2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)七十選修4-52證明不等式的基本方法文含解析北師大版_第1頁(yè)
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PAGE核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)七十證明不等式的基本方法(20分鐘40分)1.(10分)已知a,b都是正實(shí)數(shù),且a+b=2,求證:a2a+1+【證明】因?yàn)閍>0,b>0,a+b=2,所以a2a+1=a=a=a=a2+=1-因?yàn)閍+b=2≥2ab,所以ab≤1.所以1-ab所以a2a+1+2.(10分)(2024·桂林模擬)已知正數(shù)a,b滿意1a+1(1)證明:254((2)若存在實(shí)數(shù)x,使得x+2-x-1【解析】(1)因?yàn)?a+b=(4a+b)1=4+ab+ba≥4+2ab·ba+14=又1=1a+14b≥21a所以254((2)因?yàn)閨x+2|-|x-14|≤|(x+2)-(x-14)|=當(dāng)且僅當(dāng)x+2≥0x-14≥0又a+b=(a+b)1a+14b=1+≥1+14+2ba·當(dāng)且僅當(dāng)ba=a4b即a=2b時(shí)所以a=2ba+b=3.(10分)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:(1)若ab>cd,則a+b>c+d.(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.【證明】(1)因?yàn)閍,b,c,d為正數(shù),且a+b=c+d,欲證a+b>c+d,只需證明(a+b)2>(c+d)2,也就是證明a+b+2ab>c+d+2cd,只需證明ab>cd,即證ab>cd.由于ab>cd成立,因此a+b>c+d.(2)①若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a+b>c+d.②若a+b>c+d,則(a+b)2>(c+d)2,所以a+b+2ab>c+d+2cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.綜上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要條件.4.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+2x-3,記f(x)≤-1的解集為M. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求M.(2)當(dāng)x∈M時(shí),求證:x[f(x)]2-x2f(x)≤【解析】(1)由已知,得f(x)=x當(dāng)x≤2時(shí),由f(x)=x-1≤-1,解得x≤0,此時(shí)x≤0;當(dāng)x>2時(shí),由f(x)=3x-5≤-1,解得x≤43,明顯不成立故f(x)≤-1的解集為M={x|x≤0}.(2)當(dāng)x∈M時(shí),f(x)=x-1,于是x[f(x)]2-x2f=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-12令g(x)=-x

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