高中數(shù)學(xué)新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習(xí)：18 等比數(shù)列（學(xué)生版+解析版）

專題18等比數(shù)列

一、單選題

1.（2020?陜西省高三三模（理））已知等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為%=2。3，%=1，則$4=（）

A.31B.15C.8D.7

2.（2020?畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中）在等比數(shù)列｛2｝中，已知%%%=8,那么（）

A.4B.6C.12D.16

3.（2020?江西省高三三模（文））已知等比數(shù)列｛q｝的前“項和為S"，若囚=1,?3+4S2=0,則％o=

（）

A.-512B.512C.1024D.-1024

4.（2020?河南省高三月考（文））在等比數(shù)列｛?！ǎ校阎?=4，%=256,則/=（）

A.128B.64C.64或一64D.128或—128

5.（2020?畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中）已知等差數(shù)列｛4｝的公差為3,若成等比數(shù)列，則在等于

0

A.9B.3C.-3D.-9

6.（2020?湖北省高三三模（理））設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S，%=2,%+2。3+。4=0，則S5=

（）

A.2B.0C.-2D.-4

7.（2020.福建省高二期末）“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家

楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等，某倉

庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層

14

是“件，已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的二.若這堆貨物總價是

25-65匕1萬元，則〃的值為（）

A.7B.8C.9D.10

8.（2020?黑龍江省鐵人中學(xué)高一期中）等比數(shù)列{。"}的前"項和為6=4+2%，必是5與相邑的等

比中項，貝V”的值為（）

961

A.1B.—C.—D.—

772

二、多選題

9.（2018?山東省山東師范大學(xué)附中高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)等比數(shù)列{為}的公比為0,其前幾項和為S"，前”項

積為北，并且滿足條件%>1,4%>1，上二<°，則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<^<1B.a6as>1

C.S〃的最大值為S7D.7；的最大值為I

10.（2019?臨沐第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知數(shù)列{4}是公比為的等比數(shù)列，則以下一定是等比

數(shù)列的是（）

aaa

A.{2"}B.{n}C.{<2n+1,an}D.{n+i+n}

11.（2020?山東省曲阜一中高三月考）在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健

步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則下列說法正確的是（）

A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程站全程的:

C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42里路

12.（2019?山東省高三月考）已知。1，%,a3,〃4成等比數(shù)列，滿足+。2+。3+。4=（。2+。3+。4）2，

且%>1，下列選項正確的是（)

A.%>%B.a3>a4C.q>a2D.a2<a4

三、填空題

13.（2018?平遙縣綜合職業(yè)技術(shù)學(xué)校高二期中）兩個數(shù)等差中項是20,等比中項是12,則這兩個數(shù)是.

14.（2020?畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中）在等比數(shù)列｛g｝中，6+4=1,a3+a4=2,貝|

%+。6+%+%=.

?

15.（2020?湖南省高三三模（理））在數(shù)列｛%｝中，a4=4,且a“+2=2a“，則.

i=l

16.（2020?進賢縣第一中學(xué)高一月考）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）

生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何

日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺.蒲的生長逐日減半，莞的生長

逐日增加1倍.若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為日.

（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：1g2ao.30,恒3。0.48）

四、解答題

17.（2020?江西省高二月考（理））已知數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列,它的前n項和為，且q+1,%+1，

%+1成等比數(shù)列。

⑴求｛4｝的通項公式。

⑵求數(shù)列<—>的前n項和Tno

18.（2020?湖北省江夏實驗高中高一期中）已知等差數(shù)列｛4｝的前n項和為凡，且4=3,S7=49,〃eN*

（1）求數(shù)列｛q｝的通項公式；

⑵設(shè)b?=（4+1>2”,求數(shù)列也｝的前n項和0

n

19.（2020?江蘇省如皋中學(xué)高一月考）已知數(shù)列｛?！保那啊椇陀脻M足S“=舌（。為常數(shù)，且

QW0,〃W1）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）設(shè)"+1,若數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，求。的值.

20.（2020?廣東省高三一模（文））已知數(shù)列｛4｝的前“項和為S”，且滿足a“="—S"，設(shè)包=q-1.

（1）求，。2'"3；

（2）判斷數(shù)列｛勿｝是否是等比數(shù)列，并說明理由；

（3）求數(shù)列｛4｝的前見項和S,.

21.（2019?福建省莆田一中高三月考（文））設(shè)數(shù)列｛4｝前幾項和為S,且滿足

%=￡，S〃=a“+i-展

（1）證明｛為｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛aj的通項公式；

（2）在（1）的條件下，設(shè)dTog?。,,，求數(shù)列｛|勿|｝的前”項和北.

22.（2020?寧夏回族自治區(qū)銀川九中高三二模（文））在數(shù)列｛a“｝中，q=l,a2=3,??+1-3a?+2^=0

（〃eN+且”22）.

（1）證明：數(shù)列｛。用-凡｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛%｝的通項公式.

專題18等比數(shù)列

一、單選題

1.（2020?陜西省高三三模（理））已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，4=2。3，?i=1-貝1JS4=（）

A.31B.15C.8D.7

【答案】B

【解析】

由于數(shù)列是等比數(shù)列，故由于％=1,故解得q=2,所以S,：.（I—、）=]5.

i—q

故選：B.

2.（2020?畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中）在等比數(shù)列｛4｝中，已知的3ali=8，那么a2a8=（）

A.4B.6C.12D.16

【答案】A

【解析】

由弓心色］=1?qq-,=（qq4）=a；—8—23,

所以%=2,

則a2a8=a；=22=4.

故選A.

3.（2020.江西省高三三模（文））已知等比數(shù)列｛q｝的前“項和為S"，若q=l,?3+4S2=0,則％0=

（）

A.-512B.512C.1024D.-1024

【答案】A

【解析】

q—1,ci2+4s2=0.

a/+4（%+alq）=0.

.M+4q+4=0.解得:q=-2.

=1,（―2）9=—512.

故選:A

4.（2020?河南省高三月考（文））在等比數(shù)列｛%｝中，已知囚。3=4，%=256,貝|=（）

A.128B.64C.64或一64D.128或一128

【答案】D

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為0,

由=。；=4,解得g=±2,

當(dāng)出=2時，q7=-^=128,得q=2,則。=泡=128；

a22

當(dāng)外=—2時，/=&=—128,得q=—2,則%=匝=—128

“2-2

.綜上q=128或-128,

故選：D.

5.(2020?畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中)已知等差數(shù)列｛an｝的公差為3,若q,生，4成等比數(shù)列，則%等于

0

A.9B.3C.-3D.-9

【答案】D

【解析】

因為成等比數(shù)列，所以。](%+3d)=(q+2d)2,所以*/+46=0,又因為d=3,所以q=—12,

則。2=q+d=—9,

故選：D.

6.(2020?湖北省高三三模(理))設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前幾項和為A，%=2,a2+2a3+a4=0,則S5=

()

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】A

【解析】

,/%=2,a2+2%+g=0

aq+2^,2+0夕3-Q.4+2q2+q3-Q；

...夕=。或9=—1；等比數(shù)列公比不能為0,

q=-1

v2[1-(-1)5]0

、_=---------=/

1+1

故選：A

7.（2020.福建省高二期末）“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家

楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等，某倉

庫中部分貨物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層

4

是〃件，已知第一層貨物單價1萬元，從第二層起，貨物的單價是上一層單價的二.若這堆貨物總價是

25-650萬元，則〃的值為（）

【答案】B

【解析】

由題意，可知這堆貨物的總價為S“，則

292><自+..+（〃-喂）+“Q，

兩式相減可得:+'++…+

4

所以=25-5（〃+5）

4

當(dāng)5“=25-5（〃+5|=25—時,

解得：〃=8.

故選：B

8.（2020?黑龍江省鐵人中學(xué)高一期中）等比數(shù)列｛4｝的前"項和為S"，q=%+2%,昆是4與〃電的等

比中項，則根的值為（）

961

A.1B.—C.—D.一

772

【答案】B

【解析】

設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為夕，則由4=g+2%,得q為面？之，易知4#0,所以2^2+g—i=o解得夕=一1

或4=；,當(dāng)q=-1時，邑=0,這與邑是5與mSs的等比中項矛盾，

137Q7

=am=am

當(dāng)q=2時，H;4尾~i^^3~^i由S2是R與mS3的等比中項，得S；=S]-mS3,即=底，

9

所以根=1,

故選：B.

二、多選題

9.（2018?山東省山東師范大學(xué)附中高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,其前〃項和為s“，前〃項

積為北，并且滿足條件%>1,4%>1，&二<0,則下列結(jié)論正確的是（）

%-1

A.Q<q<lB.a6as>1

C.S”的最大值為S7D.7”的最大值為I

【答案】AD

【解析】

①0>1，%>L與題設(shè)”二<0矛盾.

Q,一]

②4>1,為<L符合題意.

a?一1

③4<L%<L與題設(shè)矛盾.

%-1

④4<L%>L與題設(shè)4>1矛盾.

得/>L%<LO<q<l,則T”的最大值為

：.B,C,錯誤.

故選：AD.

10.（2019?臨沐第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知數(shù)列｛4｝是公比為q（qwl）的等比數(shù)列，則以下一定是等比

數(shù)列的是（）

A.付｝B.｛叫C.D.｛an+l+an｝

【答案】BC

【解析】

因為數(shù)列｛閡｝是公比為q（q豐1）的等比數(shù)歹山則—,

an

對于選項A,—=2限,，因為?！?1不是常數(shù)，故A錯誤；

2樂

2（V

對于選項民&用=&包=/,因為“2為常數(shù)，故B正確；

an（anJ

對于選項C,"%=%!.4包=/,因為2為常數(shù)，故c正確；

a“+i4+1an

對于選項D,若4+1=0,即4=-1時,該數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯誤.

故答案為:BC

11.（2020?山東省曲阜一中高三月考）在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健

步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān).”則下列說法正確的是（）

A.此人第二天走了九十六里路B.此人第三天走的路程站全程的0

C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D.此人后三天共走了42里路

【答案】ACD

【解析】

設(shè)此人第九天走里路，則數(shù)列｛4｝是首項為生,公比為q=1?的等比數(shù)列，

因為56=378,所以S6=------4=378,解得q=192,

1--

2

對于A,由于g=192x3=96,所以此人第二天走了九十六里路，所以A正確；

對于B,由于％=192X—=48,----->—,所以B不正確；

43788

對于C,由于378—192=186,192—186=6,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C

正確;

對于D,由于4+%+%=192x=42,所以D正確,

故選：ACD

12.(2019?山東省高三月考)已知％,%,生，%成等比數(shù)列，滿足+。2+。3+。4=(。2+。3+%)一，

且4>1,下列選項正確的是()

A.>。3B.%>%C.%>。2D.a2<a4

【答案】AD

【解析】

%，4，%,陶成等比數(shù)列，設(shè)公比為q.

(、2

/\2CLAClAClAClA(2A

%+%+%+%=(/+/+%),??―TH---yH------%-—-H-------F%，

qqqq)

\2…+1/4+1]

.二+2+j4a+i+i

qqq(qqqq-q、礦q)

1121c

整理得F+=+=+—<0,即/+q2q，+q+l<0.

qqqq

令/(x)=V+2d+x+l,貝!]/(%)=3兀2+4x+l=(3x+l)(x+l).

由/'(x)>0,得了>-；或x<—1；由/''(xjvO,得一1<無<-g,

???/(X)在(—8,—1)上單調(diào)遞增，在[-L-g]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

.■?/(%)的極大值為/(-I)=1,極小值為f[―；]=H>0.

又/(—2)=—1<0,，“X)在區(qū)間(-2,-1)上有一個零點無。.

即+2/+q+i<o時，q<x0<—1,>1.

；?等比數(shù)列《1，出,《3，。4中，%,。3均為負數(shù)，。2，。4均為正數(shù)―

22

；.4=%q<^,6Z4=a2q>a2.

故選：AD.

三、填空題

13.(2018?平遙縣綜合職業(yè)技術(shù)學(xué)校高二期中)兩個數(shù)等差中項是20,等比中項是12,則這兩個數(shù)是

【答案】4,36

【解析】

設(shè)這兩個數(shù)為。力，

因為兩個數(shù)等差中項是20,等比中項是12,

a+b=40(a=4(a=36

所以《或《，

ab=144[b=36[b=4

即這兩個數(shù)為4,36,

答案為：4,36.

14.(2020.畢節(jié)市實驗高級中學(xué)高一期中)在等比數(shù)列｛qj中，G+g=l,%+4=2，則

%+。6+%+.

【答案】12

【解析】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝公比為q,則叫士包=q(q+&)=/=2.

4+4%+%

故。5+。6+%+4=夕4(4+〃2+%+%)=22X3=12.

故答案為：12

15.（2020?湖南省高三三模（理））在數(shù)列｛叫中，4=4,且4+2=22，則X%=.

i=l

【答案】2n+I-2

【解析】

因為。八+2=2cln,%=4,所以4=2,

故數(shù)列｛/“｝是以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，

?2（1-2"）

由等比數(shù)列前n項和公式可得，=」-----2"M-2.

i=i1-2

故答案為：2"+1-2

16.（2020?進賢縣第一中學(xué)高一月考）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）

生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何

日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺.蒲的生長逐日減半，莞的生長

逐日增加1倍.若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為日.

（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：坨2。0.30,1g3ao.48）

【答案】2.6.

【解析】解：設(shè)蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列｛%｝,其q=3，公比為:，其前幾項和為4.莞

（植物名）的長度組成等比數(shù)列｛4｝,其4=1,公比為2,其前〃項和為修，.

則上\^立="

/1n2-1

1---

2

令A(yù)n=Bn,

化為：2"+攝=7,

解得2"=6或2"=1（舍去）.

即：〃=題=1+里”2.6.

Ig2lg2

所需的時間約為2.6日.

四、解答題

17.(2020?江西省高二月考(理))已知數(shù)列｛an｝是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項和為S“，且q+1,%+1，

%+1成等比數(shù)列。

(1)求｛4｝的通項公式。

(2)求數(shù)列?—＞的前n項和Tno

Sn,

32〃+3

【答案】⑴4=2"+L⑵12(“+1)(〃+2)

【解析】

(1)由題意，得生+1=4+5,%+1=4+13,

得+5)-=(?1+13),

解得q=3,

所以%,=3+2(?-1),

即an=2n+lo

(2)由(1)矢口=2n+l.

c/1If111

則SH=〃(〃+2),—=------

TZ

Sn2\n+2J

212fi+1n+2)

_32n+3

-42(n+l)(n+2)°

18.(2020?湖北省江夏實驗高中高一期中)己知等差數(shù)列｛4｝的前n項和為S“，且勾=3^7=49,〃eN*

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式;

⑵設(shè)bn=,求數(shù)列也｝的前n項和Tn.

n

【答案】(l)a”=2〃_l；(2)4=2"+i_2

【解析】

勾+d=3

(1)設(shè)公差為d,則｛7x6,_

7tzi+《一d=49

—1

解得:I；c

d=2

a“=q+(〃-l)d=2n-l(neN*)

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為an=2〃—1(〃eN*);

⑵由⑴骰=a+叱=(27+1)—=2"

nn

：.Tn="(1—q")=2(1-2")=2"+1一2(〃eN*)

1-q1-2

19.(2020.江蘇省如皋中學(xué)高一月考)已知數(shù)列｛4｝的前“項和S”滿足1),(。為常數(shù)，且

u—1

aw0,awl).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

2S

(2)設(shè)2=一+1,若數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，求。的值.

an

na

【答案】(1)an=a.(2)~~

【解析】

(1)因為$=—-1)=q,所以。i=a.

當(dāng)“22時，an=Sn-Sn_,=-^―(an-an_x),

<7-1

整理得上~=a,即數(shù)列｛a“｝是以a為首項，a為公比的等比數(shù)列.

an-l

所以見=。?優(yōu)1a".

(2)由(1)知，bJx/i(""一l)口(3"l)、「2a(*)

"an("I)為

由數(shù)列出｝是等比數(shù)列，則以=偽也，

所以[四±21=3.%W"2,解得口=工，

La)a13

再將a=；代入(*)式得2=3",故數(shù)列｛2｝為等比數(shù)列，

所以

3

20.(2020?廣東省高三一模(文))已知數(shù)列｛4｝的前“項和為S”且滿足q="—S"，設(shè)2=4—1.

(1)求,。2，“3；

(2)判斷數(shù)列｛0｝是否是等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求數(shù)列｛q｝的前w項和S..

[37

【答案】⑴(2)數(shù)列也｝是等比數(shù)列，理由見解析；⑶

248

s“="i+g)-

【解析】

(1)cin=n—Sn,=1—,解得q=萬.a2=2—^a2+—,解得4=7.

(31A7

a3=3-\a3+-+-\,解得/=可.

（2）4=〃一5”,〃22時，1—S"T，相減可得：2an=an_x+1,

變形為：=

由2=4T?可得：bn=.

4=%-i=_g

二數(shù)列｛〃｝是等比數(shù)列，首項為公比為）.

（3）由（2）可得：2=—=—[g）

貝iJa”=〃+l=l—1g)?

21.（2019?福建省莆田一中高三月考（文））設(shè)數(shù)列｛4｝前幾項和為S,且滿足

_1_1

avnGN*

i=五，S"=""+1一記

（1）證明｛為｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）在（1）的條件下，設(shè)包=log2%,求數(shù)列他“|｝的前〃項和

1In-n2

,n<6