝11，①,a＋b＋c＝6，②))由②平方，得a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝36，∴a2＋b2＋c2＝25，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝5.2．如圖所示幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是()A．該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體B．該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)C．該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形D．該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)為四邊形，另外8個(gè)為三角形[答案]D[解析]圍成多面體的各個(gè)多邊形叫作多面體的面，故四邊形ABCD不是該多面體的面．二、填空題3．下列三種敘述，其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)②兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的幾何體是棱臺(tái)[答案]0[解析]①中的平面不一定平行于底面，故①錯(cuò)誤．②③可用反例去檢驗(yàn)如圖所示，故②③不對(duì)．4．正四棱臺(tái)兩底面邊長(zhǎng)分別為3cm和5cm，那么它的中截面(平行于兩底面且與兩底面距離相等的截面)的面積為_(kāi)_______cm2.[答案]16[解析]正四棱臺(tái)的中截面是正方形，其邊長(zhǎng)為eq\f(1,2)(3＋5)＝4(cm)．由此S截＝42＝16(cm2)．三、解答題5．正四棱錐的高為eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(7)，則側(cè)面上的等腰三角形底邊上的高為多少？[解析]如圖所示，在正四棱錐S－ABCD中，高OS＝eq\r(3)，側(cè)棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7).解Rt△SOA得OA＝2，則AC＝4，所以AB＝BC＝CD＝DA＝2eq\r(2).作OE⊥AB于E，則E為AB的中點(diǎn)，故OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(2).連接SE，則SE即為斜高，在Rt△SOE中，因?yàn)镺E＝eq\r(2)，SO＝eq\r(3)，所在SE＝eq\r(5)，即側(cè)面上的等腰三角形底邊上的高為eq\r(5).6．一個(gè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是4，高是6，過(guò)下底面的一條棱和該棱所對(duì)的上底面的頂點(diǎn)作截面，求此截面的面積．[解析]如圖所示，正三棱柱ABC－A′B′C′，符合題意的截面為△A′BC.在Rt△A′B′B中，A′B′＝4，BB′＝6，∴A′B＝eq\r(A′B′2＋BB′2)＝eq\r(42＋62)＝2eq\r(13).同理A′C＝2eq\r(13)，在等腰三角形A′BC中，O為BC的中點(diǎn)，BO＝eq\f(1,2)×4＝2，∵A′O⊥BC，∴A′O＝eq\r(A′B2－BO2)＝eq\r(2\r(13)2－22)＝4eq\r(3).∴S△A′BC＝eq\f(1,2)BC·A′O＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝8eq\r(3).∴此截面的面積為8eq\r(3).7．如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)方體的容器中，里面裝有少量水，現(xiàn)在將容器繞著其底部的一條棱傾斜，在傾斜的過(guò)程中．(1)水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對(duì)嗎？(2)水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_(tái)或棱錐，對(duì)嗎？(3)如果傾斜時(shí)，不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底部的一個(gè)頂點(diǎn)，上面的第(1)題和第(2)題對(duì)不對(duì)？[解析](1)不對(duì)；水面的形狀就是用一個(gè)與棱(傾斜時(shí)固定不動(dòng)的棱)平行的平面截長(zhǎng)方體時(shí)截面的形狀，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四邊形．(2)不對(duì)；水的形