22-第二章第二節(jié)(概率統(tǒng)計(jì))

第二章隨機(jī)變量及其分布2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律內(nèi)容簡介:對(duì)于離散型隨機(jī)變量X,首先,我們研究X的概率分布,即X取什么值以及取這些值的概率大小,然后，重點(diǎn)研究三種常用的離散型隨機(jī)變量服從的0-1分布、二項(xiàng)分布和泊松分布.第二章隨機(jī)變量及其分布2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律2.2.1提出問題

1.對(duì)于離散型隨機(jī)變量的分布規(guī)律，怎樣來研究它？2.2.2預(yù)備知識(shí)超幾何分布，事件的獨(dú)立性，隨機(jī)變量，一般函數(shù)及其三種表示形式.e的級(jí)數(shù)求和公式.

2.已知在n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),事件A的概率是p,在n次試驗(yàn)中A恰好發(fā)生k次的概率如何計(jì)算？

2.2.3

提出概念

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,它可能取的值是x1,x2,…,xn,…,為了描述隨機(jī)變量X,我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值,而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率.我們看實(shí)際例題.

引例在例1.4.1中增加問題(3)：有100件產(chǎn)品,其中有10件是次品,其余為合格品.取5件包含次品的概率.計(jì)算:

這樣,我們就掌握了X這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率分布規(guī)律.這要比一個(gè)一個(gè)地分析隨機(jī)事件的概率更加方便.且滿足

定義設(shè)隨機(jī)變量X一切可能的取值為

x1,x2,…,xn,…,且X取各個(gè)值的概率為

pk=P{X=xk},k=1,2,3,…,

(2.2.1)

則稱X是離散型隨機(jī)變量,稱(2.2.1)

式為隨機(jī)

變量X的概率函數(shù)或概率分布,亦簡稱分布律.

由概率定義,分布律P{X=xk}=pk,k=1,2,…滿足下列兩條性質(zhì)：(1)pk≥0,k=1,2,…；

(2.2.2)

(2).(2.2.3)

講評(píng)這兩條性質(zhì)常用來判斷一個(gè)數(shù)列{pk}是否是概率分布,通常只有pk滿足上述兩條性質(zhì),才能成為某個(gè)隨機(jī)變量的分布率.也常用于確定概率分布中的待定參數(shù).

離散型隨機(jī)變量的分布律的表示方法有如下三種形式：

(1)

公式法：可以用一個(gè)公式統(tǒng)一表示為

P{X=xk}=pk,k=1,2,….(2)列表法：分布率可以用表格清楚地表示為Xx1x2…xk…Pp1p2

…pk…

(3)圖示法:為了分析方便,一般把xk(k=1,2,…)從小到大排列.用示意圖2-2表示X的概率分布及比較概率的大小.圖2-2X的概率分布圖

圖2-2中短線的高度為X取值于該點(diǎn)的概率.

例2.2.1

某籃球運(yùn)動(dòng)員每次投中籃圈概率是0.9,求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.

解

X可取0,1,2為值,有

P{X=0}=(1-0.9)×(1-0.9)=0.01，P{X=1}=0.9×0.1+

0.1×0.9=0.18，P{X=2}=0.9×0.9=0.81.且P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1.

2.2.4

理論應(yīng)用X

0

1

2pk0.010.180.81這就是X的概率分布.X的分布律通常又寫成如下表格形式：

例2.2.2

某電子線路AB中裝有兩個(gè)并聯(lián)的繼電器,見圖2-3.假設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī)性,且彼此獨(dú)立.已知每個(gè)繼電器接通的概率為0.8,記X為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù).求:(1)X的分布律；

(2)線路接通的概率.

圖2-3并聯(lián)系統(tǒng)

1

2解

(1)記Ai={第i個(gè)繼電器接通},i=1,2.所以A1和A2相互獨(dú)立,且P(A1)=P(A2)=0.8.下面求X的分布律.顯然，X可能取0,1,2三個(gè)值.則{X=0}表示{兩個(gè)繼電器都沒接通},{X=1}表示{恰有一個(gè)繼電器接通},{X=2}表示{兩個(gè)繼電器都接通}.因此,X的分布律為,

(2)因?yàn)橄到y(tǒng)是并聯(lián)電路,所以{線路接通}當(dāng)且僅當(dāng){至少一個(gè)繼電器接通}.因此，

P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96.

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0或1兩個(gè)值,

它的分布律是

P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0,1(0<p<1),

(2.2.4)則稱X服從0-1分布或兩點(diǎn)分布.1.0-1分布0-1分布的分布律也可寫成

X0

1pk1-p

p

2.2.5

三種常見常用的離散型隨機(jī)

變量的概率分布

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素,即Ω={ω1,ω2},我們總能在Ω上定義一個(gè)服從0-1分布的隨機(jī)變量X來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.例如，

例如,對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記;檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格;某車間的電力消耗是否超過負(fù)荷;以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗(yàn)等都可以用服從0-1分布的隨機(jī)變量來描述.0-1分布是經(jīng)常遇到的一種分布.

一般地,設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果:A或.再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn),每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率都是p,則發(fā)生的概率則是q=1-p.這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重伯努利試驗(yàn),簡稱伯努利試驗(yàn)或伯努利概型.2.伯努利概型和二項(xiàng)分布定理1在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為

pk(1-p)n-k,(2.2.5)記q=1-p,即有P{X=k}=pk(1-p)n-k,

k=0,1,2,…,n.(2.2.6)

以X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量,我們求它的分布律.

證

X所有可能取的值為0,1,2,…,n.由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,因此事件A在指定的k(0≤k≤n)次試驗(yàn)中發(fā)生,在其它n-k次試驗(yàn)中A不發(fā)生(例如在前k次試驗(yàn)中發(fā)生,而后n-k次試驗(yàn)中不發(fā)生)的概率為這種指定的方式共有種,它們是兩兩互不相容的,由概率加法公式得到：在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為

pk(1-p)n-k,記q=1-p,即有

P{X=k}=pkqn-k,k=0,1,2,…,n.顯然

P{X=k}≥0,k=0,1,2,…,n;即P{X=k}滿足條件(2.2.2),(2.2.3),說明P{X=k}=pkqn-k,k=0,1,2,…是概率分布.注意到pkqn-k剛好是二項(xiàng)式(p+q)n的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng),因此我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為

X~B(n,p).

顯然,若X~B(n,p),則P{X=k}表示在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生k次的概率;P{X≤k}表示A發(fā)生的次數(shù)不超過k次的概率;P{X>k}表示A至少發(fā)生k+1次的概率.

特別地,當(dāng)n=1時(shí),二項(xiàng)分布化為P{X=k}=pkq1-k,q=1-p,k=0,1.這就是0-1分布.所以0-1分布通常也寫為

X~B(1,p).

講評(píng)伯努利概型有下述要求：

(1)每次試驗(yàn)條件相同，可重復(fù)；

(2)每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或,且P(A)=p；

(3)各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.

例2.2.3已知某產(chǎn)品的次品率為0.04,現(xiàn)有這樣一批產(chǎn)品100件.

(1)求這批產(chǎn)品中不少于4件次品的概率.(2)問這100件產(chǎn)品中恰有k件(k=0,1,…,100)次品的概率是多少？

解我們將檢查一件產(chǎn)品看作是進(jìn)行一次試驗(yàn),則檢查100件產(chǎn)品相當(dāng)于做100重伯努利試驗(yàn).以X記100件產(chǎn)品中次品的件數(shù),則有X~B(100,0.04).

(1)

用二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算：因?yàn)閄~B(100,0.04),所以P{4≤X≤100}=(2)

依題意，應(yīng)計(jì)算概率分布律k=0,1,…,100.將計(jì)算部分結(jié)果列表如下:將計(jì)算結(jié)果列表如下:P{X=0}=0.012P{X=1}=0.058P{X=2}=0.137P{X=3}=0.205P{X=4}=0.218P{X=5}=0.175P{X=6}=0.109P{X=7}=0.055P{X=8}=0.022P{X=9}=0.007P{X=10}=0.002P{X=k}<0.001,當(dāng)k≥11時(shí).為了對(duì)本題的結(jié)果有一個(gè)直觀了解,我們作出上述分布律的圖形,如圖2-4所示.圖2-4例2.2.3概率分布及最可能次數(shù)

圖2-4例2.2.3概率分布及最可能次數(shù)

從圖2-4中看到,當(dāng)k增加時(shí),概率P{X=k}先是隨之增加,直至達(dá)到最大值(本例中當(dāng)k=4時(shí)取到最大值),隨后單調(diào)減少.我們指出,一般地,對(duì)于固定的n及p,二項(xiàng)分布B(n,p)都具有這一性質(zhì).

定理2

若X~B(n,p),則當(dāng)(n+1)p是

整數(shù)時(shí),

X有兩個(gè)最可能的次數(shù)(n+1)p及(n+1)p-1;當(dāng)(n+1)p不是整數(shù)時(shí),最可

能次數(shù)為[(n+1)p](即(n+1)p的整數(shù)部分).

證明此處從略，見習(xí)題.

例如,在例2.2.3中,在100只元件中最可能被抽到的一級(jí)品只數(shù)為

[(100+1)×0.04]=[4.04]=4.3.泊松分布k=0,1,2,…,

設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為

其中λ>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記作

X~P(λ).易知,P{X=k}≥0,k=0,1,2,…,且有

即P{X=k}滿足分布律條件(2.2.2),(2.2.3),可以作為離散型隨機(jī)變量的概率分布.

泊松分布P(λ)中的參數(shù)λ的意義將在第四章說明.

具有泊松分布的隨機(jī)變量在實(shí)際應(yīng)用中是很多的.例如,一本書一面中的印刷錯(cuò)誤數(shù)、某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)、某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)、某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)、在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)出的并經(jīng)過計(jì)數(shù)器的α粒子數(shù)等都服從泊松分布.泊松分布也是概率論中的一種重要分布.泊松分布還有一個(gè)非常實(shí)用的特性，即可以用泊松分布作為二項(xiàng)分布的一種近似.在二項(xiàng)分布B(n,p)中，當(dāng)n較大時(shí)，計(jì)算量是令人煩惱的.而在p較小時(shí)使用以下的泊松定理，可以減少二項(xiàng)分布中的計(jì)算量.定理3(泊松定理)在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn，如果當(dāng)n→∞時(shí)，有npn→λ,則證記npn=λn,即pn=λn/n.我們可得對(duì)固定的k有從而對(duì)任意的k(k=0,1,2,…)成立.定理得證.

由于泊松定理是在npn→λ條件下

獲得的，故在計(jì)算二項(xiàng)分布B(n,p)時(shí)，

當(dāng)n很大，p很小，而乘積λ=np大小

適中時(shí)，可以用泊松分布作近似，即

,k=0,1,2…

(2.2.8)例2.2.4

用用泊松定理再計(jì)算例2.2.3問題(1)：在次品率為0.04的100件產(chǎn)品中，求這批產(chǎn)品中不少于4件次品的概率.解用X表示100件產(chǎn)品中的次品數(shù),則.利用二項(xiàng)分布概率公式計(jì)算例2.2.3問題(1)得到P{4≤X≤100}≈0.570

5.現(xiàn)用泊松定理計(jì)算：由于λ=np=4,有P{4≤X≤100}