6.1.2簡單多面體棱柱棱錐和棱臺課件高一下學期數(shù)學北師大版

第六章立體幾何初步1.2簡單多面體——棱柱、棱錐和棱臺北師大版

數(shù)學

必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升成果驗收·課堂達標檢測課程標準1.通過對實物模型的觀察,歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征.2.理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關(guān)系.3.能運用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實生活中簡單幾何體的結(jié)構(gòu)和有關(guān)計算.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點一

棱柱1.棱柱的定義、相關(guān)概念、圖形及表示棱柱圖形及表示定義每個多面體都有兩個面是邊數(shù)相同的多邊形,且它們所在平面平行;其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行.像這樣的幾何體稱為棱柱

棱柱可以用它的兩個底面各頂點的字母來表示,也可以用它的某一條對角線的兩個端點的字母來表示

如圖中的棱柱既可表示為棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1,也可表示為棱柱AC1不能改成“都是平行四邊形”棱柱圖形及表示相關(guān)概念底面(底):兩個互相

的面;

側(cè)面:

;

側(cè)棱:相鄰側(cè)面的

;

頂點:

的公共頂點;

對角線:既不在同一底面上也不在同一個側(cè)面上的兩個頂點的連線;高:過上底面上一點O1作下底面的垂線,這點和垂足O間的距離OO1

平行

其余各面

公共邊側(cè)面與底面2.棱柱的相關(guān)性質(zhì)(1)側(cè)棱都相等;(2)兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形;(3)過不相鄰兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.3.棱柱的分類(1)側(cè)面平行四邊形都是矩形的棱柱稱為直棱柱,其他的棱柱稱為斜棱柱.底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱.(2)棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱柱分別稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱……名師點睛常見的幾種四棱柱之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)所有的棱柱兩個底面都平行.(

)(2)棱柱的兩個底面是相似的多邊形.(

)(3)棱柱最多有兩個面不是四邊形.(

)√×√2.(2023濰坊高一單元測試)滿足下列條件的棱柱中,一定是直棱柱的是(

)A.底面是矩形 B.有一個側(cè)面與底面垂直C.有一個側(cè)面是矩形

D.相鄰兩個側(cè)面是矩形D解析

如圖所示是一個斜四棱柱:因為底面ABCD是矩形,故A錯誤;因為側(cè)面ABB1A1與底面ABCD垂直,故B錯誤;側(cè)面ADD1A1是矩形,故C錯誤;當相鄰兩個側(cè)面是矩形時,則這兩個側(cè)面的交線與底面垂直,即得到側(cè)棱與底面垂直,則該棱柱一定是直棱柱,故D正確.故選D.知識點二

棱錐1.棱錐的定義、相關(guān)概念、分類、圖形及表示棱錐圖形及表示定義其中一個面是

,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體稱為棱錐

如圖棱錐可記作棱錐S-ABCDEF,也可表示為棱錐S-AD棱錐可以用表示它的頂點和底面各頂點的字母來表示,也可用頂點和底面一條對角線端點的字母來表示不能改為“都是三角形”多邊形

棱錐圖形及表示相關(guān)概念底面(底):

;

側(cè)面:其余各面;頂點:各個側(cè)面的公共點;側(cè)棱:相鄰兩個側(cè)面的

;

高:頂點到底面的距離

分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……這樣的棱錐分別稱為三棱錐、四棱錐、五棱錐……多邊形ABCDEF

公共邊

2.正棱錐如果棱錐的底面是

,且它的頂點在________________________

的直線上,那么這個棱錐稱為正棱錐.正棱錐各側(cè)面都是全等的等腰三角形,這些等腰三角形底邊上的高都相等,稱為正棱錐的

.

正多邊形

過底面中心且與底面垂直

斜高

名師點睛1.棱錐的側(cè)面均是三角形,但每個面均是三角形的幾何體不一定是棱錐.如圖所示,正八面體就不是棱錐.2.正棱錐的性質(zhì)(1)各側(cè)棱相等,底面是正多邊形;(2)棱錐的高、斜高和斜高在底面上的投影組成一個直角三角形,棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面上的投影也組成一個直角三角形.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)棱錐的所有面都是三角形.(

)(2)五棱錐有6個面.(

)(3)棱錐的側(cè)面均為三角形,側(cè)棱長均相等.(

)(4)側(cè)棱均相等的棱錐是正棱錐.(

)×√××2.下面圖形中,為棱錐的是(

)A.①③

B.①③④C.①②④

D.①②C解析

根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷,①②④是棱錐,③不是棱錐.故選C.知識點三

棱臺1.棱臺的定義、相關(guān)概念、分類、圖形及表示棱臺圖形及表示定義用一個

底面的平面去截棱錐,截面與底面之間的部分稱為棱臺

棱臺用上底面、下底面多邊形各頂點的字母來表示

如圖棱臺表示為棱臺ABC-A1B1C1相關(guān)概念上底面:原棱錐的截面;下底面:原棱錐的底面;側(cè)面:其余各面;側(cè)棱:相鄰兩個側(cè)面的公共邊;高:上底面、下底面之間的距離分類由三棱錐、四棱錐、五棱錐……所截得的棱臺,分別稱為三棱臺、四棱臺、五棱臺……平行于

2.正棱臺由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形,這些等腰梯形的高稱為正棱臺的斜高.名師點睛棱柱、棱錐、棱臺的性質(zhì)比較性質(zhì)棱柱棱錐棱臺側(cè)棱相互平行且相等相交于同一點延長線交于同一點側(cè)面平行四邊形三角形梯形平行于底面的截面與兩個底面是全等的多邊形與底面是相似的多邊形與兩個底面是相似的多邊形過不相鄰兩側(cè)棱的截面平行四邊形三角形梯形過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)有兩個面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺.(

)(2)棱臺的各條側(cè)棱延長后必交于一點.(

)(3)底面是正多邊形的棱臺是正棱臺.(

)2.棱臺的各側(cè)棱延長線一定相交于一點嗎?×√×提示

一定相交于一點.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一棱柱、棱錐、棱臺的有關(guān)概念【例1】

(1)下列關(guān)于棱柱的說法,正確的序號是

.

①所有的面都是平行四邊形;②每一個面都不會是三角形;③兩底面平行,并且各側(cè)棱也平行;④被平面截成的兩部分可以都是棱柱.③④

解析

①錯誤,棱柱的底面不一定是平行四邊形.②錯誤,棱柱的底面可以是三角形.③正確,由棱柱的定義易知該說法正確.④正確,棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱,所以說法正確的序號是③④.(2)下列說法正確的序號是

.

①棱錐的側(cè)面不一定是三角形;②棱錐的各側(cè)棱長一定相等;③棱臺的各側(cè)棱的延長線相交于同一點;④有兩個面互相平行且相似,其余各面都是梯形,則此幾何體是棱臺.③

解析

棱錐的側(cè)面是有公共頂點的三角形,但是各側(cè)棱不一定相等,故①②不正確;棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的,故各個側(cè)棱的延長線一定交于一點,③正確;棱臺的各條側(cè)棱延長線必須交于一點,故④不正確.規(guī)律方法

棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱有兩個主要結(jié)構(gòu)特征:一是有兩個面互相平行,二是各側(cè)棱都平行,各側(cè)面都是平行四邊形.(2)棱錐有兩個主要結(jié)構(gòu)特征:一是有一個面是多邊形,二是其余各面都是有一個公共頂點的三角形.(3)棱臺的上、下底面平行且相似,各側(cè)棱延長線相交于同一點.變式訓練1下列敘述正確的是(

)A.用一個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分是棱臺B.兩個面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.有兩個面互相平行,其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺D.棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點D解析

對于A,當截面不平行于底面時,棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺,A錯誤;對于B,C,如圖的幾何體滿足條件,但側(cè)棱延長線不能相交于一點,不是棱臺,B,C錯誤;對于D,由棱臺結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長后必交于一點,D正確.故選D.探究點二正棱錐、正棱臺中的計算問題【例2】

正三棱錐的底面邊長為3,側(cè)棱長為2,求正三棱錐的高.規(guī)律方法

1.正棱錐中直角三角形的應用

已知正棱錐如圖(以正四棱錐為例),其高為PO,底面為正方形,作PE⊥CD于點E,則PE為斜高.(1)斜高、側(cè)棱為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△PEC;(2)斜高、高為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△POE;(3)側(cè)棱、高為直角三角形兩條邊,如圖中Rt△POC.2.正棱臺中直角梯形的應用

已知正棱臺如圖(以正四棱臺為例),O1,O分別為上底面與下底面中心,作O1E1⊥B1C1于點E1,OE⊥BC于點E,則E1E為斜高.(1)斜高、側(cè)棱為直角梯形兩條邊,如圖中梯形E1ECC1;(2)斜高、高為直角梯形兩條邊,如圖中梯形O1E1EO;(3)高、側(cè)棱為直角梯形兩條邊,如圖中梯形O1OCC1.變式訓練2已知正四棱臺的上底面、下底面的面積分別為4,16,一側(cè)面面積為12,分別求該棱臺的斜高、高、側(cè)棱長.解

如圖,設(shè)O',O分別為上底面、下底面的中心,即OO'為正四棱臺的高,E,F分別為B'C',BC的中點,所以EF⊥B'C',即EF為斜高.由上底面面積為4,上底面為正方形,可得B'C'=2.同理可得,BC=4.因為四邊形BCC'B'的面積為12,所以

×(2+4)·EF=12,所以EF=4.過點B'作B'H⊥BC交BC于點H,則BH=BF-B'E=2-1=1,B'H=EF=4.探究點三多面體表面距離最短問題【例3】

如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點A作截面△AEF,求△AEF周長的最小值.解

將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開,并將其側(cè)面展開平鋪在一個平面上,如圖,線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值.因為∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,所以AA1=4,所以△AEF周長的最小值為4.規(guī)律方法

本題是多面體表面上兩點間的最短距離問題,常常要歸結(jié)為求平面上兩點間的最短距離問題.解決此類問題的方法就是先把多面體側(cè)面展開,再用平面幾何的知識來求解.變式訓練3如圖,在以O(shè)為頂點的三棱錐中,過點O的三條棱,任意兩條棱的夾角都是30°,在一條棱上有A,B兩點,OA=4,OB=3,以A,B為端點用一條繩子緊繞三棱錐的側(cè)面一周,求此繩在A,B之間的最短繩長.解

作出三棱錐的側(cè)面展開圖,如圖.A,B兩點之間的最短繩長就是線段AB的長度.由題知,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB