高中數(shù)學(xué) 1.7.1 柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開與面積基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.7.1柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開與面積基礎(chǔ)鞏固北師大版必修2一、選擇題1．軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積與表面積的比是()A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶4[答案]B[解析]設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，依題意得l＝2r，而S側(cè)面積＝2πrl，S表面積＝2πr2＋2πrl，∴S側(cè)面積∶S表面積＝2πrl：(2πr2＋2πrl)＝2∶3，故選B.2．側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為a，則該三棱錐的表面積是()A．eq\f(3＋\r(3),4)a2 B．eq\f(3,4)a2C．eq\f(3＋3\r(3),2)a2 D．eq\f(6＋\r(3),4)a2[答案]A[解析]因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為a，則斜高為eq\f(a,2)，故S側(cè)＝3×eq\f(1,2)a×eq\f(a,2)＝eq\f(3,4)a2.而S底＝eq\f(\r(3),4)a2，故S表＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.3．一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長(zhǎng)為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．8[答案]C[解析]設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，上、下底面半徑分別為r，R，則l＝eq\f(1,2)(r＋R)，又32π＝π(r＋R)l＝2πl(wèi)2，∴l(xiāng)2＝16，∴l(xiāng)＝4.4．半徑為15cm，圓心角為216°的扇形圍成圓錐的側(cè)面，則圓錐的高是()A．14cm B．12cmC．10cm D．8cm[答案]B[解析]設(shè)圓錐的底面半徑為r，則eq\f(r,15)·360°＝216°解得r＝9，∴圓錐的高是h＝eq\r(152－92)＝12(cm)．5．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的表面積是()A．32 B．16＋16eq\r(2)C．48 D．16＋32eq\r(2)[答案]B[解析]本題主要考查三視圖的基本知識(shí)．利用面積公式．由三視圖知，四棱錐為正四棱錐，四個(gè)側(cè)面為四個(gè)全等的三角形，由圖知三角形的高h(yuǎn)＝2eq\r(2)，S′＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)×4＝16eq\r(2)，所以表面積為S′＋4×4＝16eq\r(2)＋16.6．(·安徽理，7)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為()A．21＋eq\r(3) B．18＋eq\r(3)C．21 D．18[答案]A[解析]本題考查三視圖還原為直觀圖，幾何體的表面積計(jì)算．如圖，還原直觀圖為邊長(zhǎng)為2的正方體截去兩個(gè)角，S表＝2×2×6－eq\f(1,2)×1×1×6＋eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×2＝21＋eq\r(3).正確畫出直觀圖是解題關(guān)鍵．二、填空題7．軸截面是正方形的圓柱，軸截面面積為S，則它的全面積是________．[答案]eq\f(3,2)πS[解析]設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為a，則a2＝S，所以a＝eq\r(S).設(shè)底面圓半徑為r，則2r＝a＝eq\r(S)，所以r＝eq\f(\r(S),2).所以圓柱的全面積為2·πr2＋2πr·a＝2π·(eq\f(\r(S),2))2＋2π·eq\f(\r(S),2)·eq\r(S)＝eq\f(3,2)πS.8．正四棱臺(tái)的上、下兩底面邊長(zhǎng)分別是方程x2－9x＋18＝0的兩根，其側(cè)面積等于兩底面積之和，則其側(cè)面梯形的高為________．[答案]eq\f(5,2)[解析]方程x2－9x＋18＝0的兩個(gè)根為x1＝3，x2＝6，設(shè)側(cè)面梯形的高為h，則由題意得eq\f(1,2)×(3＋6)·h×4＝32＋62，h＝eq\f(5,2).三、解答題9．一個(gè)直棱柱的底面為菱形，對(duì)角面面積分別為Q1、Q2，求直四棱柱的側(cè)面積．[解析]如圖所示，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為l，兩條底面對(duì)角線的長(zhǎng)分別為c，d，即BD＝c，AC＝d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c·l＝Q1，①,d·l＝Q2，②,\f(1,2)c2＋\f(1,2)d2＝a2.③))由①得c＝eq\f(Q1,l)，由②得d＝eq\f(Q2,l)，代入③，得(eq\f(Q1,2l))2＋(eq\f(Q2,2l))2＝a2，∴Qeq\o\al(2,1)＋Qeq\o\al(2,2)＝4l2a2，∴2la＝eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2)).∴S側(cè)＝4al＝2eq\r(Q\o\al(2,1)＋Q\o\al(2,2)).一、選擇題1．正六棱柱的高為5cm，最長(zhǎng)的對(duì)角線為13cm，則它的側(cè)面積為()A．180cm2 B．160cm2C．80cm2 D．60cm2[答案]A[解析]設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則底面上最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)2a，∴正六棱柱最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(52＋4a2)＝13，∴a＝6，S側(cè)＝6a×5＝180.2．如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]C[解析]如圖所示∵半圓弧長(zhǎng)為πl(wèi)，圓錐的底面圓周長(zhǎng)為2πr，∴πl(wèi)＝2πr，∴r＝eq\f(1,2)l，在Rt△PBO中，∠BPO＝30°，∴∠APB＝60°.二、填空題3．已知正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4cm，高與斜高夾角為30°，則斜高為________cm，側(cè)面積為________cm2，全面積為________cm2.[答案]43248[解析]如圖所示，正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴斜高h(yuǎn)′＝PE＝eq\f(OE,sin30°)＝eq\f(2,\f(1,2))＝4cm.∴S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′＝eq\f(1,2)×4×4×4＝32cm2，S正棱錐全＝42＋32＝48cm2.4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．[答案]38[解析]本題考查三視圖知識(shí)及表面積求法．根據(jù)三視圖還原后的幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去一個(gè)圓柱，此長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高為3、4、1，圓柱底面半徑為1，高為1，∴S＝2(3×4＋3×1＋4×1)－2π＋2π×1×1＝38.注意根據(jù)三視圖還原后的幾何體形狀．三、解答題5．如圖是一建筑物的三視圖，現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2千克，問(wèn)需要油漆多少千克？(尺寸如圖，單位：米，π取3.14，結(jié)果精確到0.01千克)[解析]建筑物為一組合體，上面是底面半徑為3米，母線長(zhǎng)為5米的圓錐，下面是底面邊長(zhǎng)為3米，高為4米的正四棱柱．圓錐的表面積＝πr2＋πrl≈3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36.四棱柱的一個(gè)底面積＝32＝9，四棱柱的側(cè)面積＝4×4×3＝48.所以外壁面積S≈75.36－9＋48＝114.36(平方米)．故需油漆114.36×0.2＝22.872≈22.88(千克)．答：共需約22.88千克油漆．6．一個(gè)直角梯形的兩底長(zhǎng)分別為2和5，高為4，將其繞較長(zhǎng)的底旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積．[解析]如圖所示，在梯形ABCD中，AD＝2，AB＝4，BC＝5.作DM⊥BC，垂足為M，則DM＝4，MC＝5－2＝3，在Rt△CMD中，由勾股定理得CD＝eq\r(32＋42)＝5.在旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體中，AB形成一個(gè)圓面，AD形成一個(gè)圓柱的側(cè)面，CD形成一個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)它們的面積分別為S1，S2，S3，則S1＝π×42＝16π，S2＝2π×4×2＝16π，S3＝π×4×5＝20π，故此旋轉(zhuǎn)體的表面積為S＝S1＋S2＋S3＝52π.7．如圖是某幾何體的三視圖，(1)你能想象出它的幾何結(jié)構(gòu)并畫出它的直觀圖嗎？(2)根據(jù)三視圖的有關(guān)數(shù)據(jù)(單位：mm)，計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積．[解析](1)由三視圖可知這個(gè)幾何體是由兩個(gè)圓柱夾一個(gè)圓臺(tái)組成的，其中下面圓柱底面直徑為60mm，母線長(zhǎng)40mm，中間圓臺(tái)上、下底直徑分別為40mm，60mm，高為20mm，上面圓柱的底面直徑為20mm，高為40mm，其直觀圖如圖所示．(2)由三視圖可知圓臺(tái)母線長(zhǎng)l＝eq\r(202＋102)＝10eq\r(5)(mm)．∴所求的表面積S＝S下圓柱下底＋S下圓柱側(cè)＋S圓臺(tái)側(cè)＋(S圓臺(tái)上底－S上圓柱下底)＋S上圓柱側(cè)＋S上圓柱上底＝π(eq\