人教版五年級數(shù)學下冊 4-3最大公因數(shù)和約分 同步拓展講與練+奧數(shù)培優(yōu)（無答案）

最大公因數(shù)和約分學問引入：一、最大公因數(shù)1.公因數(shù)與最大公因數(shù)：幾個數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。2.求最大公因數(shù)的方法找最大公因數(shù)方法：列舉法、分解質(zhì)因數(shù)法（公有質(zhì)因數(shù)的積）、短除法（除數(shù)相乘）（1）列舉法：先分別找出兩個數(shù)的因數(shù)，從中找出公因數(shù)，再找出最大的一個。例如：8和128的因數(shù)（）；12的因數(shù)（）；8和12的公因數(shù)（）；8和12的最大公因數(shù)是（）。（2）分解質(zhì)因數(shù)法：把一個合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，就是分解質(zhì)因數(shù)。先將這兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再從分解的質(zhì)因數(shù)中找出這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，公有的質(zhì)因數(shù)相乘所得的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。例如：①16和4016分解質(zhì)因數(shù)（）；40分解質(zhì)因數(shù)（）16和40的最大公因數(shù)就是公有質(zhì)因數(shù)的積（）。②32和4832分解質(zhì)因數(shù)（）；48分解質(zhì)因數(shù)（）；32和48的最大公因數(shù)是（）。（3）短除法：把兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)從小到大依次作為除數(shù)，連續(xù)去除這兩個數(shù)，直到得出的兩個商只有公因數(shù)1為止，再把全部的除數(shù)相乘，所得的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。例如：①24和36的最大公因數(shù)是（）。②45和15最大公因數(shù)是（）。（4）特殊狀況①當兩個數(shù)成倍數(shù)關系時，較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。②兩個數(shù)只有公因數(shù)1時，它們的最大公因數(shù)也是1。互質(zhì)數(shù)3.公因數(shù)只有1的兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1，這兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。（表示兩個數(shù)的關系）1和任意非0的自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。2和任何奇數(shù)都是互質(zhì)數(shù)?；ベ|(zhì)數(shù)的特殊狀況相鄰的兩個非零自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。相鄰的兩個奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)。不相同的兩個質(zhì)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。一個合數(shù)與一個質(zhì)數(shù)是互質(zhì)數(shù)（合數(shù)是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)除外）。二、約分1.約分的意義和依據(jù)：（1）約分的依據(jù)：分數(shù)的基本性質(zhì)（約分前后分數(shù)的大小不變）（2）約分的意義：把一個分數(shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數(shù)。2.約分方法：（1）逐步約分法：用分數(shù)的分子和分母公有的質(zhì)因數(shù)逐步去除分子和分母，直到得出一個最簡分數(shù)。（2）一次約分法：用分數(shù)的分子和分母的最大公因數(shù)去除分子和分母，就得到最簡分數(shù)。最簡分數(shù)的意義：分子和分母只有公因數(shù)1的分數(shù)叫做最簡分數(shù)。鞏固練習：1.推斷。（1）兩個合數(shù)的最大公因數(shù)不能是1。（）（2）兩個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的。（）（3）甲數(shù)和乙數(shù)都是它們的最大公因數(shù)的倍數(shù)。（）（4）最小質(zhì)數(shù)和最小合數(shù)的最大公因數(shù)是1。（）（5）最簡分數(shù)的分子和分母沒有公因數(shù)。（）（6）由于24÷3=8，所以24和3的最大公因數(shù)是8。（）（7）兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1，那么這兩個數(shù)肯定都是質(zhì)數(shù)。（）（8）奇數(shù)和奇數(shù)的最大公因數(shù)肯定是1。（）2.求最大公因數(shù)。48和2818和1925和4054和723.先約分，再比較每組中兩個分數(shù)的大小。和和4.把下面各分數(shù)化成最簡分數(shù)。5.約分后從小到大排序。、、、、6.選擇。（1）甲數(shù)和乙數(shù)兩個非零自然數(shù)，甲數(shù)是乙數(shù)的8倍，甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是（）。A、甲數(shù)B、乙數(shù)C、8D、無法確定（2）下列各項中，兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1的是（）。A、一個奇數(shù)和一個偶數(shù)B、一個質(zhì)數(shù)和一個合數(shù)C、兩個不同的奇數(shù)D、兩個不同的質(zhì)數(shù)（3）兩個不同的質(zhì)數(shù)的積肯定是（）。A、奇數(shù)B、偶數(shù)C、公因數(shù)D、合數(shù)7.填空。（1）9的因數(shù)有（），18的因數(shù)有（），9和18的公因數(shù)有（），其中最大的公因數(shù)是（）。（2）16的因數(shù)有（），24的因數(shù)有（），16和24的公因數(shù)有（），其中最大的公因數(shù)是（）。（3）4和14的最大公因數(shù)是（）；10和25的最大公因數(shù)是（）；54和72的最大公因數(shù)是（）；15和45的最大公因數(shù)是（）；（4）的分子和分母的最大公因數(shù)是（）；的分子和分母的最大公因數(shù)是（）；的分子和分母的最大公因數(shù)是（）；的分子和分母的最大公因數(shù)是（）；的分子和分母的最大公因數(shù)是（）；的分子和分母的最大公因數(shù)是（）；（5）A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公因數(shù)是（）。（6）a÷b=13（a，b不為0），那么a和b的最大公因數(shù)是（）。（7）A和B是兩個相鄰的非零自然數(shù)，它們的最大公因數(shù)是（）。（8）全部非0的自然數(shù)的公因數(shù)是（）。（9）全部非0偶數(shù)的最大公因數(shù)是（）。（10）一個分數(shù)約分后，分數(shù)大?。ǎ＃?1）的分子和分母最大公因數(shù)是（），化成最簡分數(shù)是（）。（12）分母是10的全部最簡真分數(shù)的和是（）。（13）一個最簡真分數(shù)，分子和分母的積是8，這個分數(shù)是（）。（14）一個最簡真分數(shù)分子和分母的和是9，這樣的最簡真分數(shù)有（）個。（15）一個最簡真分數(shù)，它的分子和分母的積是36，這個數(shù)可以是（）。（16）45min=（）h28㎝=（）m220dm2=（）m28.按要求寫出兩個數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是1。兩個數(shù)都是合數(shù)：（）和（）兩個數(shù)都是奇數(shù)：（）和（）一個偶數(shù)和一個奇數(shù)：（）和（）9.解答題。（1）用一個數(shù)去除10、20、80，都能整除，這個數(shù)可以是多少？（2）一個數(shù)除200余4，除300余6，除500余10，求這個數(shù)最大是多少？A、B、C三個數(shù)，A和B的最大公因數(shù)是15，B和C的最大公因數(shù)是9，A、B、C的最大公因數(shù)是多少？（4）鐵匠師傅要把一張長是18dm，寬是12dm的長方形鐵皮裁成若干同樣大小的小正方形，怎樣裁能使得到的小正方形最大，又不會鋪張材料？（5）一個分數(shù)用2約分一次，用3約分一次，用5約分一次，得到最終結(jié)果是，這個分數(shù)原來是多少？（6）用下面兩種花搭配成同樣的花束（正好用完，沒有剩余），最多能扎多少束？48朵36朵（7）同學們?nèi)ヒ安?，?2瓶礦泉水和30瓶可樂平均分給幾個小組，正好分完，最多可以分給幾個小組？每個小組分得兩種飲料各多少瓶？（8）水果店預備用200個橙子，120個火龍果，480個芒果裝水果籃，最多可分成多少份同樣的水果籃？在每個水果藍中，三種水果各多少個？奧數(shù)思維拓展（一）：解決有關三個數(shù)最大公因數(shù)的實際問題1.滲透兩種數(shù)學思想：推理思想、轉(zhuǎn)化思想。2.學習兩類思維方法：分析法、篩選法。思維提升：[例]用60元可以買一級茶葉144克或者買二級茶葉180克或買三級茶葉240克?，F(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少錢？[分析]由于144克以及茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相等，所以144克以及茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉分裝的袋數(shù)應當相同，即分裝的袋數(shù)應當是144,180,240的公因數(shù)。當每袋的價格最低時，分裝的袋數(shù)應最多，就需求出144,180,240的最大公因數(shù)。[解答]144的因數(shù)：1，2,3,4,6,8,9，12，16,18,24,36,48,72,144圈出180和240的因數(shù)，所以144,180,240的公因數(shù)是1,2,3,4,6,12，最大公因數(shù)是12。所以60元的茶葉最多分裝成12袋。[技巧]解決公因數(shù)問題，通常先求出幾個數(shù)的最大公因數(shù)，再依據(jù)已知信息求出問題答案。舉一反三：1.將長為25分米，寬為20分米，高為15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的正方體，不能有剩余，每個正方體的棱長是多少分米，一共可以鋸成多少塊？2.小伴侶們用60朵玫瑰花、48朵菊花、36朵天堂鳥做花束。假如每束花中的玫瑰、菊花、天堂鳥的朵數(shù)都相等且沒有剩余，最多可以做多少束花？每束花中的玫瑰、菊花和天堂鳥各有多少朵？3.有三根鐵絲，長度分別為120厘米，180厘米和300厘米，現(xiàn)在要把它們截成長度相等的小段，且不能剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？奧數(shù)思維拓展（二）：用轉(zhuǎn)化法解決分數(shù)問題1.滲透兩種數(shù)學思想：推理思想、化歸思想。2.學習兩類思維方法：轉(zhuǎn)化法、綜合法。思維提升：[例]一個分數(shù)，分子比分母少18，約分后是，原來這個分數(shù)是多少？[分析]首先從約分后的分數(shù)入手，一個分數(shù)約分后大小不變，分子和分母的倍數(shù)關系不變，通過約分后的分數(shù)可以發(fā)覺，分母比分子多3，由于分子比分母少18，所以可以利用差倍問題的解法先求出分子、分母縮