10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運算課件高中數(shù)學(xué)人教B版

第十章復(fù)數(shù)*10.3復(fù)數(shù)的三角形式及其運算人教B版

數(shù)學(xué)

必修第四冊課標(biāo)要求1.理解復(fù)數(shù)的模和輻角的定義.2.能求復(fù)數(shù)的模和輻角主值.3.能求出復(fù)數(shù)的三角形式.4.能進行復(fù)數(shù)三角形式的乘除運算.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1復(fù)數(shù)的三角形式一般地,如果非零復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z(a,b),且r為向量

的模,θ是以x軸非負(fù)半軸為始邊、射線OZ為終邊的一個角,則r=|z|=

,由圖可以看出,a=rcosθ,b=rsinθ,從而z=a+bi=(rcosθ)+(rsinθ)I=r(cosθ+isinθ),上式的右邊稱為非零復(fù)數(shù)z=a+bi的

(對應(yīng)地,a+bi稱為復(fù)數(shù)的

,其中的θ稱為z的

.

顯然,任何一個非零復(fù)數(shù)z的輻角都有無窮多個,而且任意兩個輻角之間都相差2π的整數(shù)倍.特別地,在[0,2π)內(nèi)的輻角稱為z的

,記作argz.

三角形式

代數(shù)形式輻角輻角主值過關(guān)自診

BCDD知識點2復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化1.復(fù)數(shù)的三角形式z=r(cosθ+isinθ)化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),只要計算出三角函數(shù)值(應(yīng)用a=rcosθ,b=rsinθ)即可.2.非零復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R)化為復(fù)數(shù)的三角形式一般步驟:(3)寫出復(fù)數(shù)的三角形式.3.每一個不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角主值,并且由它的模與輻角主值唯一確定.因此,兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角主值分別相等,即名師點睛復(fù)數(shù)三角形式的判斷依據(jù)和變形步驟(1)依據(jù):三角形式的結(jié)構(gòu)特征“模非負(fù),角相同,余弦前,加號連”.(2)步驟:首先確定復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點所在象限,其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱,最后確定輻角.可簡記為“定點→定名→定角”.過關(guān)自診[人教A版教材習(xí)題]將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式:(1)6;(2)1+i;解(1)6=6(cos

0+isin

0).知識點3復(fù)數(shù)三角形式的乘法及運算律1.復(fù)數(shù)三角形式的乘法若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=

.這就是說,由兩個復(fù)數(shù)z1,z2的三角形式可以便捷地得到z1z2的三角形式:z1的模乘以z2的模等于z1z2的模,z1的輻角與z2的輻角之和是z1z2的輻角.簡單地說,兩個復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為:模相乘,輻角相加.r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]2.復(fù)數(shù)乘法運算的幾何意義

3.復(fù)數(shù)的三角形式乘法法則的推論(1)有限個復(fù)數(shù)的三角形式相乘,結(jié)論亦成立,即z1z2…zn=r1(cosθ1+isinθ1)×r2(cosθ2+isinθ2)×…×rn(cosθn+isinθn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)當(dāng)z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ時,zn=[r(cosθ+isinθ)]n=

(n∈N).這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則,即模乘方,輻角n倍.

(3)在復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則中,當(dāng)r=1時,則有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(n∈N).這個公式稱為棣莫弗公式.rn[cos(nθ)+isin(nθ)]過關(guān)自診1.[2023江蘇秦淮校級期中]已知復(fù)數(shù)D知識點4復(fù)數(shù)三角形式的除法及運算律1.復(fù)數(shù)三角形式的除法運算若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)(z2≠0),2.復(fù)數(shù)除法運算的幾何意義

過關(guān)自診計算下列各式:(2)原式=9(cos

360°+isin

360°)=9(1+0)=9.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一復(fù)數(shù)的模與輻角【例1】

(1)若復(fù)數(shù)z滿足

=1,當(dāng)復(fù)數(shù)z的輻角為30°時,復(fù)數(shù)z的模是(

)A.1 B.2

C.3

D.4ABB探究點二復(fù)數(shù)的三角形式與代數(shù)形式的互化【例2】

[人教A版教材例題]把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式:(2)1-i.變式訓(xùn)練2將下列復(fù)數(shù)化為三角形式:(2)sinθ+icosθ.探究點三復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算及其幾何意義BBC成果驗收·課堂達標(biāo)檢測123456789101112131415161718192021A級必備知識基礎(chǔ)練C123456789101112131415161718192021C故選C.123456789101112131415161718192021A1234567891011121314151617181920214.[探究點三]（多選題）2÷[2(cos60°+isin60°)]=(

)

BC1234567891011121314151617181920215.[探究點三]9(cos3π+isin3π)÷[3(cos2π+isin2π)]=(

)

B解析

9(cos

3π+isin

3π)÷[3(cos

2π+isin

2π)]=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]=3(cos

π+isin

π)=-3.故選B.1234567891011121314151617181920216.[探究點三]復(fù)數(shù)z=(sin25°+icos25°)3的三角形式是(

)A.cos195°+isin195° B.sin75°+icos75°C.cos15°+isin15° D.cos75°+isin75°A解析

z=(sin

25°+icos

25°)3=(cos

65°+isin

65°)3=cos

195°+isin

195°.故選A.1234567891011121314151617181920217.[探究點二、三]復(fù)數(shù)z=(cos40°+isin40°)6的結(jié)果是(

)

D123456789101112131415161718192021=2(cos

15°+isin

15°)×5(cos

30°+isin

30°)=10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)]=10(cos

45°+isin

45°)12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202110.[探究點二、三]2(cos210°+isin210°)×5(-sin30°+isin60°)

=

.

解析

2(cos

210°+isin

210°)×5(-sin

30°+isin

60°)=10(cos

210°+isin

210°)×(cos

120°+isin

120°)=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]=10(cos

330°+isin

330°)12345678910111213141516171819202111.[探究點三]在復(fù)平面內(nèi),把與復(fù)數(shù)-2+2i對應(yīng)的向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)75°,求與所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).123456789101112131415161718192021B級關(guān)鍵能力提升練12.復(fù)數(shù)2+i和-3-i的輻角主值分別是α,β,則tan(α+β)等于(

)

D解析

復(fù)數(shù)2+i和-3-i的輻角主值分別是α,β,12345678910111213141516171819202113.[2023江西南昌校級期中]復(fù)數(shù)(sin10°+icos10°)×(sin10°+icos10°)的三角形式是(

)A.sin30°+icos30° B.cos160°+isin160°C.cos30°+isin30° D.sin160°+icos160°B解析

(sin

10°+icos

10°)×(sin

10°+icos

10°)=sin210°-cos210°+2sin

10°cos

10°i=-cos

20°+sin

20°I=cos

160°+isin

160°.故選B.123456789101112131415161718192021A123456789101112131415161718192021D123456789101112131415161718192021A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限D(zhuǎn)12345678910111213141516171819202117.6÷[3(cos135°+isin135°)]=

.

解析

6÷3[(cos

135°+isin

135°)]=6(cos

0°+isin

0°)÷[3(cos

135°+isin

135°)]=2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)]=4[cos(-135°)+isin(-135°)]12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202119.復(fù)數(shù)z=16(cos40°+isin40°)的四次方根分別是____________________________________________

.

2(cos

10°+i