習(xí)題課三角恒等變換的綜合應(yīng)用課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

第四章三角恒等變換習(xí)題課三角恒等變換的綜合應(yīng)用北師大版

數(shù)學(xué)

必修第二冊課程標(biāo)準(zhǔn)1.熟記常用的三角恒等變換公式.2.能利用三角恒等變換公式進(jìn)行求值、化簡或證明.3.能利用三角恒等變換公式對復(fù)雜函數(shù)加以轉(zhuǎn)化,進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì).基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點一

兩角的和與差的正弦、余弦、正切公式1.cos(α±β)=

.

2.sin(α±β)=

.

3.tan(α±β)=

.

cosαcosβ?sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβ過關(guān)自診2.三角恒等變換的核心是什么?提示

角的變換是三角變換的核心.知識點二

二倍角公式1.sin2α=

.

2.cos2α=

=

=1-2sin2α.

3.tan2α=

.

名師點睛在正切的和差及倍角公式中,一定要注意角的范圍,正切無意義的角是不能套用公式的.2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-1過關(guān)自診

A2.已知tanα=,則sin2α

的值為(

)B知識點三

半角公式

名師點睛在半角公式中,公式中的“正負(fù)號”由半角所在象限來確定,當(dāng)不能確定時,要保留“正負(fù)號”.過關(guān)自診1.cos(-15°)的值為(

)CD知識點四

有關(guān)公式的逆用及變形1.tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ).3.三角函數(shù)的疊加公式asinx+bcosx=

.

名師點睛上述三角函數(shù)的疊加公式中的φ滿足tan

φ=,φ所在象限由a,b的符號確定,且滿足條件的φ有無數(shù)個.過關(guān)自診

C2.下列函數(shù)中,最小正周期為π的奇函數(shù)是(

)C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosxBA重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一三角函數(shù)求值【例1】

已知tanα=2,則sin2α的值是(

)B規(guī)律方法

三角函數(shù)求值的主要類型1.“給角求值”,一般給出的角都是非特殊角,從表面看較難,但仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)這類問題中的角與特殊角都有一定的關(guān)系,如和或差為特殊角,當(dāng)然還有可能需要運用誘導(dǎo)公式.2.“給值求值”,即給出某些角的三角函數(shù)的值,求另外一些三角函數(shù)的值.這類求值問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角,合理拆、配角.當(dāng)然在這個過程中要注意角的范圍.3.“給值求角”,本質(zhì)上還是“給值求值”,只不過往往求出的是特殊角的值,在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角,必要時還要討論角的范圍.變式訓(xùn)練1已知tanα=-2,tan(α+β)=,則tanβ的值為

.

3探究點二三角函數(shù)的化簡規(guī)律方法

三角函數(shù)化簡的原則、目標(biāo)及技巧(1)三角函數(shù)式化簡的基本原則①切化弦.②異名化同名.③異角化同角.④高次降冪.⑤分式通分.⑥無理化有理.⑦常數(shù)的處理(特別注意“1”的代換).(2)三角函數(shù)式化簡的目標(biāo)①次數(shù)盡可能低.②角盡可能少.③三角函數(shù)名稱盡可能統(tǒng)一.④項數(shù)盡可能少.(3)三角函數(shù)式化簡的基本技巧①sin

α,cos

α→湊倍角公式.②1±cos

α→升冪公式.變式訓(xùn)練2化簡:探究點三三角函數(shù)的證明規(guī)律方法

關(guān)于三角恒等式的證明,常用的方法有:(1)從一邊開始,證得它等于另一邊,一般由繁到簡;(2)左右歸一法,即證明左、右兩邊都等于同一個式子;(3)化異為同法,針對題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對性地變形,以消除其差異;(4)比較法,設(shè)法證明“左邊-右邊=0”或探究點四三角恒等變換在解決三角函數(shù)性質(zhì)中的運用(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移

個單位長度后,再將得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)向下平移5個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的表達(dá)式并判斷奇偶性.規(guī)律方法

與三角恒等變換有關(guān)的綜合問題一般有以下兩種情形:(1)以三角恒等變換為主要的化簡手段,考查三角函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)給出的三角函數(shù)關(guān)系式較為復(fù)雜時,我們要先通過三角恒等變換,將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡,將函數(shù)表達(dá)式變形為y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù),討論其圖象和性質(zhì).(2)以向量運算為載體,考查三角恒等變換.這類問題往往利用向量的知識和公式,通過向量的運算,將向量條件轉(zhuǎn)化為三角條件,然后通過三角變換解決問題;有時還從三角與向量的關(guān)聯(lián)點處設(shè)置問題,把三角函數(shù)中的角與向量的夾角統(tǒng)一為一類問題考查.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)三角變換公式及其內(nèi)在關(guān)系;(2)三角恒等變換的綜合問題;(3)三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)公式中的符號和系數(shù);(2)實際問題中的定義域.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練181.sin215°+cos215°+sin15°cos15°的值等于(

)B123456789101112131415161718C123456789101112131415161718B1234567891011121314151617184.(多選)[2023重慶九龍坡月考]下列各式中,值為

的是(

)A.2sin15°cos15° B.2cos215°-1AD1234567891011121314151617181234567891011121314151617185.已知cos2θ=,則sin4θ+cos4θ=

.

1234567891011121314151617181234567891011121314151617181234567891011121314151617181234567891011121314151617188.已知5sinβ=sin(2α+β),求證:2tan(α+β)=3tanα.證明

5sin

β=5sin[(α+β)-α]=5sin(α+β)cos

α-5cos(α+β)sin

α,sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos

α+cos(α+β)sin

α.因為5sin

β=sin(2α+β),所以5sin(α+β)cos

α-5cos(α+β)sin

α=sin(α+β)cos

α+cos(α+β)sin

α,所以4sin(α+β)cos

α=6cos(α+β)sin

α,所以2tan(α+β)=3tan

α.123456789101112131415161718B級關(guān)鍵能力提升練A.b<a<c B.c<a<bC.b<c<a D.c<b<aB123456789101112131415161718D123456789101112131415161718A12345678910111213141516171812.已知A,B,C是△ABC的三個內(nèi)角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的兩個實數(shù)根,則△ABC是(

)A.鈍角三角形

B.銳角三角形C.等腰三角形

D.等邊三角形A12345678910111213141516171813.如圖所示,有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個角有部分損壞,現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二,則sin(x+)=

;應(yīng)按角度x=

來截.

12345678910111213141516171814.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若tanAtanB=4(tanA+tanB)tanC,則

=

.

912345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171816.已知向量a=(cosx,sinx),b=(-cosx,cosx),c=(-1,0).123456789101112131415161718123456789101112131415161718123456789101112131415161718