2022屆廣東省惠州市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題解析版

2022屆廣東省惠州市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)子集的概念、交集和并集運(yùn)算、補(bǔ)集運(yùn)算分析選項(xiàng)是否成立.【詳解】對(duì)于A：集合，，不滿足，則A錯(cuò)；對(duì)于B：，則B錯(cuò)；對(duì)于C：，則C正確；對(duì)于D：，則D錯(cuò).故選：C.2．若拋物線（）上一點(diǎn)P（2，）到其焦點(diǎn)的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【答案】D【分析】由拋物線的定義可解答.【詳解】拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，即為4，∴，解得，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.3．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由及解出與即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，，所以，，所?故選：A.4．若，則（）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】令，得，再令，即可求解．【詳解】令，代入得，令，得，所以.故選：B.5．現(xiàn)有名學(xué)生報(bào)名參加校園文化活動(dòng)的個(gè)項(xiàng)目，每人須報(bào)項(xiàng)且只報(bào)項(xiàng)，則恰有名學(xué)生報(bào)同一項(xiàng)目的報(bào)名方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【分析】首先從名學(xué)生中選名選報(bào)同一項(xiàng)目作為一個(gè)整體，然后從個(gè)項(xiàng)目中選擇個(gè)項(xiàng)目排列即可，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意首先從名學(xué)生中選名選報(bào)同一項(xiàng)目作為一個(gè)整體，然后從個(gè)項(xiàng)目中選擇個(gè)項(xiàng)目排列即可，故不同的報(bào)名方法種數(shù)為.故選：B.6．已知，則當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．不確定【答案】B【分析】求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，令，得或，結(jié)合圖像可得，，三段和的大小關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出與的大小關(guān)系.【詳解】解：由函數(shù)，得函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，作出函數(shù)和的圖像，如圖所示，令，得或，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上所述，當(dāng)時(shí)，.故選：B.7．設(shè)等差數(shù)列的公差為d，若，則“”是“（）”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)列增減性的定義以及等差數(shù)列的定義，結(jié)合充分、必要性定義判斷即可.【詳解】充分性：若，則，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，則，必要性成立.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.8．中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W?信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì)，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（）（附：）A．20% B．23% C．28% D．50%【答案】B【分析】根據(jù)題意寫出算式，再利用對(duì)數(shù)的換底公式及題中的數(shù)據(jù)可求解.【詳解】將信噪比從1000提升至5000時(shí)，C大約增加了.故選：B.二、多選題9．對(duì)于實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)不等關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，從而有，故正確.故選：BCD10．如圖，點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C． D．【答案】BC【分析】對(duì)A，由正八邊形性質(zhì)可證與平行，即可由基底定義判斷；對(duì)B，由正八邊形性質(zhì)可證，即可由向量數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系判斷；對(duì)C，由，利用平行四邊形法則即可計(jì)算；對(duì)D，由，即可根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算【詳解】連接BG，CF，由正八邊形的性質(zhì)可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構(gòu)成一組基底，A項(xiàng)錯(cuò)誤；，所以，所以，B項(xiàng)正確；因?yàn)?，由平行四邊形法則可知，，C項(xiàng)正確；正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，，所以，D項(xiàng)錯(cuò)誤（或者從正八邊形的性質(zhì)可知與的夾角為銳角，則有可判斷D錯(cuò)誤）.故選：BC11．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為【答案】BCD【解析】根據(jù)圖象求出函數(shù)解析式，再判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意，，∴，又，，又，∴，∴．∵，∴不是對(duì)稱軸，A錯(cuò)；，∴是對(duì)稱中心，B正確；時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，C正確；，，或，即或，，又，∴，和為，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握“五點(diǎn)法”，通過五點(diǎn)法求出函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)的性質(zhì)．本題方法是代入法，整體思想，即由已知求出的值或范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)得出結(jié)論．12．近年來，納米晶的多項(xiàng)技術(shù)和方法在水軟化領(lǐng)域均有重要應(yīng)用.納米晶體結(jié)構(gòu)眾多，下圖是一種納米晶的結(jié)構(gòu)示意圖，其是由正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長均為n的幾何體，則下列說法正確的有（）A．該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的表面積為B．該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體的體積為C．該結(jié)構(gòu)的納米晶個(gè)體外接球的表面積為D．二面角A1?A2A3?B3的余弦值為【答案】ABD【分析】對(duì)于A：該幾何體是由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，代公式計(jì)算即可.對(duì)于B：棱長為a的正四面體的高為，根據(jù)割補(bǔ)法代公式計(jì)算.對(duì)于C：設(shè)外接球球心為O，三角形的中心為，正六邊形的中心為，則O在上，計(jì)算可得；對(duì)于D：二面角是原正四面體側(cè)面和底面成角的補(bǔ)角，計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：該幾何體是由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，所以表面積，故A正確；對(duì)于B：棱長為a的正四面體的高為，所以，故B正確；對(duì)于C：設(shè)外接球球心為O，三角形的中心為，正六邊形的中心為，則O在上，幾何體上下底面距離為，可得，計(jì)算整理得，因此該幾何體的外接球表面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：二面角為是原正四面體側(cè)面和底面成角的補(bǔ)角，如圖，過正四面體的頂點(diǎn)作平面于點(diǎn)，易知為的中心，延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，設(shè)正四面體的棱長為2，則，所以，，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，平面，所以，所以即為所求?cè)面與底面所成二面角的平面角，在中，，所以側(cè)面與底面所成二面角的平面角的余弦值為，所以二面角A1?A2A3?B3的余弦值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模等于___________.【答案】1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡目標(biāo)復(fù)數(shù)，再求其模長即可.【詳解】因?yàn)?，所以模?.故答案為：1.14．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是___________.（寫出一個(gè)正確的方程即可.）【答案】【分析】對(duì)雙曲線的焦點(diǎn)位置進(jìn)行分類討論，確定、的等量關(guān)系，可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，此時(shí)，則雙曲線的方程為，此時(shí)雙曲線的方程可表示為；若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，則，此時(shí)，則雙曲線的方程為，此時(shí)雙曲線的方程可表示為.綜上所述，雙曲線的方程可表示為.故答案為：（可以取具體的數(shù)值）.15．若一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，且扇環(huán)的面積為，圓臺(tái)上?下底面圓的半徑分別為，（），則___________.【答案】2【分析】先求得圓臺(tái)的母線長，然后根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式列方程，化簡求得.【詳解】圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是半圓面所在的扇環(huán)，所以圓臺(tái)的母線長為，圓臺(tái)的側(cè)面積為，所以.故答案為：216．如圖，曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄CB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過連桿AB的傳遞，活塞做直線往復(fù)運(yùn)動(dòng).當(dāng)曲柄在CB0位置時(shí)，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點(diǎn)A在A0處.設(shè)連桿AB長200，曲柄CB長70，則曲柄自CB0按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)53.2°時(shí)，活塞移動(dòng)的距離（即連桿的端點(diǎn)A移動(dòng)的距離A0A）約為___________.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin53.2°≈0.8）【答案】36【分析】在中，利用正弦定理求出，再求出，，再利用兩角和的正弦公式可求出，再利用正弦定理可求出，從而可求得答案【詳解】如圖，在中，，，，，由正弦定理，，∵，∴，故為銳角，∴，∴，所以，故.故曲柄按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)活塞移動(dòng)的距離約為36mm.故答案為：36四、解答題17．惠州市某高中學(xué)校組織航天科普知識(shí)競賽，分小組進(jìn)行知識(shí)問題競答.甲乙兩個(gè)小組分別從6個(gè)問題中隨機(jī)抽取3個(gè)問題進(jìn)行回答，答對(duì)題目多者為勝.已知這6個(gè)問題中，甲組能正確回答其中4個(gè)問題，而乙組能正確回答每個(gè)問題的概率均為.甲?乙兩個(gè)小組的選題以及對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立，互不影響的.(1)求甲小組至少答對(duì)2個(gè)問題的概率；(2)若從甲乙兩個(gè)小組中選拔一組代表學(xué)校參加全市決賽，請(qǐng)分析說明選擇哪個(gè)小組更好？【答案】(1)(2)甲小組參加決賽更好【分析】（1）甲小組至少答對(duì)2道題目可分為答對(duì)2題或者答對(duì)3題，分別求出其概率，然后由互斥事件的概率加法公式可得答案.（2）甲小組抽取的3題中正確回答的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3,求出X的期望和方差，設(shè)乙小組抽取的三題中正確回答的題數(shù)為Y，則，求出求出Y的期望和方差，比較得出答案.【詳解】(1)甲小組至少答對(duì)2道題目可分為答對(duì)2題或者答對(duì)3題；，所求概率(2)甲小組抽取的3題中正確回答的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3.，結(jié)合（1）可知，.設(shè)乙小組抽取的三題中正確回答的題數(shù)為Y，則，，由，可得，甲小組參加決賽更好.18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且.(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意利用二倍角公式及兩角和差的余弦公式得到，再由正弦定理將角化邊即可；（2）依題意是邊的中點(diǎn)，則，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及余弦定理得到，最后由余弦定理計(jì)算可得；【詳解】(1)證明：因?yàn)樗裕运?，結(jié)合正弦定理，可得，命題得證.(2)解：由題意知，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則兩邊平方整理得，即根據(jù)余弦定理兩式相加得，再由余弦定理19．已知數(shù)列滿足，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，求集合A中所有元素的和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)求出和，根據(jù)等差數(shù)列定義即可求出，從而求出通項(xiàng)公式；(2)分n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)討論數(shù)列的前項(xiàng)和為，由即可求出A.【詳解】(1)由，故，可得，，又∵，，∴，，∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴數(shù)列的公差，∴，∴；(2)由(1)得，，∴，可得，∴為奇數(shù)時(shí)，故1，3，5，...109都是集合A中的元素，又，∴為偶數(shù)時(shí)，由得，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，∴.20．如圖1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE，AC交于F，將△ABE沿BE折疊，使得平面ABE⊥平面BCDE（如圖2）.(1)求證：AF⊥CD；(2)求平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過證明面BCDE，來證得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值.【詳解】(1)連接EC，則△ABE?△BCE?△CDE都是正三角形，四邊形ABCE是菱形，所以，，又因?yàn)槊婷鍮CDE，面面，面ABE，所以面BCDE，又因?yàn)槊鍮CDE，所以；(2)由（1）知FB?FC?FA兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面ADE的法向量為，，令，，平面AFC的法向量為，設(shè)平面AFC與平面ADE的夾角的大小為，，所以平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值為.21．已知拋物線C1：與橢圓C2：（）有公共的焦點(diǎn)，C2的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，該橢圓的離心率為.(1)求橢圓C2的方程；(2)如圖，若直線l與x軸，橢圓C2順次交于P，Q，R（P點(diǎn)在橢圓左頂點(diǎn)的左側(cè)），且∠PF1Q與∠PF1R互為補(bǔ)角，求△F1QR面積S的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線角點(diǎn)可得橢圓半焦距，結(jié)合離心率可解；（2）由題可知，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程消元，利用韋達(dá)定理、弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出面積，化簡，由基本不等式可得.【詳解】(1)由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓的半焦距，又橢圓的離心率，所以，則，即，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)，，，∵與互補(bǔ)，∴，所以，化簡整理得①，設(shè)直線PQ為，聯(lián)立直線與橢圓方程化簡整理可得，，可得②，由韋達(dá)定理，可得，③，將，代入①，可得④，再將③代入④，可得，解得，∴PQ的方程為，且由②可得，，即，由點(diǎn)到直線PQ的距離，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積S最大值為.22．已知函數(shù)（）.(1)當(dāng)m=0時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若不等式對(duì)恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增；(2).【分析】（1）求得，再求二階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷的單調(diào)性，從而求得其正負(fù)，即可判斷原函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中所求，對(duì)進(jìn)行適度放縮，對(duì)參數(shù)與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可證明.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，則令，則因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增所以，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞