考研數(shù)學(xué)二分類模擬209

考研數(shù)學(xué)二分類模擬209一、選擇題1.

微分方程xdy+2ydx=0滿足初始條件y|x=2=1的特解為______A.xy2=4B.xy=4C.x2y=4D.-xy=4正確答案：C[解析]（江南博哥）原微分方程分離變量得兩端積分得

ln|y|=-2ln|x|+lnC，x2y=C，

將y|x=2=1代入得C=4，故所求特解為x2y=4。故選C。

2.

設(shè)曲線y=y(x)滿足xdy+(x-2y)dx=0，且y=y(x)與直線x=1及x軸所圍的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最小，則y(x)=______

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]原方程可化為其通解為

曲線y=x+Cx2與直線x=1及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

故是唯一的極值點(diǎn)，則為最小值點(diǎn)，所以故選C。

3.

已知y1(x)和y2(x)是方程y'+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則方程的通解為______A.y=Cy1(x)B.y=Cy2(x)C.y=C1y1(x)+C2y2(x)D.y=C[y1(x)-y2(x)]正確答案：D[解析]由于y1(x)和y2(x)是方程y'+p(x)y=0的兩個(gè)不同的特解，則y1(x)-y2(x)為該方程的一個(gè)非零解，則y=C[y1(x)-y2(x)]為該方程的解。故選D。

4.

設(shè)y1，y2是一階線性非齊次微分方程y'+p(x)y=q(x)的兩個(gè)特解，若常數(shù)λ，μ使λy1+μy2是該方程的解，λy1-μy2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則______

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]由已知條件可得

由λy1+μy2仍是該方程的解，得(λy'1+μy'2)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，則λ+μ=1。由λy1-μy2是所對(duì)應(yīng)齊次方程的解，得(λy'1-μy'2)+p(x)(λy1-μy2)=(λ-μ)q(x)，則λ-μ=0。

綜上所述故選A。

如果y1和y2是二階非齊次線性微分方程的解，則y1+y2也是該二階非齊次線性微分方程的解，且y1-y2是該微分方程所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解，一般經(jīng)常用這個(gè)原理求待定未知數(shù)滿足的關(guān)系式。

5.

設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)y1，y2，y3都是二階非齊次線性方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該非齊次方程的通解是______A.C1y1+C2y2+y3B.C1y1+C2y2-(C1+C2)y3C.C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3D.C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3正確答案：D[解析]因?yàn)閥1，y2，y3是二階非齊次線性方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的線性無(wú)關(guān)的解，所以(y1-y3)，(y2-y3)都是齊次線性方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的解，且(y1-y3)與(y2-y3)線性無(wú)關(guān)，因此該齊次線性方程的通解為y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)。比較四個(gè)選項(xiàng)，且由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，故選D。

6.

已知，y1=x，y2=x2，y3=ex為方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三個(gè)特解，則該方程的通解為______A.y=C1x+C2x2+exB.y=C1x2+C2ex+xC.y=C1(x-x2)+C2(x-ex)+xD.y=C1(x-x2)+C2(x2-ex)正確答案：C[解析]方程y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)是一個(gè)二階非齊次線性方程，則(x-x2)和(x-ex)為其對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則原方程通解為y=C1(x-x2)+C2(x-ex)+x。故選C。

二、填空題1.

微分方程的通解是______。正確答案：y=Cxe-x(x≠0)[解析]原方程等價(jià)為

兩邊積分得

ln|y|=ln|x|-x+C。

取C=eC1，整理得

y=Cxe-x(x≠0)。

可分離變量方程的基本特點(diǎn)是可分離，即方程中的x，y(包含dx和dy)是能夠完全被分開的。求解的基本方法是先分離變量，將方程湊成f(x)dx=g(y)dy，再兩邊同時(shí)積分求出微分方程的解。

2.

微分方程的通解為______。正確答案：y=xeCx+1[解析]令y=xu，代入原方程，則有xu'+u=ulnu，即

兩邊求積分，即得

ln|lnu-1|=ln|x|+C，

去掉對(duì)數(shù)符號(hào)與絕對(duì)值符號(hào)得y=xeCx+1。

3.

微分方程y'=1+x+y2+xy2的通解為______。正確答案：[解析]將已知微分方程變形整理得，

則有

兩邊積分可得

因此

4.

微分方程xy'+y=0滿足初始條件y(1)=2的特解為______。正確答案：[解析]原方程可化為(xy)'=0，積分得xy=C，代入初始條件得C=2，故所求特解為xy=2，即

5.

微分方程3extanydx+(1-ex)sec2ydy=0的通解是______。正確答案：tany=C(ex-1)3[解析]方程兩邊同乘以分離變量為

即得

積分得

ln|tany|=3ln|ex-1|+C。

所以方程有通解為

tany=C(ex-1)3。

6.

微分方程滿足初始條件y(1)=1的特解是y=______。正確答案：xe1-x[解析]此方程為一階齊次微分方程，令y=ux，則有所以原方程可化為

解此微分方程得

ln|lnu-1|=ln|C1x|，

去絕對(duì)值可得

lnu=C1x+1，u=eC1x+1，

將u|x=1=1代入，得C1=-1，u=e1-x，因此原方程的解為y=xe1-x。

7.

微分方程y'+ytanx=cosx的通解y=______。正確答案：(x+C)cosx[解析]直接利用一階線性微分方程的通解公式可知

8.

微分方程滿足y|x=1=1的特解為______。正確答案：[解析]令則原方程變?yōu)榉蛛x變量得

兩邊積分得

即將y|x=1=1代入上式得C=e。

故滿足條件的方程的特解為

9.

微分方程xy'+2y=sinx滿足條件的特解為______。正確答案：[解析]將已知方程變形整理得

根據(jù)通解公式得

10.

微分方程y'+y=e-xcosx滿足條件y(0)=0的特解為______。正確答案：y=e-xsinx[解析]原方程的通解為

由y(0)=0得C=0，故所求解為y=e-xsinx。

11.

微分方程xy'+2y=xlnx滿足的特解為______。正確答案：[解析]原方程可等價(jià)為

于是通解為

由y(1)=解得C=0。

故所求特解為

12.

微分方程(y+x2e-x)dx-xdy=0的通解是y=______。正確答案：x(-e-x+C)[解析]微分方程

(y+x2e-x)dx-xdy=0，

可變形為

所以其通解為

13.

微分方程(y+x3)dx-2xdy=0滿足的特解為______。正確答案：[解析]方法一：常數(shù)變易法。原方程變形為

先求齊次方程的通解，則兩端積分得

設(shè)為非齊次方程的通解，代入方程得

從而積分得

于是非齊次方程的通解為

由得C=1，故所求通解為

方法二：公式法。原方程變形為由一階線性微分方程通解公式得

由得C=1，因此所求的解為

一階線性微分方程的通解公式其實(shí)也是由常數(shù)變易法推導(dǎo)出來(lái)的，因此能用常數(shù)變易法求解的一階微分方程一般都可以用通解公式求解，因此考生需要牢記通解公式，以便于快速解題。

三、解答題1.

求微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0滿足y(0)=1的解。正確答案：解：整理微分方程(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0，得

先解對(duì)應(yīng)的齊次方程解得ln|y|=-ln|x2-1|+C，即有

將上式代入原微分方程得到故

C(x)=sinx+C，

則原微分方程的解為

又因?yàn)閥(0)=1，代入上式得到C=-1，則原微分方程的解為

2.

求微分方程y"=3y'+2y=2xex的通解。正確答案：解：齊次方程y"-3y'+2y=0的特征方程為λ2-3λ+2=0，由此得λ1=2，λ2=1。

即對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

Y=C1e2x+C2ex。

設(shè)非齊次方程的特解為

y*=(ax+b)xex，

則有

(y*)'=[ax2+(2a+b)x+b]ex，

(y*)"=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex，

代入原方程得a=-1，b=-2，因此所求通解為y=C1e2x+C2e-x(x+2)ex。

3.

求微分方程y"-a(y')2=0(a＞0)滿足初始條件y|x=0=0，y'|x=0=-1的特解。正確答案：解：令y'=p，則代入原方程得

分離變量并積分由x=0，y=0，y'=p=-1，得C1=1，即

故有

由x=0，y=0，得C2=0，所以

[解析]可降階的二階微分方程有兩類：y"=f(x，y')型及y"=f(y，y')型，即方程中只要缺少變量x或y中的任何一個(gè)都屬于可降階的二階微分方程。兩類方程求解的基本方法都是作變量代換p=y'，前一種方程中，直接將y"寫成p'，則可以將微分方程化為p'=f(x，p)；在后一種方程中，由于方程中沒有變量x，只有變量y，此時(shí)應(yīng)該將y"寫成，將方程化為

4.

已知函數(shù)f(x)滿足方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2ex。

(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)求曲線的拐點(diǎn)。正確答案：解：(Ⅰ)齊次微分方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0的特征方程為λ2+λ-2=0，特征根為λ1=1，λ2=-2，因此該齊次微分方程的通解為f(x)=C1ex+C2e-2x。

再由

f"(x)+f(x)=2ex

得

2C1ex-3C2e-2x=2ex，

因此

C1=1，C2=0。

所以f(x)的表達(dá)式為f(x)=ex。

(Ⅱ)曲線方程為則

令y"=0，得x=0。

下面證明x=0是y"=0唯一的解，當(dāng)x＞0時(shí)，

可知y"＞0；

當(dāng)x＜0時(shí)，

可知y"＜0。因此x=0是y"=0唯一的解。

同時(shí)，由上述討論可知曲線

在x=0左、右兩邊的凹凸性相反，因此(0，0)點(diǎn)是曲線唯一的拐點(diǎn)。

5.

求初值問(wèn)題的解。正確答案：解：將原方程化簡(jiǎn)

令代入上式，得

化簡(jiǎn)并移項(xiàng)，得

由積分公式得其中C是常數(shù)，因?yàn)閤＞0，所以C＞0，去掉對(duì)數(shù)，得即

把y|x=1=0代入并化簡(jiǎn)，得

[解析]齊次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為，求解的基本思路是作變量代換，借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得，這樣就將原方程化為了可分離變量的微分方程。上述公式不必記憶，掌握處理方式即可。

6.

設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上可導(dǎo)，f(0)=1，且滿足等式

(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)f'(x)；

(Ⅱ)證明當(dāng)x≥0時(shí)，不等式e-x≤f(x)≤1成立。正確答案：解：(Ⅰ)由題設(shè)知

上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

(x+1)f"(x)=-(x+2)f'(x)，

即有

兩邊積分，得

ln|f'(x)|=-x-ln(x+1)+C1，

所以

在題設(shè)等式中令x=0，得f'(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f'(0)=-1，代入f'(x)的表達(dá)式，得C=-1，故有

(Ⅱ)方法一：由(Ⅰ)中結(jié)果知，當(dāng)x≥0時(shí)，f'(x)＜0，即f(x)單調(diào)減少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。

設(shè)φ(x)=f(x)-e-x，則

當(dāng)x≥0時(shí)，φ'(x)≥0，即φ(x)單調(diào)增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有

f(x)≥e-x。

綜上所述，當(dāng)x≥0時(shí)，不等式e-x≤f(x)≤1成立。

方法二：因?yàn)?/p>

將f'(x)代入，得

當(dāng)x≥0時(shí)，所以e-x≤f(x)≤1。

7.

設(shè)f(t)連續(xù)并滿足求f(t)。正確答案：解：已知f(t)連續(xù)，因此可導(dǎo)，從而f(t)可導(dǎo)，于是

所以

利用公式

由f(0)=1得C=e。因此，

f(t)=e1-cost+4(cost-1)。

8.

用變量代換x=cost(0＜t＜π)化簡(jiǎn)微分方程(1-x2)y"-xy'+y=0，并求其滿足y|x=0=1，y'|x=0=2的特解。正確答案：解：

代入原方程，得

解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+將y|x=0=1，y'|x=0=2代入，得C1=2，C2=1。

故滿足條件的特解為

9.

利用代換將方程y"cosx-2y'sinx+3ycosx=ex化簡(jiǎn)，并求出原方程的通解。正確答案：解：方法一：由得

y'=u'secx+usecxtanx，

y"=u"secx+2u'secxtanx+u(secxtan2x+sec3x)，

代入原方程y"cosx-2y'sinx+3ycosx=ex，得

u"+4u=ex。

(*)

先求其相應(yīng)齊次方程的通解。由于其特征方程為λ2+4=0，則特征方程的根為λ=±2i。所以通解為=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2為任意常數(shù))。

再求非齊次方程的特解。設(shè)其特解為u*(x)=Aex，代入(*)式，得

(Aex)"+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，

解得

故(*)的通解為

所以，原微分方程的通解為

方法二：由得u=ycosx，于是

u'=y'cosx-ysinx，

u"=y"cosx-2y'sinx-ycosx，

原方程化為u"+4u=ex(以下與方法一相同)。

10.

設(shè)函數(shù)y=y(x)在(-∞，+∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù)。

(Ⅰ)將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；

(Ⅱ)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0，的特解。正確答案：解：(Ⅰ)由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知于是有

代入原微分方程得

y"-y=sinx。

(*)

(Ⅱ)方程(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程y"-y=0的通解為

Y=C1ex+C2e-x。

設(shè)方程(*)的特解為

y*=Acosx+Bsinx，

代入方程(*)，求得A=0，因此y"-y=sinx的通解是

由y(0)=0，得C1=1，C2=-1。故所求初值問(wèn)題的特解為

11.

設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f'u(u，v)+f'v(u，v)=sin(u+v)eu+v求y(x)=e-2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。正確答案：解：由y(x)=e-2xf(x，x)，有

y'(x)=-2e-2xf(x，x)+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]，

由f'u(u，v)+f'v(u，v)=sin(u+v)eu+v可得

f'1(x，x)+f'2(x，x)=(sin2x)e2x。

于是y(x)滿足一階線性微分方程

y'(x)+2y(x)=sin2x，

通解為

由分部積分公式，可得

所以

12.

設(shè)f(u，v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足f'u(u，v)+f'v(u，v)=uv。求y(x)=e-2xf(x，x)所滿足的一階微分方程，并求其通解。正確答案：解：方法一：由y(x)=e-2xf(x，x)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)有

y'=-2e-2xf(x，x)+e-2xf'1(x，x)+e-2xf'2(x，x)

=-2e-2xf(x，x)+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]

=-2y+e-2x[f'1(x，x)+f'2(x，x)]。

已知f'u(u，v)+f'v(u，