2021-2022學年新教材人教A版必修第二冊-7.2.2-復(fù)數(shù)的乘除運算-作業(yè)

十八復(fù)數(shù)的乘、除運算【根底全面練】(25分鐘50分)一、選擇題(每題5分，共20分)1．(1－i)4＝()A．－4B．4C．－4iD．4i【解析】選A.(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4.【加固訓練】假設(shè)復(fù)數(shù)z＝i(3－2i)(i是虛數(shù)單位)，那么eq\x\to(z)＝()A．2－3iB．2＋3iC．3＋2iD．3－2i【解析】選A.因為z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以eq\x\to(z)＝2－3i.2．假設(shè)eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，那么z＝()A．1－iB．1＋iC．－iD．i【解析】選D.由eq\x\to(z)(1＋i)＝1－i，得eq\x\to(z)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(〔1－i〕2,〔1＋i〕〔1－i〕)＝－i，所以z＝i.3．復(fù)數(shù)eq\f(i2＋i3＋i4,1－i)＝()A．－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iB．－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)iC．eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iD．eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i【解析】選C.因為i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，所以eq\f(i2＋i3＋i4,1－i)＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(－i〔1＋i〕,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.4．(2021·全國卷Ⅰ)假設(shè)z＝1＋i，那么|z2－2z|＝()A．0B．1C．eq\r(2)D．2【解析】選D.因為z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝2i，所以z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2，所以|z2－2z|＝|－2|＝2.二、填空題(每題5分，共10分)5．(2021·南京高一檢測)如果z＝eq\f(\r(2),1－i)，那么z100＋z50＋1＝________．【解析】因為z＝eq\f(\r(2),1－i)，故z＝eq\f(\r(2),2)(1＋i)，所以z2＝eq\f(1,2)(1＋i)2＝i，故z100＝(i2)25＝－1，z50＝(i2)12·i＝i，故z100＋z50＋1＝i.答案：i6．設(shè)x，y為實數(shù)，且eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)，那么x＋y＝________．【解析】eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)可化為eq\f(x〔1＋i〕,2)＋eq\f(y〔1＋2i〕,5)＝eq\f(5〔1＋3i〕,10)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(2,5)y))i＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)i，由復(fù)數(shù)相等可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(y,5)＝\f(1,2)，,\f(x,2)＋\f(2,5)y＝\f(3,2)．))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝5，))所以x＋y＝4.答案：4三、解答題(每題10分，共20分)7．計算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(6)＋eq\f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i).【解析】(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5.(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.(3)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(〔1＋i〕2,2)))eq\s\up12(6)＋eq\f(i〔\r(3)－\r(2)i〕,\r(3)－\r(2)i)＝i6＋i＝－1＋i.8．復(fù)數(shù)z＝eq\f(5,2－i).(1)求z的實部與虛部；(2)假設(shè)z2＋meq\x\to(z)＋n＝1－i(m，n∈R，eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù))，求m和n的值．【解析】(1)z＝eq\f(5〔2＋i〕,〔2－i〕〔2＋i〕)＝eq\f(5〔2＋i〕,5)＝2＋i，所以z的實部為2，虛部為1.(2)把z＝2＋i代入z2＋meq\x\to(z)＋n＝1－i，得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＋3＝1，,4－m＝－1.))解得m＝5，n＝－12.【綜合突破練】(20分鐘40分)一、選擇題(每題5分，共10分)1．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，假設(shè)eq\f(z,1＋i)＝2－i成立，那么點P(a，b)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【解析】選A.因為eq\f(z,1＋i)＝2－i，所以z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，所以a＝3，b＝1，所以點P(a，b)在第一象限．2．(多項選擇題)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝eq\f(1－2i,i)(z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z))，那么以下說法中正確的選項是()A．eq\x\to(z)的虛部為1B．z·eq\x\to(z)＝3C．|z|＝eq\r(5)D．z＋eq\x\to(z)＝4【解析】選AC.z＝eq\f(1－2i,i)＝eq\f(〔1－2i〕〔－i〕,i〔－i〕)＝－2－i，所以eq\x\to(z)＝－2＋i，對于A，eq\x\to(z)的虛部為1，故A正確；對于B，z·eq\x\to(z)＝(－2)2－i2＝5，故B不正確；對于C，|z|＝eq\r(〔－2〕2＋〔－1〕2)＝eq\r(5)，故C正確；對于D，z＋eq\x\to(z)＝－4，故D不正確．【光速解題】根據(jù)題目條件，求出復(fù)數(shù)z后逐項驗證．二、填空題(每題5分，共10分)3．假設(shè)2＋i(i是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2＋mx＋n＝0的一個根，那么m＋n等于________．【解析】因為2＋i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2＋mx＋n＝0的一個根，所以(2＋i)2＋m(2＋i)＋n＝0，所以2m＋n＋3＋(4＋m)i＝0，由復(fù)數(shù)相等可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋n＋3＝0，,4＋m＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝5，))m＋n＝1.答案：14．復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝1－3i(i是虛數(shù)單位)，假設(shè)復(fù)數(shù)(1＋ai)z是純虛數(shù)，那么實數(shù)a的值為________；假設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，那么復(fù)數(shù)eq\f(\x\to(z),z＋1)＝________．【解析】解得z＝－1－2i，因為復(fù)數(shù)(1＋ai)z是純虛數(shù)，那么(1＋ai)(－1－2i)＝－1＋2a＋(－a－2)i，所以－1＋2a＝0，且－a－2≠0，所以實數(shù)a的值為eq\f(1,2).因為z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)＝－1＋2i，所以復(fù)數(shù)eq\f(\x\to(z),z＋1)＝－1－eq\f(1,2)i.答案：eq\f(1,2)－1－eq\f(1,2)i【誤區(qū)警示】注意復(fù)數(shù)(1＋ai)z是純虛數(shù)，即實部為0.三、解答題(每題10分，共20分)5．(2021·鹽城高一檢測)復(fù)數(shù)z＝(3＋bi)(1＋3i)(b∈R)是純虛數(shù)．(1)求b的值；(2)假設(shè)ω＝eq\f(3＋bi,2＋i)，求復(fù)數(shù)ω的模|ω|.【解析】(1)z＝(3＋bi)(1＋3i)＝(3－3b)＋(9＋b)i.因為z是純虛數(shù)，所以3－3b＝0且9＋b≠0所以b＝1.(2)ω＝eq\f(3＋i,2＋i)＝eq\f(〔3＋i〕〔2－i〕,〔2＋i〕〔2－i〕)＝eq\f(7－i,5)＝eq\f(7,5)－eq\f(1,5)i，所以|ω|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))\s\up12(2))＝eq\r(2).6．z為虛數(shù)，z＋eq\f(9,z－2)為實數(shù)．(1)假設(shè)z－2為純虛數(shù)，求虛數(shù)z.(2)求|z－4|的取值范圍．【解析】(1)設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)，那么z－2＝x－2＋yi，由z－2為純虛數(shù)得x＝2，所以z＝2＋yi，那么z＋eq\f(9,z－2)＝2＋yi＋eq\f(9,yi)＝2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,y)))i∈R，得y－eq\f(9,y)＝0，y＝±3，所以z＝2＋3i或z＝2－3i.(2)因為z＋eq\f(9,z－2)＝x＋yi＋eq\f(9,x＋yi－2)＝x＋eq\f(9〔x－2〕,〔x－2〕2＋y2)＋eq\b\lc