6.4.1直線與平面平行課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第六章立體幾何初步4.1直線與平面平行北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解直線與平面平行的性質(zhì)定理的含義,并能用圖形語言、文字語言、符號語言進行描述.2.理解直線與平面平行的判定定理的含義,并能用圖形語言、文字語言、符號語言進行描述.3.能運用直線與平面平行的性質(zhì)定理和判定定理證明一些空間中相關(guān)的平行問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點一

直線與平面平行的性質(zhì)定理

文字語言一條直線與一個平面

,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與

符號語言l∥α

?l∥a

概括為:“由線面平行得出線線平行”圖形語言

平行

交線平行

l?β,α∩β=a名師點睛正確理解線面平行的性質(zhì)定理(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理中有三個條件:①直線l和平面α平行,即l∥α;②平面α,β相交,即α∩β=a;③直線l在平面β內(nèi),即l?β.這三個條件缺一不可.(2)線面平行的性質(zhì)定理可以作為證明線線平行的一種方法.(3)在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理時,往往會出現(xiàn)這樣的易錯點:“a∥β,b?β,所以a∥b”,所以在應(yīng)用時要謹(jǐn)慎.(4)線面平行的判定定理與性質(zhì)定理常常交替使用.先通過線線平行找出線面平行,再通過線面平行推出線線平行.其關(guān)系可用以下關(guān)系鏈表示:過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若直線a與平面α不平行,則a與α相交.(

)(2)若直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,則a∥b.(

)(3)若直線l不平行于平面α,則直線l就不平行于平面α內(nèi)的任意一條直線.(

)2.[人教A版教材習(xí)題]若直線a不平行于平面α,則下列結(jié)論成立的是(

)A.α內(nèi)的所有直線都與a異面B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)的直線都與a相交D.直線a與平面α有公共點×××D知識點二

直線與平面平行的判定定理

文字語言如果平面外一條直線與

,那么該直線與此平面平行

符號語言圖形語言

此平面內(nèi)的一條直線平行

名師點睛1.線面平行的判定定理的條件可概括為“面外一條直線,面內(nèi)一條直線,兩直線平行”.該定理的作用是判定或證明直線與平面平行.2.線面平行的判定定理要注意和線面平行的定義區(qū)分,定義是從有無公共點的角度描述的,而判定定理是借助線線平行刻畫線面平行,將原問題進行了降維處理,兩者都能進行線面平行的證明,但大多條件下用判定定理進行線面平行的證明.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α.(

)(2)若直線a在平面α外,則a∥α.(

)(3)若直線a∥b,b?α,則a∥α.(

)(4)若直線a∥b,b?α,那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線.(

)2.[人教A版教材習(xí)題]如果直線a∥平面α,P∈α,那么過點P且平行于直線a的直線(

)A.只有一條,不在平面α內(nèi) B.有無數(shù)條,不一定在α內(nèi)C.只有一條,且在平面α內(nèi)

D.有無數(shù)條,一定在α內(nèi)×××√C重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一對兩個定理的理解角度1.對線面平行性質(zhì)定理的理解【例1】

下列說法正確的是(

)①一條直線如果和一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行;②一條直線和一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的任何直線無公共點;③過直線外一點,有且僅有一個平面和已知直線平行;④如果直線l和平面α平行,那么過平面α內(nèi)一點和直線l平行的直線在α內(nèi).A.①②③④ B.①②③

C.②④

D.①②④D解析

由線面平行的性質(zhì)定理知①④正確;由直線與平面平行的定義知②正確;經(jīng)過直線外一點可作一直線與已知直線平行,故可作無數(shù)個平面與已知直線平行,故③錯誤.故選D.規(guī)律方法

1.一條直線和一個平面平行,它和平面內(nèi)無數(shù)條直線平行,這無數(shù)條直線相互平行.2.一條直線和一個平面平行,則它和平面內(nèi)的直線平行或異面.3.過直線外一點有無數(shù)個平面與已知直線平行,這些平面的交線與已知直線平行.4.過平面外一點有無數(shù)條直線與已知平面平行,這些直線共面,且和已知平面平行.變式訓(xùn)練1若直線a∥平面α,a?β,α∩β=b,b∥平面γ,γ∩α=c,則a與c的位置關(guān)系是

.

a∥c角度2.對線面平行判定定理的理解【例2】

已知直線b,平面α,有以下條件:①b與α內(nèi)一條直線平行;②b與α內(nèi)所有直線都沒有公共點;③b與α無公共點;④b不在α內(nèi),且與α內(nèi)的一條直線平行.其中能推出b∥α的條件有

.(把你認(rèn)為正確的序號都填上)

②③④

解析

①中b可能在α內(nèi),不符合;②和③是直線與平面平行的定義,④是直線與平面平行的判定定理,都能推出b∥α.規(guī)律方法

解決此類問題要注意:(1)把握住判定定理.(2)借助于常見幾何體(如正方體)進行分析.變式訓(xùn)練2點E,F,G,H分別是四面體A-BCD的棱AB,BC,CD,DA的中點,則這個四面體的六條棱中,與平面EFGH平行的條數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.3C解析

如圖所示,四面體的棱中與平面EFGH平行的直線有AC與BD.探究點二直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用【例3】

如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.證明

因為AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由線面平行的性質(zhì)定理,知AB∥MN.同理,AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理,可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.變式探究若本例中添加條件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四邊形MNPQ的面積.解

由例3知,四邊形MNPQ是平行四邊形,因為AB⊥CD,所以PQ⊥QM,所以四邊形MNPQ是矩形.因為BP∶PD=1∶1,所以PQ=5,QM=4,所以四邊形MNPQ的面積為5×4=20.規(guī)律方法

1.利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟

2.運用線面平行的性質(zhì)定理時,應(yīng)先確定線面平行,再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線,然后確定線線平行.探究點三直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用【例4】

(1)如果兩直線a∥b,且a∥α,則b與α的位置關(guān)系是(

)A.相交

B.b∥α C.b?α

D.b∥α或b?αD解析

由a∥b,且a∥α,知b∥α或b?α.(2)如圖所示,已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,F為棱AA1的中點,M為線段BD1的中點,求證:MF∥平面ABCD.證明

(方法一)連接AC,BD交于點O,再連接OM,如圖所示,則OM∥D1D,且OM=D1D.因為AF=A1A,AA1∥DD1,且AA1=DD1,所以O(shè)M∥AF,且OM=AF,所以四邊形MOAF是平行四邊形,所以MF∥OA.又OA?平面ABCD,MF?平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.(方法二)如圖所示,連接D1F并延長交DA的延長線于點E,連接BE,在△D1DE中,因為AF∥DD1,且AF=DD1,所以F是D1E的中點,所以FM是△BED1的中位線,所以FM∥BE.因為BE?平面ABCD,MF?平面ABCD,所以MF∥平面ABCD.規(guī)律方法

1.證明線面平行的關(guān)鍵是證明線線平行,通常利用平行四邊形、中位線、平行公理等來證明,輔助線要根據(jù)題中所給點的位置關(guān)系來確定.2.直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用步驟:其中,在平面α內(nèi)的直線是關(guān)鍵,它要么是已經(jīng)存在,需要被發(fā)現(xiàn)或找到,要么是在圖形中還未出現(xiàn),需要作出.變式訓(xùn)練3如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是平行四邊形,E,F分別是AB,PC中點,求證:EF∥平面PAD.證明

取PD的中點G,連接FG,AG.因為PF=CF,PG=DG,所以FG∥CD,且FG=CD.又因為四邊形ABCD是平行四邊形,且E是AB的中點.所以AE∥CD,且AE=CD.所以FG∥AE,且FG=AE,所以四邊形EFGA是平行四邊形,所以EF∥AG.又因為EF?平面PAD,AG?平面PAD,所以EF∥平面PAD.探究點四線面平行性質(zhì)定理與判定定理的綜合應(yīng)用【例5】

求證:如果一條直線和兩個相交平面都平行,那么該直線與相交平面的交線平行.解

已知:a,l是直線,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求證:a∥l.證明:如圖,在平面α內(nèi)任取一點A,且使A?l.因為a∥α,所以A?a.故點A和直線a確定一個平面γ,設(shè)γ∩α=m.同理,在平面β內(nèi)任取一點B,且使B?l,則點B和直線a確定平面δ,設(shè)δ∩β=n.因為a∥α,a?γ,γ∩α=m,所以a∥m.同理a∥n,則m∥n.又m?β,n?β,所以m∥β.因為m?α,α∩β=l,所以m∥l.又a∥m,所以a∥l.變式探究若本例中條件改為“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,試判斷直線l,m,n的位置關(guān)系,并說明你的理由.解

三條直線l,m,n相互平行,證明如下.如圖,因為l∥m,m?γ,l?γ,所以l∥γ.又l?α,α∩γ=n,所以l∥n.又l∥m,所以m∥n,即直線l,m,n相互平行.規(guī)律方法

利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理,可以完成線線平行與線面平行的相互轉(zhuǎn)化.轉(zhuǎn)化思想是一種重要數(shù)學(xué)思想.該轉(zhuǎn)化過程可概括為:本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理;(2)直線與平面平行的判定定理.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):證明線面平行時,漏寫線在面外(內(nèi)).成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測12341.平面α與△ABC的兩邊AB,AC分別交于點D,E,且AD∶DB=AE∶EC,如圖所示,則BC與α的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.相交C.BC?α

D.以上均不正確A解析

在△ABC中,因為AD∶DB=AE∶EC,所以BC∥DE.因為BC?α,DE?α,所以BC∥α.12342.如圖所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,E,F分別為四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'的中心,則正方體的六個面中與EF平行的平面有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個D解析

正方體的前、后、左、右四個面都與EF平行.12343.如圖所示,四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC與平面α分別交于點M,N,且點M是AD的中點,AB=4,CD=6,則MN=

.

5解析

因為AB∥平面α