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文檔簡介
【成才之路】-學年高中數(shù)學1.7.1柱、錐、臺的側面展開與面積基礎鞏固北師大版必修2一、選擇題1.軸截面為正方形的圓柱的側面積與表面積的比是()A.1∶2 B.2∶3C.1∶3 D.1∶4[答案]B[解析]設圓柱的底面半徑為r,母線長為l,依題意得l=2r,而S側面積=2πrl,S表面積=2πr2+2πrl,∴S側面積∶S表面積=2πrl:(2πr2+2πrl)=2∶3,故選B.2.側面都是直角三角形的正三棱錐,底面邊長為a,則該三棱錐的表面積是()A.eq\f(3+\r(3),4)a2 B.eq\f(3,4)a2C.eq\f(3+3\r(3),2)a2 D.eq\f(6+\r(3),4)a2[答案]A[解析]因為底面邊長為a,則斜高為eq\f(a,2),故S側=3×eq\f(1,2)a×eq\f(a,2)=eq\f(3,4)a2.而S底=eq\f(\r(3),4)a2,故S表=eq\f(3+\r(3),4)a2.3.一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半,且側面積是32π,則母線長為()A.2 B.2eq\r(2)C.4 D.8[答案]C[解析]設圓臺的母線長為l,上、下底面半徑分別為r,R,則l=eq\f(1,2)(r+R),又32π=π(r+R)l=2πl(wèi)2,∴l(xiāng)2=16,∴l(xiāng)=4.4.半徑為15cm,圓心角為216°的扇形圍成圓錐的側面,則圓錐的高是()A.14cm B.12cmC.10cm D.8cm[答案]B[解析]設圓錐的底面半徑為r,則eq\f(r,15)·360°=216°解得r=9,∴圓錐的高是h=eq\r(152-92)=12(cm).5.某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐的表面積是()A.32 B.16+16eq\r(2)C.48 D.16+32eq\r(2)[答案]B[解析]本題主要考查三視圖的基本知識.利用面積公式.由三視圖知,四棱錐為正四棱錐,四個側面為四個全等的三角形,由圖知三角形的高h=2eq\r(2),S′=eq\f(1,2)×4×2eq\r(2)×4=16eq\r(2),所以表面積為S′+4×4=16eq\r(2)+16.6.(·安徽理,7)一個多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為()A.21+eq\r(3) B.18+eq\r(3)C.21 D.18[答案]A[解析]本題考查三視圖還原為直觀圖,幾何體的表面積計算.如圖,還原直觀圖為邊長為2的正方體截去兩個角,S表=2×2×6-eq\f(1,2)×1×1×6+eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×2=21+eq\r(3).正確畫出直觀圖是解題關鍵.二、填空題7.軸截面是正方形的圓柱,軸截面面積為S,則它的全面積是________.[答案]eq\f(3,2)πS[解析]設圓柱的母線長為a,則a2=S,所以a=eq\r(S).設底面圓半徑為r,則2r=a=eq\r(S),所以r=eq\f(\r(S),2).所以圓柱的全面積為2·πr2+2πr·a=2π·(eq\f(\r(S),2))2+2π·eq\f(\r(S),2)·eq\r(S)=eq\f(3,2)πS.8.正四棱臺的上、下兩底面邊長分別是方程x2-9x+18=0的兩根,其側面積等于兩底面積之和,則其側面梯形的高為________.[答案]eq\f(5,2)[解析]方程x2-9x+18=0的兩個根為x1=3,x2=6,設側面梯形的高為h,則由題意得eq\f(1,2)×(3+6)·h×4=32+62,h=eq\f(5,2).三、解答題9.一個直棱柱的底面為菱形,對角面面積分別為Q1、Q2,求直四棱柱的側面積.[解析]如圖所示,設底面邊長為a,側棱長為l,兩條底面對角線的長分別為c,d,即BD=c,AC=d,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c·l=Q1,①,d·l=Q2,②,\f(1,2)c2+\f(1,2)d2=a2.③))由①得c=eq\f(Q1,l),由②得d=eq\f(Q2,l),代入③,得(eq\f(Q1,2l))2+(eq\f(Q2,2l))2=a2,∴Qeq\o\al(2,1)+Qeq\o\al(2,2)=4l2a2,∴2la=eq\r(Q\o\al(2,1)+Q\o\al(2,2)).∴S側=4al=2eq\r(Q\o\al(2,1)+Q\o\al(2,2)).一、選擇題1.正六棱柱的高為5cm,最長的對角線為13cm,則它的側面積為()A.180cm2 B.160cm2C.80cm2 D.60cm2[答案]A[解析]設正六棱柱的底面邊長為a,則底面上最長對角線長2a,∴正六棱柱最長對角線長為eq\r(52+4a2)=13,∴a=6,S側=6a×5=180.2.如果圓錐的側面展開圖是半圓,那么這個圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是()A.30° B.45°C.60° D.90°[答案]C[解析]如圖所示∵半圓弧長為πl(wèi),圓錐的底面圓周長為2πr,∴πl(wèi)=2πr,∴r=eq\f(1,2)l,在Rt△PBO中,∠BPO=30°,∴∠APB=60°.二、填空題3.已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm,高與斜高夾角為30°,則斜高為________cm,側面積為________cm2,全面積為________cm2.[答案]43248[解析]如圖所示,正四棱錐的高PO,斜高PE,底面邊心距OE組成直角△POE.∵OE=2cm,∠OPE=30°,∴斜高h′=PE=eq\f(OE,sin30°)=eq\f(2,\f(1,2))=4cm.∴S正棱錐側=eq\f(1,2)ch′=eq\f(1,2)×4×4×4=32cm2,S正棱錐全=42+32=48cm2.4.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為________.[答案]38[解析]本題考查三視圖知識及表面積求法.根據(jù)三視圖還原后的幾何體為一個長方體中挖去一個圓柱,此長方體長、寬、高為3、4、1,圓柱底面半徑為1,高為1,∴S=2(3×4+3×1+4×1)-2π+2π×1×1=38.注意根據(jù)三視圖還原后的幾何體形狀.三、解答題5.如圖是一建筑物的三視圖,現(xiàn)需將其外壁用油漆刷一遍,已知每平方米用漆0.2千克,問需要油漆多少千克?(尺寸如圖,單位:米,π取3.14,結果精確到0.01千克)[解析]建筑物為一組合體,上面是底面半徑為3米,母線長為5米的圓錐,下面是底面邊長為3米,高為4米的正四棱柱.圓錐的表面積=πr2+πrl≈3.14×32+3.14×3×5=28.26+47.1=75.36.四棱柱的一個底面積=32=9,四棱柱的側面積=4×4×3=48.所以外壁面積S≈75.36-9+48=114.36(平方米).故需油漆114.36×0.2=22.872≈22.88(千克).答:共需約22.88千克油漆.6.一個直角梯形的兩底長分別為2和5,高為4,將其繞較長的底旋轉一周,求所得旋轉體的表面積.[解析]如圖所示,在梯形ABCD中,AD=2,AB=4,BC=5.作DM⊥BC,垂足為M,則DM=4,MC=5-2=3,在Rt△CMD中,由勾股定理得CD=eq\r(32+42)=5.在旋轉生成的旋轉體中,AB形成一個圓面,AD形成一個圓柱的側面,CD形成一個圓錐的側面,設它們的面積分別為S1,S2,S3,則S1=π×42=16π,S2=2π×4×2=16π,S3=π×4×5=20π,故此旋轉體的表面積為S=S1+S2+S3=52π.7.如圖是某幾何體的三視圖,(1)你能想象出它的幾何結構并畫出它的直觀圖嗎?(2)根據(jù)三視圖的有關數(shù)據(jù)(單位:mm),計算這個幾何體的表面積.[解析](1)由三視圖可知這個幾何體是由兩個圓柱夾一個圓臺組成的,其中下面圓柱底面直徑為60mm,母線長40mm,中間圓臺上、下底直徑分別為40mm,60mm,高為20mm,上面圓柱的底面直徑為20mm,高為40mm,其直觀圖如圖所示.(2)由三視圖可知圓臺母線長l=eq\r(202+102)=10eq\r(5)(mm).∴所求的表面積S=S下圓柱下底+S下圓柱側+S圓臺側+(S圓臺上底-S上圓柱下底)+S上圓柱側+S上圓柱上底=π(eq\
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