函數(shù)及其應(yīng)用全書課件整本書電子教案

函數(shù)及其應(yīng)用第一章第一章知識(shí)目標(biāo)：掌握集合、區(qū)間、鄰域的基本概念掌握函數(shù)的概念和性質(zhì)掌握基本初等函數(shù)及其圖形特性了解初等函數(shù)概念，掌握復(fù)合函數(shù)概念理解分段函數(shù)、隱函數(shù)和參數(shù)方程了解極坐標(biāo)系、極坐標(biāo)方程和常見工程曲線能力目標(biāo)：能求函數(shù)的定義域，能寫出復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程能建立簡(jiǎn)單的函數(shù)模型能識(shí)讀工程上常見曲線方程能操作MATLAB繪制平面圖形

函數(shù)（function）是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。

函數(shù)中蘊(yùn)涵著的運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想，即使在數(shù)學(xué)之外的領(lǐng)域，函數(shù)的應(yīng)用也是越來越廣泛和深刻，可以說函數(shù)無處不在。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)集合、區(qū)間、領(lǐng)域集合：指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體。常用數(shù)集有：

區(qū)間：是高等數(shù)學(xué)中常用的一類數(shù)集。有限區(qū)間：無限區(qū)間：第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)鄰域：高等數(shù)學(xué)中常用的一種區(qū)間形式。點(diǎn)的鄰域點(diǎn)的去心鄰域集合、區(qū)間、鄰域是三個(gè)不同的概念，你能說說它們之間的關(guān)系嗎？【小背景】

德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（GeorgCantor,1845～1918）在19世

紀(jì)末創(chuàng)立集合論.康托集合論中最能顯示其獨(dú)創(chuàng)性的成就是對(duì)無限集合的研究，他提出用一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則來比較無限集合元素的個(gè)數(shù)，比如正整數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因而它們具有相同的個(gè)數(shù)，這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾.而康托認(rèn)為這恰恰是無限集的特征（讀者可嘗試先思考本節(jié)習(xí)題1.1的第一個(gè)應(yīng)用實(shí)踐題，再閱讀第二章數(shù)學(xué)思維中的“希爾伯特”旅館問題），并進(jìn)一步得到了一系列令人震驚的關(guān)于無限的結(jié)論，卻也因此遭到了許多數(shù)學(xué)家的激烈反對(duì)，致使他幾度陷于精神崩潰，直到20世紀(jì)初集合論才獲得世界公認(rèn).但在1902年出現(xiàn)的羅素悖論又使得絕對(duì)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)陷入自相矛盾之中，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)，直到公理化集合論的建立才得以較圓滿地解決.第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)定義1.1

在某一變化過程中有兩個(gè)變量

，為一個(gè)非空數(shù)集.如果存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于變量

在其變化范圍

內(nèi)任意取定的每一個(gè)值，按照這一對(duì)應(yīng)法則，變量

都有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱

為定義在數(shù)集

上的函數(shù)，記為

這時(shí)，稱

為自變量，

為因變量，自變量的變化范圍

稱為函數(shù)的定義域.第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)例已知，求，，.解：第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)注意：若不考慮實(shí)際意義，只研究用解析式表達(dá)的函數(shù)，我們規(guī)定：函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義時(shí)自變量所取的實(shí)數(shù)集合.例求函數(shù)的定義域.解：第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)定義1.2

設(shè)有函數(shù)

，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?如果對(duì)于任意，都可以從關(guān)系式中確定唯一的值與之對(duì)應(yīng)，那么所確定的以為自變量的函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù).習(xí)慣上，函數(shù)自變量用表示，所以反函數(shù)通常表示為，此時(shí)函數(shù)與反函數(shù)的圖像有如圖對(duì)稱性。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)例設(shè)函數(shù)，求它的反函數(shù).解：由解得，再交換變量記號(hào)得所求反函數(shù)顯然，函數(shù)與它的反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)請(qǐng)思考：三角函數(shù)需要具備什么條件才能有反函數(shù)呢?

用“+三角函數(shù)名”的記號(hào)來表示反三角函數(shù)首先是由數(shù)學(xué)家歐拉提出并使用的。

比如記號(hào)

當(dāng)時(shí)表示的是屬于

的唯一的一個(gè)角（弧度數(shù)），其正弦值為。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)例求函數(shù)的定義域.解：反正弦函數(shù)是

的反函數(shù)，因此確定定義域時(shí)，除分母不能為零外，且有所以，函數(shù)定義域?yàn)榈谝还?jié)函數(shù)及其性質(zhì)

在不考慮實(shí)際意義的情形下，確定函數(shù)定義域時(shí)通?？紤]：（1）分式的分母不為零；（2）對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；（3）偶次根式下式子非負(fù)；（4）正切符號(hào)下式子不等于

，余切符號(hào)下式子不等于

；（5）反正弦、反余弦符號(hào)下式子的絕對(duì)值小于等于1；

（6）若函數(shù)由若干部分組成，則該函數(shù)的定義域?yàn)楦鞑糠侄x域的交集.第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)

我們把常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。

習(xí)慣上，我們將基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算而得到的函數(shù)稱為簡(jiǎn)單函數(shù)。

比如：

，，.第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)

復(fù)合函數(shù)則是將一個(gè)函數(shù)的自變量替換成另一個(gè)函數(shù)所得的新函數(shù)。

定義1.3設(shè)是的函數(shù)，其定義域?yàn)?，而又是的函?shù)，其定義域?yàn)?，值域?yàn)椋蝗绻?，則通過把變成的函數(shù)，我們把它稱為復(fù)合函數(shù)，其中被稱為中間變量。習(xí)慣上，我們稱定義中的為外層函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù)。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)例求由函數(shù)，組成的復(fù)合函數(shù)并求其定義域。解：因?yàn)榈亩x域與的值域有非空交集，所以它們可以組成復(fù)合函數(shù)，由于必須，從而，故復(fù)合函數(shù)的定義域是。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)

在后面的微分學(xué)內(nèi)容里，經(jīng)常遇到求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題，這時(shí)就需要將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合，我們稱之為求其復(fù)合過程或復(fù)合函數(shù)的分解。例指出下列函數(shù)的復(fù)合過程：（1）

（2）（3）解：（1）（2）（3）或第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)

復(fù)合函數(shù)的分解方法可以歸納為如下口訣：“由外向里，逐層分解，直至簡(jiǎn)單函數(shù)”。想想：自己該怎樣理解運(yùn)用這個(gè)口訣呢？第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)

初等函數(shù)和分段函數(shù)是微積分的主要研究對(duì)象。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所得，且可用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。

工程技術(shù)領(lǐng)域和生活中經(jīng)常還會(huì)遇到這樣的函數(shù)：在自變量不同變化的范圍內(nèi)有不同的解析式，這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。比如.第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)

分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，因?yàn)樗鼈兇蠖嗖荒苡苫境醯群瘮?shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合所得到.但也有例外，如函數(shù)：

可改寫為

可改寫為

所謂函數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是“宏觀”地反映函數(shù)在某些方面的“概貌”。函數(shù)的奇偶性定義1.4設(shè)函數(shù)的定義區(qū)間

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)任意

，若有，則稱為偶函數(shù)；若有，則稱為奇函數(shù)。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)二、函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)奇偶性的幾何特征奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)關(guān)于縱軸對(duì)稱第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)例判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（2）解：（1）定義域?yàn)樗允桥己瘮?shù)。（2）定義域?yàn)樗允瞧婧瘮?shù)。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)2.函數(shù)的單調(diào)性定義1.5設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，對(duì)于任意，若有，則稱在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，為的單調(diào)增加區(qū)間；若有，則稱在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)，為的單調(diào)減少區(qū)間。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性的幾何特征單調(diào)增函數(shù)的圖形，表現(xiàn)為從左至右向上升的曲線，單調(diào)減函數(shù)的圖形，表現(xiàn)為從左至右向下降的曲線第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)例如函數(shù)

在其定義域內(nèi)都是單調(diào)增加的，其圖像稱為立方拋物線；函數(shù)

在內(nèi)是單調(diào)減少的，而在

內(nèi)是單調(diào)增加的，其圖像稱為平方拋物線。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)3.函數(shù)的周期性定義1.6設(shè)為一個(gè)非零實(shí)數(shù)，如果函數(shù)

對(duì)于其定義域內(nèi)任意

，且都有，則稱是周期函數(shù)，習(xí)慣上，把上述關(guān)系式成立的最小正數(shù)稱為周期。例如求函數(shù)的周期：故周期為。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)周期性的幾何特征周期函數(shù)的圖形呈現(xiàn)每間隔一個(gè)周期重復(fù)出現(xiàn)相同形狀，即周期函數(shù)的圖形可由該函數(shù)在定義域內(nèi)長(zhǎng)度為

的區(qū)間上的圖形平移得到。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)4.函數(shù)的有界性定義1.7

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)，對(duì)于任意，恒有成立，則稱是區(qū)間上的有界函數(shù)；如果這樣的正數(shù)不存在，則稱是區(qū)間上的無界函數(shù)。比如：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是有界的。函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無界。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)有界性的幾何特征有界函數(shù)的圖形必介于兩水平直線間。第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線一、函數(shù)模型1.建立函數(shù)模型

函數(shù)關(guān)系是一種變量之間相互依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，即函數(shù)模型。運(yùn)用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，往往需要先找出問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，即建立函數(shù)數(shù)學(xué)模型，然后再對(duì)它進(jìn)行研究，這是解決實(shí)際問題的重要一步。第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線解設(shè)總費(fèi)用為

，魚缸的底面邊長(zhǎng)為

，高為，側(cè)面單位面積材料費(fèi)用為

，則總費(fèi)用可表示為

由于魚缸的容積為

，即有由此得所以總費(fèi)用與底面邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系為：

，第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線2.隱函數(shù)和參數(shù)方程模型

在方程

中，如果當(dāng)變量

在某一區(qū)域內(nèi)取值時(shí)，總有相應(yīng)的變量

與之對(duì)應(yīng)以滿足方程，則稱方程

在該區(qū)域內(nèi)確定

的隱函數(shù)，即存在函數(shù)

，使得，稱是方程所確定的隱函數(shù)的顯式。第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線隱函數(shù)的顯化第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線？笛卡爾葉形線曲線的圖形分解

在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)

、都是某個(gè)參變數(shù)

的函數(shù)

，并且對(duì)于每個(gè)

的允許值，由方程組確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么這個(gè)方程就叫這個(gè)曲線的參數(shù)方程，為參數(shù)。第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線二、工程曲線第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線1.極坐標(biāo)

極坐標(biāo)的基本思想：用方向和距離來表示一個(gè)點(diǎn)的位置。定義1.8

在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)

，叫極點(diǎn)，引一條射線

，叫極軸，再選一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正向。對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)

，用

表示線段

的長(zhǎng)度，表示從到的角，叫點(diǎn)

的極徑，叫做點(diǎn)的極角，有序數(shù)對(duì)叫點(diǎn)的極坐標(biāo)，這樣建立的坐標(biāo)系叫極坐標(biāo)系。

我們將極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系按圖示放置，這樣容就得到平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)變換公式為：第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線例

把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出相應(yīng)的曲線名稱：第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線過原點(diǎn)的斜線圓豎直的直線圓【小背景】

大約1671年，牛頓在他的《流數(shù)法與無窮級(jí)數(shù)》書中

第一個(gè)用極坐標(biāo)來確定平面上點(diǎn)的位置，經(jīng)過后來數(shù)

代人的努力，極坐標(biāo)系相關(guān)理論逐漸完善。極坐標(biāo)不

僅在解決數(shù)學(xué)中曲線軌跡問題盡顯優(yōu)勢(shì)，比如極坐標(biāo)的引入使得像玫瑰線、雙扭線等曲線得以簡(jiǎn)單表示，而且在現(xiàn)代科技中應(yīng)用也很廣泛，比如在物理、工程、航海等領(lǐng)域的應(yīng)用。關(guān)于心臟線極坐標(biāo)方程，還有一段令人難忘的凄美的數(shù)學(xué)家愛情故事。三葉玫瑰線動(dòng)畫2.常見工程曲線第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線

阿基米德螺線的極坐標(biāo)方程為

，它在機(jī)械凸輪設(shè)計(jì)上有著廣泛的應(yīng)用，比如下圖中的右邊就是將兩段等速螺線拼成一個(gè)“心形”的凸輪，用來把等速的圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為等速的直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線

對(duì)數(shù)螺線，也稱等角螺線，是指在一動(dòng)點(diǎn)圍繞原點(diǎn)逐漸離開，相對(duì)于原點(diǎn)的徑向速度恒定，且相對(duì)于原點(diǎn)的角速度以等比例增長(zhǎng)，則其軌跡為等角螺線，如下圖，右邊是一個(gè)有著美麗等角螺線形狀螺殼的鸚鵡螺。

第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線

圓的漸開線，一般廣泛應(yīng)用于機(jī)械齒輪的嚙合。當(dāng)我們把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)定圓上，拉開繩子的一端并拉直，使繩子與圓周始終相切，繩子端點(diǎn)的軌跡就是一條曲線，這條曲線就叫做圓的漸開線。這個(gè)定圓叫做漸開線的基圓。第二節(jié)函數(shù)模型和工程曲線THANKS極限及其應(yīng)用第二章第二章知識(shí)目標(biāo)：理解函數(shù)極限的概念和極限思想方法掌握極限的四則運(yùn)算法則掌握兩個(gè)重要極限公式理解函數(shù)連續(xù)的概念了解間斷點(diǎn)的分類掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)能力目標(biāo)：能應(yīng)用極限思想方法分析解決實(shí)際問題能應(yīng)用極限方法判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性會(huì)求水平和垂直漸近線能運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算極限

極限思想可以追溯到古代。劉徽的割圓術(shù)是早期極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想。第一節(jié)極限的概念一、極限的概念【案例2.1“一尺之棰”的無限分割】《莊子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念1.數(shù)列的極限定義2.1

對(duì)于數(shù)列

，如果當(dāng)

無限增大時(shí)，通項(xiàng)

無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)

，則稱常數(shù)

為數(shù)列的極限。記作：

或。這時(shí)稱數(shù)列收斂于，否則稱數(shù)列發(fā)散，此時(shí)極限不存在。第一節(jié)極限的概念例

討論下列數(shù)列的極限（1）（2）解：（1），觀察當(dāng)

時(shí)，于是有

，故第一節(jié)極限的概念(2)因數(shù)列

為：0,1,0,1,…，當(dāng)無限增大時(shí)，數(shù)列在0和1之間來回跳動(dòng)，不可能無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，所以

不存在，此數(shù)列是發(fā)散的。第一節(jié)極限的概念第一節(jié)極限的概念2.函數(shù)的極限對(duì)函數(shù)

來說，自變量的變化趨向有六種情況：第一節(jié)極限的概念（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)極限（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)極限第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)（1）包含了且無限增大（記），和

且無限增大（記）兩種情形，有結(jié)論：（2）數(shù)列極限是函數(shù)在

時(shí)極限的特殊情形；（3）有兩種特殊情形，即從的左邊無限趨近于（記），或從的右邊無限趨近于（記），有結(jié)論：（4）函數(shù)在點(diǎn)的左極限與右極限，也可分別記作

、，左、右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。第一節(jié)極限的概念例

討論下列函數(shù)極限（1）（2）

解：（1）故不存在。

yxo（2）時(shí)，

，故。

2-224第一節(jié)極限的概念請(qǐng)思考：函數(shù)在一點(diǎn)處極限是否存在與函數(shù)在該點(diǎn)有無定義有關(guān)系嗎?

例

求函數(shù)在處的極限。

解：

，故

故第一節(jié)極限的概念二、無窮小與無窮大1.無窮小的概念定義2.4若函數(shù)

當(dāng)(或)時(shí)的極限為零，則稱函數(shù)

為(或)時(shí)的無窮小，常用字母等表示。例如:因?yàn)?/p>

，所以函數(shù)是

時(shí)的無窮小。第一節(jié)函數(shù)及其性質(zhì)（1）說一個(gè)函數(shù)

是無窮小，必須指明自變量

的變化趨向。（2）無窮小是一個(gè)變量。不要把一個(gè)絕對(duì)值很小的常數(shù)(如0.000000001)說成是無窮小。因?yàn)檫@個(gè)常數(shù)盡管很小，但它的極限并不等于0。數(shù)“0”是常數(shù)中唯一的一個(gè)無窮小。（3）無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系：第一節(jié)極限的概念2.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)（1）有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小；（2）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮??；推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；

推論2

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。請(qǐng)思考：無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小,請(qǐng)舉例說明?

第一節(jié)極限的概念例

求解：因?yàn)?，故是時(shí)的無窮小，又，即是一個(gè)有界函數(shù)。根據(jù)無窮小的運(yùn)算性質(zhì)得：想想：第一節(jié)極限的概念3.無窮大的概念定義2.5若當(dāng)(或)時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值無限增大，則稱函數(shù)

當(dāng)(或)時(shí)為無窮大。（1）函數(shù)為無窮大時(shí)，其實(shí)它的極限是不存在的，但為了便于描述函數(shù)的這種變化趨勢(shì)，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”。（2）無窮大是一個(gè)變量，不是常數(shù)，一個(gè)無論多么大的常數(shù)都不是無窮大。第一節(jié)極限的概念4.無窮小和無窮大的關(guān)系

在自變量的同一變化過程中，若

為無窮大，則

為無窮小；若

為無窮小，且

，則為無窮大。例

求解：因?yàn)椋浴拘”尘啊?/p>

對(duì)于無窮小的認(rèn)識(shí)問題，可以追溯到古希臘，那時(shí)，阿

基米德就曾用無限小量方法得到許多重要的數(shù)學(xué)結(jié)果，

但他認(rèn)為無限小量方法存在著不合理的地方.特別是17

世紀(jì)創(chuàng)立的微積分，由于是建立在當(dāng)時(shí)還存在邏輯矛盾的無窮小分析的基礎(chǔ)上，曾因“貝克萊悖論”（即無窮小究竟是否為零的問題）引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī).直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才對(duì)無限小這一概念給出了明確的回答.而有關(guān)無窮小的理論就是在柯西的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.第二節(jié)求極限的方法一、極限的四則運(yùn)算法則若則有：第二節(jié)求極限的方法例

求解：

定理

設(shè)

為次多項(xiàng)式，則有。

若也為多項(xiàng)式，且，則有第二節(jié)求極限的方法例

求

解：當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限均為0，為“

”型，可先約分再求極限。第二節(jié)求極限的方法例

求解：當(dāng)時(shí)，分母的極限為0，分子的極限不為0，不能直接用商的運(yùn)算法則。但由于

，所以。第二節(jié)求極限的方法例

求解：當(dāng)時(shí)，分子與分母的極限都為無限大，不能直接用商的運(yùn)算法則?？紤]分子、分母同除以

，得第二節(jié)求極限的方法其中，且為非負(fù)整數(shù)。第二節(jié)求極限的方法例

求：（1）；（2）解：（1）（2）==第二節(jié)求極限的方法二、兩個(gè)重要極限1.第一個(gè)重要極限考察當(dāng)時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)可見，當(dāng)時(shí)，，顯然。第二節(jié)求極限的方法

正確使用第一個(gè)重要極限，要特別注意其兩個(gè)特征：（1）一定趨于0；（2）分子是

的正弦函數(shù)，分母是

本身。其變量代換形式是，當(dāng)時(shí)，第二節(jié)求極限的方法例

求（1）（2）

解：（1）（2）令第二節(jié)求極限的方法2.第二個(gè)重要極限考察當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì)可見，當(dāng)

時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)值會(huì)無限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)

，我們用字母e來表示。第二節(jié)求極限的方法

正確使用第二個(gè)重要極限，要特別注意其兩個(gè)特征：（1）底是數(shù)1加上無窮?。唬?）指數(shù)是底中無窮小的倒數(shù)。其變量代換形式是，當(dāng)時(shí)，第二節(jié)求極限的方法例

求（1）（2）

解：

（1）（2）第二節(jié)求極限的方法三、無窮小的比較

定義2.7

設(shè)

是同一變化過程中的兩個(gè)無窮小。

是比高階的無窮小，記

是比低階的無窮小

與是同階無窮小特別地，當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，記

第二節(jié)求極限的方法（1）等價(jià)無窮小的替換定理：設(shè)

且存在，則。（2）當(dāng)時(shí)，常用的等價(jià)無窮?。旱诙?jié)求極限的方法例

求（1）（2）解：（1）原式==-8（2）原式第三節(jié)極限的應(yīng)用一、函數(shù)連續(xù)的判定

客觀世界的許多現(xiàn)象和事物不僅是運(yùn)動(dòng)變化的，而且其運(yùn)動(dòng)變化的過程往往是連續(xù)不斷的，比如日月行空、歲月流逝、植物生長(zhǎng)、溫度變化、物種變化等，這些連續(xù)不斷發(fā)展變化的事物在量的方面反映的就是函數(shù)的連續(xù)性。第三節(jié)極限的應(yīng)用1.函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)性定義2.7

如果變量

從初值

變到終值

，終值與初值之差

，稱為變量的增量（或稱改變量），記作。（1）是一個(gè)整體不可分割的記號(hào)；（2）可正可負(fù)，也可以為零。第三節(jié)極限的應(yīng)用自變量和函數(shù)的增量關(guān)系第三節(jié)極限的應(yīng)用例

設(shè)函數(shù)，求適合下列條件的

和。(1)當(dāng)

由1變到1.5；(2)當(dāng)由1變到解：(1)(2)第三節(jié)極限的應(yīng)用定義2.8設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的鄰域

內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量

在點(diǎn)的增量趨近零時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的增量也趨近于零，即則稱函數(shù)在點(diǎn)

處連續(xù)。其中，若令連續(xù)條件也可改寫為：第三節(jié)極限的應(yīng)用

定義中函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須同時(shí)具備下列三個(gè)條件：函數(shù)

在點(diǎn)處有定義，即存在；極限存在；極限值等于函數(shù)值，即第三節(jié)極限的應(yīng)用例

考察函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性。

解：由于函數(shù)在分段點(diǎn)

處兩邊的表達(dá)式不同，因此，一般要先考慮在分段點(diǎn)處的左極限與右極限。故連續(xù)稱左連續(xù)稱右連續(xù)第三節(jié)極限的應(yīng)用2.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

若函數(shù)

在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱

在開區(qū)間

內(nèi)連續(xù)。區(qū)間稱函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。

若函數(shù)

在開區(qū)間

內(nèi)連續(xù),且在左端點(diǎn)

右連續(xù)，在右端點(diǎn)左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間

上連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線第三節(jié)極限的應(yīng)用3.函數(shù)的間斷點(diǎn)

函數(shù)

不連續(xù)的點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。該點(diǎn)處必有如下三種情形之一。（1）函數(shù)

在點(diǎn)處無定義；（2）函數(shù)

在點(diǎn)處雖有定義，但不存在；（3）函數(shù)

在點(diǎn)處有定義，且存在，但。第三節(jié)極限的應(yīng)用間斷點(diǎn)的分類第一類間斷點(diǎn)：左、右極限

、都存在。其中，如果左、右極限存在且相等，則稱可去間斷點(diǎn)；如果左、右極限存在，但不相等，則稱跳躍間斷點(diǎn)。第二類間斷點(diǎn)：左、右極限至少有一個(gè)不存在。如果其中有一個(gè)為無窮大，則稱無窮間斷點(diǎn)；如果其中有一個(gè)為振蕩，則稱振蕩間斷點(diǎn)。第三節(jié)極限的應(yīng)用第三節(jié)極限的應(yīng)用例第三節(jié)極限的應(yīng)用二、初等函數(shù)的連續(xù)性及性質(zhì)

定理

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間。例

求解：因?yàn)槌醯群瘮?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

在其定義域內(nèi)，所以第三節(jié)極限的應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1(最值定理)若函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值。第三節(jié)極限的應(yīng)用

性質(zhì)2(介值定理)若函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，和分別是在上的最小值和最大值，則對(duì)介于與之間的任一實(shí)數(shù)，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得第三節(jié)極限的應(yīng)用

推論(零點(diǎn)定理)若函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，且，則至少存在一點(diǎn)，使得零點(diǎn)定理也稱根的存在性定理，其幾何意義：第三節(jié)極限的應(yīng)用例

證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)根。證：令，則在上連續(xù)，且由零點(diǎn)定理知：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即第三節(jié)極限的應(yīng)用三、曲線的漸近線定義2.12

如果曲線上的點(diǎn)沿曲線趨于無窮遠(yuǎn)時(shí)，此點(diǎn)與某一直線的距離趨于零，則稱此直線為曲線的漸近線。第三節(jié)極限的應(yīng)用例如：

為曲線

的水平漸近線，

為曲線

的垂直漸近線。THANKS一元微分學(xué)及其應(yīng)用第三章第三章知識(shí)目標(biāo)：理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念及其幾何意義掌握導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)和參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法了解高階導(dǎo)數(shù)概念，掌握求顯函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的方法理解導(dǎo)數(shù)和微分的關(guān)系了解一階微分形式的不變性掌握“

”型未定式極限的求法掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與凹凸性掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值的方法掌握用導(dǎo)數(shù)和微分的知識(shí)解決實(shí)際問題的方法能力目標(biāo)：能應(yīng)用求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)能應(yīng)用微分的四則運(yùn)算法則計(jì)算微分能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與微分的知識(shí)解決實(shí)際問題能運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算導(dǎo)數(shù)和微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、變化率問題第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念分析：運(yùn)動(dòng)員跳水過程可以視為自由落體運(yùn)動(dòng)，該案例實(shí)際上一個(gè)求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題。運(yùn)動(dòng)跳下的距離和時(shí)間的關(guān)系為：如果運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)間記為

，則入水時(shí)間為我們用一些持續(xù)縮短的時(shí)間間隔上的平均速度來逐步近似，比如在時(shí)間間隔

上平均速度為第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念容易看出，隨著時(shí)間間隔的縮短，平均速度越來越接近23.52米/秒即約84公里/小時(shí)。時(shí)間間隔平均速度[2.4,2.41]23.569[2.4,2.401]23.525[2.4,2.4001]23.521結(jié)論：運(yùn)動(dòng)員入水的瞬時(shí)速度

定義為從

開始的逐漸縮短的時(shí)間間隔內(nèi)平均速度的極限值，即第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

一般地，在變速直線運(yùn)動(dòng)中,當(dāng)

很小時(shí),時(shí)間段

內(nèi)的平均速度

近似地等于物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度,且越小,其近似程度越好。當(dāng)

時(shí),若平均速度

的極限存在,則此極限值稱為物體在

時(shí)刻的瞬時(shí)速度

，即第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念解：

下面的方法來源于法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬。設(shè)連續(xù)函數(shù)

的圖形是曲線

。在曲線

上有定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，連接它們得曲線的割線，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線趨近于定點(diǎn)時(shí)，若割線

存在極限位置，則稱此直線

為曲線在點(diǎn)處的切線。

下面求曲線

點(diǎn)

處的切線的斜率：設(shè)

、

，則割線

的斜率為當(dāng)時(shí)，割線斜率的極限就是切線的斜率=.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

上面案例中的函數(shù)具體含義雖不相同，

但從抽象的數(shù)量關(guān)系看，它們的實(shí)質(zhì)是一樣的，都是歸結(jié)為計(jì)算函數(shù)增量與自變量增量的比值的極限，即平均變化率的極限。類似問題還有：

電流強(qiáng)度是電量增量與時(shí)間增量之比的極限；線密度是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限；加速度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限；角速度是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限；…

…

…第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的概念定義3.1設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的鄰域

內(nèi)有定義，當(dāng)自變量

在點(diǎn)處取得增量，且仍在鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值增量為

。如果當(dāng)時(shí)，有存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記作第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念由導(dǎo)數(shù)定義，知若上述極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在。

特別地，若也稱函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為無窮大，其屬于導(dǎo)數(shù)不存在的情形。

導(dǎo)數(shù)定義的等價(jià)形式第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念前面兩個(gè)案例中的導(dǎo)數(shù)：

函數(shù)增量與自變量增量之比

是函數(shù)

在以與為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率；而導(dǎo)數(shù)

則是函數(shù)在點(diǎn)的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)函數(shù)

若函數(shù)在某開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)對(duì)于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)

，都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，這樣就構(gòu)成了

的一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)新的函數(shù)稱為函數(shù)

在內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作注：在不致發(fā)生混淆的地方，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例

設(shè)

，求解：函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是其導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值：第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)

在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

，等于曲線

在點(diǎn)處的切線斜率。第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念例

求曲線

在點(diǎn)(1,1)處的切線、法線方程。解：因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在曲線上，于是切線方程：法線方程：第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)必定連續(xù)，反之則不成立。例如函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，因?yàn)?/p>

因此不可導(dǎo)。第二節(jié)求導(dǎo)的方法一、求導(dǎo)法則和公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則第二節(jié)求導(dǎo)的方法推論：第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

設(shè)解：

第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

求證證明：類似可證第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

電路中某點(diǎn)處的電流

是通過該點(diǎn)處的電量

關(guān)于時(shí)間

的瞬時(shí)變化率，如果某一電路中電量

求（1）電流函數(shù)

；

（2）時(shí)的電流是多少？（3）什么時(shí)候電流為49？解（1）（2）（3）由得第二節(jié)求導(dǎo)的方法反函數(shù)的求導(dǎo)法則

或例

設(shè)

，求解：?jiǎn)握{(diào)連續(xù)函數(shù)

的反函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)由反函數(shù)求導(dǎo)法則，第二節(jié)求導(dǎo)的方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如果函數(shù)

在點(diǎn)

可導(dǎo),而函數(shù)

在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

也在點(diǎn)

處可導(dǎo)，且有

或簡(jiǎn)記為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則亦稱為鏈?zhǔn)椒▌t。該法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)（1）；（2）解：（1）可看成的復(fù)合。（2）可看成由復(fù)合而成。第二節(jié)求導(dǎo)的方法

在熟悉了鏈?zhǔn)椒▌t后，可以不寫出中間變量而直接求導(dǎo)，但在求導(dǎo)過程中要搞清楚每一步是對(duì)哪個(gè)變量進(jìn)行求導(dǎo)，關(guān)鍵是理清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)。例

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）（2）解：第二節(jié)求導(dǎo)的方法第二節(jié)求導(dǎo)的方法解設(shè)在

時(shí)刻水深為

，顯然水庫(kù)內(nèi)水量是水深的函數(shù)，由于水深又是時(shí)間

的函數(shù)知，于是

是的復(fù)合函數(shù)。由題意得

，而要求的是當(dāng)

時(shí)，水面每小時(shí)上升的速度

，對(duì)上式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得

，而米，即水深10米時(shí)，水位每小時(shí)約上升2.08米。第二節(jié)求導(dǎo)的方法基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式第二節(jié)求導(dǎo)的方法二、隱函數(shù)和參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)方法

在方程

的兩邊同時(shí)對(duì)

求導(dǎo)，遇到

時(shí)，就視

是

的函數(shù)；遇到

的函數(shù)時(shí)，就看成是以

為中間變量的關(guān)于

的復(fù)合函數(shù)；然后從所得的等式中解出

，即可求得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

求由方程

確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和。解：在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)

，即當(dāng)時(shí)，，故第二節(jié)求導(dǎo)的方法(1)由于隱函數(shù)常常解不出形如

的顯函數(shù)式，因此，在導(dǎo)數(shù)

的表達(dá)式中往往同時(shí)含有

。(2)在隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

的表達(dá)式中，的關(guān)系由原方程

所確定。第二節(jié)求導(dǎo)的方法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

對(duì)函數(shù)先取自然對(duì)數(shù)，通過對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)后，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這種求導(dǎo)方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

它不但能解決像

類冪指函數(shù)的求導(dǎo)問題,而且在某些情況下可使求導(dǎo)運(yùn)算變得簡(jiǎn)便。第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

求

的導(dǎo)數(shù)。解：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，化為隱函數(shù)得在方程兩邊同時(shí)對(duì)

求導(dǎo)得第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)。解：對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，化為隱函數(shù)，得在方程兩邊同時(shí)對(duì)

求導(dǎo)，得第二節(jié)求導(dǎo)的方法由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程

確定了與之間的函數(shù)關(guān)系，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和反函數(shù)求導(dǎo)法則，有即，。第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

已知橢圓的參數(shù)方程為求橢圓在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

處的切線方程。解：當(dāng)時(shí)，橢圓上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

為切點(diǎn)，于是切線方程為：第二節(jié)求導(dǎo)的方法三、高階導(dǎo)數(shù)

定義3.3若函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，則

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，記作

或類似地，稱為階導(dǎo)數(shù)。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。

相應(yīng)地，稱為一階導(dǎo)數(shù)。

第二節(jié)求導(dǎo)的方法例

求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)（1）（2）解：（1）（2）第二節(jié)求導(dǎo)的方法第二節(jié)求導(dǎo)的方法解：

首先比較兩個(gè)模型的利潤(rùn)增長(zhǎng)率：當(dāng)

時(shí)，這兩個(gè)模型的增長(zhǎng)率相等：下面我們?cè)賮砜疾爝@兩個(gè)模型的利潤(rùn)增長(zhǎng)率的變化率：第二節(jié)求導(dǎo)的方法在

處，每個(gè)模型利潤(rùn)增長(zhǎng)率的變化率是

對(duì)于第一個(gè)模型來說，在

處利潤(rùn)增長(zhǎng)率是正的，但是增長(zhǎng)率的變化率卻是負(fù)的，即該模型的利潤(rùn)增長(zhǎng)率在減速；對(duì)第二個(gè)模型來說，不但利潤(rùn)增長(zhǎng)率是正的，而且利潤(rùn)增長(zhǎng)率的變化率也是正的，即利潤(rùn)的增長(zhǎng)率在加速。

所以隨著時(shí)間的推移，第二個(gè)模型要優(yōu)于第一個(gè)模型，考慮到建設(shè)周期至少要三年，所以該公司應(yīng)選擇第二個(gè)模型。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、洛必達(dá)法則求極限(1)洛必達(dá)法則只適用于求

未定式極限，因此每次使用法則時(shí)須檢查所求極限是否符合條件；(2)若

不存在，或是

，并不表明

不存在，只表明洛必達(dá)法則失效。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例

求極限解：這是型，例

求極限解：第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二、函數(shù)單調(diào)性的判定拉格朗日（Lagrange）中值定理

如果函數(shù)

滿足條件：（1）在閉區(qū)間

上連續(xù)；（2）在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)；則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

或第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用推論3.1

設(shè)函數(shù)

在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在該區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，。推論3.2

設(shè)函數(shù)

與在內(nèi)可導(dǎo)，且，則與僅相差一個(gè)常數(shù)，即

。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例

證明當(dāng)

時(shí)，證明：設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間

上滿足拉格朗日中值定理得條件，有因?yàn)椋?，又因?yàn)?，于是第三?jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性

如果函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)。(1)如果在

內(nèi)，有，則函數(shù)在上單調(diào)增加；(2)如果在

內(nèi)，有，則函數(shù)在上單調(diào)減少。

例

判斷函數(shù)

在上的單調(diào)性。

解：在內(nèi)，函數(shù)在上單調(diào)增加。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例

求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間。解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，得。

所以，函數(shù)

在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例

證明：當(dāng)

時(shí)，證明：設(shè)，由于當(dāng)時(shí)，所以，在上單調(diào)增加，于是當(dāng)時(shí)，有即此時(shí)有。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、函數(shù)的極值和最值函數(shù)的極值定義

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于其中所有

有，則稱為函數(shù)的極大值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大值點(diǎn)。若對(duì)于其中所有

有，則稱為函數(shù)的極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極小值點(diǎn)。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值是一個(gè)局部性概念，是一個(gè)鄰域內(nèi)的最大值與最小值，而不是對(duì)整個(gè)區(qū)間而言。請(qǐng)思考：函數(shù)極值不能在區(qū)間端點(diǎn)取得，為什么?

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值的必要條件

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的鄰域內(nèi)有定義，在點(diǎn)處可導(dǎo)且取得極值，則。這樣的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。極值的第一充分條件

設(shè)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)

的去心鄰域

內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)。(1)當(dāng)

時(shí)，有而當(dāng)時(shí)，有；則

在點(diǎn)處取得極大值；(2)當(dāng)

時(shí)，有而當(dāng)時(shí)，有；則

在點(diǎn)處取得極小值；(3)當(dāng)點(diǎn)

的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)同號(hào)，則函數(shù)在點(diǎn)處不取得極值。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例

求函數(shù)

的極值。解：定義域所以，極大值為

，極小值為。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)極值步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)；（2）求出函數(shù)的駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，把定義區(qū)間重新劃分成若干個(gè)子區(qū)間；（3）考察每個(gè)子區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，利用極值的第一充分條件判定哪些為極值點(diǎn)；（4）求出函數(shù)的極值。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極值的第二充分條件

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)

處具有二階導(dǎo)數(shù)，且

則(1)當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處取得極大值

；(2)當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處取得極小值。例

求

的極值。解：定義域，由，得駐點(diǎn)。

，又，由第二充分條件，得極大值為；同理，由知極小值為。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的最值

函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱為最值。求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的步驟：(1)求出

在上所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；(2)求出駐點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；(3)對(duì)上述函數(shù)值進(jìn)行比較，其最大者即為最大值，最小者即為最小值。

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例

求

在

上的最大值和最小值。解：由

可知，的駐點(diǎn)為，不可導(dǎo)點(diǎn)為。又比較知：最大值為0，最小值為-2。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

在實(shí)際問題中，函數(shù)的駐點(diǎn)往往只有一個(gè)，而且從實(shí)際問題本身又可判斷，函數(shù)在一開區(qū)間內(nèi)必定有最大值或最小值，則該駐點(diǎn)就是所求的最值點(diǎn)。例

用一塊寬為

的長(zhǎng)方形鐵皮，將寬的兩個(gè)邊緣向上折起，做成一個(gè)開口水槽，其橫截面為矩形，問高

為何值時(shí)水槽流量最大?第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解

如圖，設(shè)兩邊各折起

，則橫截面積為

令，得唯一駐點(diǎn)鐵皮兩邊折的過大或過小，其橫截面積都會(huì)變小，故該實(shí)際問題存在最大面積，所以，當(dāng)

時(shí)，水槽的流量最大。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【案例3.5房屋梁的最優(yōu)設(shè)計(jì)】在建造房屋時(shí)，經(jīng)常要考慮房屋梁的設(shè)計(jì)問題。橫截面為矩形的梁，其強(qiáng)度與矩形高的平方和寬的乘積成正比，用直徑為D的圓木作矩形梁，問高和寬各為多少時(shí)梁的強(qiáng)度最大？第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解：如圖所示，設(shè)矩形梁的寬為

，高為，則由題意知強(qiáng)度為，又，于是有：

令，得唯一駐點(diǎn)由題設(shè)知,當(dāng)寬為

，高為時(shí)，梁的強(qiáng)度最大。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用四、曲線的凹凸性和拐點(diǎn)定義

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若曲線

在內(nèi)每一點(diǎn)的切線都位于該曲線的下（上）方，則稱曲線

在區(qū)間內(nèi)是凹（凸）的。如圖所示，曲線段是凸的，而曲線段是凹的。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用曲線的凹凸性可以用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷：設(shè)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1)若在

內(nèi)，，則曲線在區(qū)間

內(nèi)是凹的；(2)若在內(nèi)，，則曲線在區(qū)間

內(nèi)是凸的。上面的區(qū)間改為無窮區(qū)間，結(jié)論也成立。曲線凹凸部分的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求曲線凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的步驟：求出

的定義域；求出

和不存在的點(diǎn)；列表考察上述各點(diǎn)相鄰兩側(cè)

符號(hào)，若異號(hào)，則與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)即是拐點(diǎn)，反之則不是。與此同時(shí)還可得出曲線的凹凸區(qū)間。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例

求曲線

的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。解：函數(shù)的定義域?yàn)榱?，得，另有不存在點(diǎn)。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用五、曲率及其計(jì)算定義

稱

為曲線

在點(diǎn)處的曲率。例如：對(duì)于圓弧曲線，（為圓的半徑），說明圓弧是均勻彎曲的曲線，且半徑愈小，圓弧彎曲得愈厲害。第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用設(shè)具有二階導(dǎo)數(shù)，曲線

在點(diǎn)

的曲率計(jì)算公式為：曲率的倒數(shù)稱曲率半徑。例

求曲線

在

處的曲率和曲率半徑。解：得

，第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例

設(shè)某工件內(nèi)表面的截線為拋物線

，現(xiàn)在要用砂輪削其內(nèi)表面，問用直徑多大的砂輪才比較合適？解：在磨削弧形工件時(shí)，為了不使砂輪與工件接觸處附近的那部分工件磨去太多，砂輪的半徑應(yīng)不大于弧形工件上各點(diǎn)處曲率半徑中的最小值，由于拋物線在其頂點(diǎn)處的曲率半徑最小，因此，只要求出拋物線

在其頂點(diǎn)

處的曲率半徑即可。拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為

，所以選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長(zhǎng)，即直徑不得超過2.5單位長(zhǎng)。第四節(jié)微分的應(yīng)用一、微分的概念定義

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)不等于零，則稱

為函數(shù)

在點(diǎn)

處的微分，記為

，即。根據(jù)定義的條件，有，又由無窮小與函數(shù)極限關(guān)系，得

，于是由此可見，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說，函數(shù)的增量近似等于函數(shù)的微分，兩者僅相差

。第四節(jié)微分的應(yīng)用特別地，若

，則，即有

，這就是說自變量的微分等于自變量的增量。于是，微分可寫為：若函數(shù)

在某區(qū)間

內(nèi)每一點(diǎn)都可微，則稱函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)可微，這時(shí)函數(shù)

叫做區(qū)間

內(nèi)的可微函數(shù)。第四節(jié)微分的應(yīng)用例

設(shè)函數(shù)

，(1)求函數(shù)的微分；(2)求函數(shù)在

處的微分；（3）求函數(shù)在

處，當(dāng)

時(shí)的微分和增量。解：(1)(2)(3)易看出，第四節(jié)微分的應(yīng)用微分的幾何意義函數(shù)

在點(diǎn)處的微分，是曲線

在點(diǎn)處的切線縱坐標(biāo)的增量第四節(jié)微分的應(yīng)用二、微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)也稱為微商。結(jié)論：函數(shù)在點(diǎn)處可微的充要條件是函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)。求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法統(tǒng)稱為微分法。第四節(jié)微分的應(yīng)用例

求

的微分。解：例

求

的微分。解：無論是自變量還是中間變量，微分形式

總保持不變。這一性質(zhì)稱為一階微分形式的不變性。第四節(jié)微分的應(yīng)用三、用微分進(jìn)行近似計(jì)算計(jì)算函數(shù)增量的近似值例

半徑為的金屬圓片加熱后，半徑伸長(zhǎng)了

，問圓片的面積約增加了多少?解：設(shè)圓的面積為

，半徑為

，則確定的函數(shù)為

。第四節(jié)微分的應(yīng)用計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)附近的近似值例

求的近似值

(精確到0.0001)

解：設(shè)函數(shù)為

取，則

，于是第四節(jié)微分的應(yīng)用工程上常用的近似計(jì)算公式例

計(jì)算下列各式的近似值：

(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)

THANKS一元積分學(xué)及其應(yīng)用第四章第四章知識(shí)目標(biāo)：了解無限求和問題的實(shí)際意義理解定積分的定義和幾何意義掌握定積分的線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、積分中值定理掌握原函數(shù)和不定積分的概念掌握微積分基本公式理解不定積分的直接積分法和湊微分法掌握定積分的換元積分法和分部積分法理解無限區(qū)間上和無界函數(shù)的反常積分理解微元法的思想能力目標(biāo)：能解釋定積分的無限求和思想方法能解釋定積分的幾何意義能應(yīng)用定積分的性質(zhì)和微積分公式計(jì)算定積分能運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算不定積分和定積分能處理幾何、工程上常見無限求和問題第一節(jié)定積分的概念一、無限求和問題第一節(jié)定積分的概念一般的平面圖形面積求解問題：

如果用水平和豎直方向上的幾條直線將其分割為若干塊面積之和后，發(fā)現(xiàn)其中除了矩形外，其它也都是如下的曲邊形。中間圖稱曲邊三角形，右圖稱曲邊梯形，顯然曲邊三角形是曲邊梯形的特例。

案例中的舵面積由于具備對(duì)稱性，可歸結(jié)為計(jì)算上半部分的曲邊形面積。第一節(jié)定積分的概念算例

求由曲線

及

軸所圍成的曲邊三角形的面積

。解：采取“分割”、“近似”、“求和”和“取極限”四個(gè)步驟.“分割”

在區(qū)間[0,1]內(nèi)均勻地插入

個(gè)分點(diǎn)：

得到n個(gè)等分小區(qū)間，記小區(qū)間對(duì)應(yīng)的小曲邊形面積為，于是有：第一節(jié)定積分的概念(2)“近似”以每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度

作底，區(qū)間的右端點(diǎn)

處的函數(shù)值

作高，就可得到n個(gè)小矩形，如果把它們的面積分別記作用來近似小曲邊梯形的面積，則有：(3)“求和”n個(gè)小矩形的面積之和是所求曲邊三角形面積

的近似值，即第一節(jié)定積分的概念(4)“取極限”上一步驟僅求出所求曲邊三角形面積的近似值，兩者之間存在誤差。我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)誤差與等份數(shù)n的取值有關(guān)：在區(qū)間[0,1]內(nèi)插入的分點(diǎn)越多，分割就越密，誤差也就隨之越小。如果當(dāng)?shù)确輸?shù)n趨于正無窮大時(shí)，所有小區(qū)間長(zhǎng)度

會(huì)趨于0，這時(shí)，曲邊形面積被分割成無數(shù)小矩形面積之和，即當(dāng)

，精確等于n個(gè)小矩形面積和的極限，即有：第一節(jié)定積分的概念

算例中的四個(gè)步驟體現(xiàn)的就是一種無限求和的思想，最后的表達(dá)式也被稱為和式的極限。

我們用這種方法求出了例中這塊曲邊三角形面積為

平方單位，事實(shí)上，如果再作一條曲線

，根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的對(duì)稱性就