2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章概率章末綜合測(cè)評(píng)含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE章末綜合測(cè)評(píng)(七)概率(滿(mǎn)分：150分時(shí)間：120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．西周初數(shù)學(xué)家商高在公元前1000年發(fā)覺(jué)勾股定理的一個(gè)特例，勾三，股四，弦五．此發(fā)覺(jué)早于畢達(dá)哥拉斯定理五百到六百年，我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)(a，b，c)稱(chēng)為勾股數(shù)．現(xiàn)從(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，40，41)，(9，12，15)，(10，24，26)，(15，20，25)，(15，36，39)這幾組勾股數(shù)中隨機(jī)抽取1組，則被抽出的這組勾股數(shù)滿(mǎn)意2b＝a＋c的概率為()A．eq\f(2,5)B．eq\f(7,9)C．eq\f(7,8)D．eq\f(9,10)A[從這10組勾股數(shù)隨機(jī)抽取1組，共10種抽取方法，其中滿(mǎn)意2b＝a＋c的有：(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(15，20，25)，共4種，故所求概率為：P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]2．一個(gè)口袋裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)C[由于是有放回摸球，所以其次次摸出1個(gè)白球，與第一次摸出白球無(wú)關(guān)，即相互獨(dú)立，所以其次次摸出白球的概率為eq\f(2,5).]3．拋擲一顆質(zhì)地勻稱(chēng)的骰子，視察擲出的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事務(wù)A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事務(wù)B為“出現(xiàn)2點(diǎn)”，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，則“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2點(diǎn)”的概率為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)D[∵“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”兩事務(wù)互斥，∴P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).]4．袋中裝白球和黑球各3個(gè)，從中任取2個(gè)，則至多有一個(gè)黑球的概率是()A．eq\f(1,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)B[把白球編號(hào)為1，3，5，黑球編號(hào)為2，4，6.從中任取2個(gè)，樣本空間Ω＝{12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56}，樣本點(diǎn)總數(shù)為15個(gè)．其中至多有一個(gè)黑球的樣本點(diǎn)有12個(gè)．由古典概型公式得P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).]5．小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，遺忘了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，其次位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼就能夠勝利開(kāi)機(jī)的概率是()A．eq\f(8,15)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,30)C[∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，∴事務(wù)總數(shù)有15種．∵正確的開(kāi)機(jī)密碼只有1種，∴P＝eq\f(1,15).]6．若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(9,10)D[事務(wù)“甲或乙被錄用”的對(duì)立事務(wù)是“甲和乙都未被錄用”，從五位學(xué)生中選三人的總的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10，“甲和乙都未被錄用”只有1種狀況，依據(jù)古典概型和對(duì)立事務(wù)的概率公式可得，甲或乙被錄用的概率P＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).]7．某運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，從來(lái)自A高校的2名志愿者和來(lái)自B高校的4名志愿者中隨機(jī)抽取2人到體操競(jìng)賽場(chǎng)館服務(wù)，至少有一名A高校志愿者的概率是()A．eq\f(1,15)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(14,15)C[用列舉法可得樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)為15，所求概率的事務(wù)包括的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為9，∴P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).]8．一位家長(zhǎng)送孩子去幼兒園的路上要經(jīng)過(guò)4個(gè)有紅綠燈的路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min.則這位家長(zhǎng)送孩子上學(xué)到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,27)C．eq\f(4,27)D．eq\f(5,27)C[設(shè)“這位家長(zhǎng)送孩子上學(xué)到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈”為事務(wù)A，因?yàn)槭聞?wù)A等于事務(wù)“這位家長(zhǎng)送孩子在第一個(gè)路口和其次個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，所以事務(wù)A的概率為P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).故選C.]二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列事務(wù)是隨機(jī)事務(wù)的是()①同種電荷，相互排斥；②明天是晴天；③自由下落的物體作勻速直線運(yùn)動(dòng)；④函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)在定義域上是增函數(shù)．A．①③B．①C．②D．④CD[②④是隨機(jī)事務(wù)；①是必定事務(wù)；③是不行能事務(wù)．]10．從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，則與事務(wù)“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事務(wù)是以下事務(wù)中的：①兩球都不是白球；②兩球恰有一白球；③兩球至少有一個(gè)白球．()A．①B．②C．③D．①②③AB[從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，全部的樣本點(diǎn)為：白白，白紅，白黑，紅紅，紅黑，黑黑．除“兩球都不是白球”外，還有其他事務(wù)如白紅可能發(fā)生，故①與“兩球都為白球”互斥但不對(duì)立．②符合，理由同上．③兩球至少有一個(gè)白球，其中包含兩個(gè)都是白球，故不互斥．]11．下列試驗(yàn)不屬于古典概型的是()①?gòu)难b有大小、形態(tài)完全相同的紅、黑、綠各一球的袋子中隨意取出一球，取出的球?yàn)榧t色的概率；②在公交車(chē)站候車(chē)不超過(guò)10分鐘的概率；③同時(shí)拋擲兩枚硬幣，視察出現(xiàn)“兩正”“兩反”“一正一反”的次數(shù)；④從一桶水中取出100mL，視察是否含有大腸桿菌．A．①B．②C．③D．④BCD[古典概型的兩個(gè)基本特征是有限性和等可能性，①符合兩個(gè)特征，是古典概型；②④中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限多，是幾何概型；對(duì)于③，出現(xiàn)“兩正”“兩反”“一正一反”的可能性不相等，故不是古典概型．]12．在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以eq\f(7,10)為概率的事務(wù)不行能是()A．恰有1件一等品 B．至少有一件一等品C．至多有一件一等品 D．都不是一等品ABD[將3件一等品編號(hào)為1，2，3，2件二等品編號(hào)為4，5，從中任取2件有10種取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率為P1＝eq\f(3,5)，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率為P2＝eq\f(3,10)，其對(duì)立事務(wù)是“至多有一件一等品”，概率為P3＝1－P2＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).]三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上13．某箱內(nèi)有十張標(biāo)有數(shù)字0到9的卡片，從中任取一張，則取到卡片上的數(shù)字不小于6的概率是________．eq\f(2,5)[數(shù)字不小于6有6，7，8，9共4個(gè)樣本點(diǎn)，而樣本點(diǎn)的總數(shù)為10，故P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]14．一枚硬幣連擲三次，事務(wù)A為“三次反面對(duì)上”，事務(wù)B為“恰有一次正面對(duì)上”，事務(wù)C為“至少兩次正面對(duì)上”，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝________．1[事務(wù)A，B，C之間是互斥的，且又是一枚硬幣連擲三次的全部結(jié)果，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.]15．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著，全書(shū)采納問(wèn)題集的形式，收有246個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中“均賦粟”問(wèn)題講的是古代勞動(dòng)人民的賦稅問(wèn)題．現(xiàn)擬編試題如下，已知甲、乙、丙、丁四人向國(guó)家交稅，則甲必需第一個(gè)交且乙不是第三個(gè)交的概率為_(kāi)_______．eq\f(1,6)[依題意，全部的樣本點(diǎn)為：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一個(gè)交的狀況也各有6種，故總的事務(wù)數(shù)有24種，其中滿(mǎn)意條件的樣本點(diǎn)為：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4種，故所求概率為eq\f(4,24)＝eq\f(1,6).]16．如圖所示的電路中a，b，c三個(gè)開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)或關(guān)的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為_(kāi)_______．eq\f(1,8)[“設(shè)a閉合”為事務(wù)A，“b閉合”為事務(wù)B，“c閉合”為事務(wù)C，則甲燈亮應(yīng)為事務(wù)Aeq\a\vs4\al(\x\to(B))C，且A，B，C之間彼此獨(dú)立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，由獨(dú)立事務(wù)概率公式知P(Aeq\a\vs4\al(\x\to(B))C)＝P(A)P(eq\x\to(B))P(C)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).]三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿(mǎn)分10分)某校在老師外出培訓(xùn)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，在一個(gè)月派出的培訓(xùn)人數(shù)及其概率如下表所示：派出人數(shù)2人及以下3456人及以上概率0.10.460.30.10.04(1)求有4個(gè)人或5個(gè)人培訓(xùn)的概率；(2)求至少有3個(gè)人培訓(xùn)的概率．[解](1)設(shè)有2人以下培訓(xùn)為事務(wù)A，有3人培訓(xùn)為事務(wù)B，有4人培訓(xùn)為事務(wù)C，有5人培訓(xùn)為事務(wù)D，有6人及以上培訓(xùn)為事務(wù)E，所以有4個(gè)人或5個(gè)人培訓(xùn)的事務(wù)為事務(wù)C或事務(wù)D，A，B，C，D，E為互斥事務(wù)，依據(jù)互斥事務(wù)的概率的加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3個(gè)人培訓(xùn)的對(duì)立事務(wù)為有2人及以下培訓(xùn)，所以由對(duì)立事務(wù)的概率可知P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.18．(本小題滿(mǎn)分12分)用一臺(tái)自動(dòng)機(jī)床加工一批螺母，從中抽出100個(gè)逐個(gè)進(jìn)行直徑(單位：cm)檢驗(yàn)，結(jié)果如下：直徑(單位：cm)個(gè)數(shù)直徑(單位：cm)個(gè)數(shù)(6.88，6.89]1(6.93，6.94]26(6.89，6.90]2(6.94，6.95]15(6.90，6.91]10(6.95，9.96]8(6.91，6.92]17(6.96，6.97]2(6.92，6.93]17(6.97，6.98]2從這100個(gè)螺母中隨意取一個(gè)，檢驗(yàn)其直徑的大小，求下列事務(wù)的頻率：(1)事務(wù)A：螺母的直徑在(6.93，6.95]范圍內(nèi)；(2)事務(wù)B：螺母的直徑在(6.91，6.95]范圍內(nèi)；(3)事務(wù)C：螺母的直徑大于6.96.[解](1)螺母的直徑在(6.93，6.95]范圍內(nèi)的頻數(shù)為nA＝26＋15＝41，所以事務(wù)A的頻率為eq\f(41,100)＝0.41.(2)螺母的直徑在(6.91，6.95]范圍內(nèi)的頻數(shù)為nB＝17＋17＋26＋15＝75.所以事務(wù)B的頻率為eq\f(75,100)＝0.75.(3)螺母的直徑大于6.96的頻數(shù)為nC＝2＋2＝4，所以事務(wù)C的頻率為eq\f(4,100)＝0.04.19．(本小題滿(mǎn)分12分)甲、乙兩人玩一種嬉戲，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏．(1)若以A表示和為6的事務(wù)，求P(A)；(2)現(xiàn)連玩三次，若以B表示甲至少贏一次的事務(wù)，C表示乙至少贏兩次的事務(wù)，試問(wèn)B與C是否為互斥事務(wù)？為什么？(3)這種嬉戲規(guī)則公允嗎？試說(shuō)明理由．[解](1)甲、乙出手指都有5種可能，因此樣本點(diǎn)的總數(shù)為5×5＝25，事務(wù)A包括甲、乙出的手指的狀況有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)共5種狀況，∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B與C不是互斥事務(wù)．因?yàn)槭聞?wù)B與C可以同時(shí)發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事務(wù)即符合題意．(3)這種嬉戲規(guī)則不公允．由(1)知和為偶數(shù)的基本樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為13個(gè)．(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5).所以甲贏的概率為eq\f(13,25)，乙贏的概率為eq\f(12,25).所以這種嬉戲規(guī)則不公允．20．(本小題滿(mǎn)分12分)A、B兩個(gè)箱子分別裝有標(biāo)號(hào)為0、1、2的三種卡片，每種卡片的張數(shù)如表所示．(1)從A、B箱中各取1張卡片，用x表示取出的2張卡片的數(shù)字之積，求x＝2的概率；(2)從A、B箱中各取1張卡片，用y表示取出的2張卡片的數(shù)字之和，求x＝0且y＝2的概率．[解](1)記事務(wù)A＝{從A、B箱中各取1張卡片，2張卡片的數(shù)字之積等于2}．樣本點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為6×5＝30，事務(wù)A包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.由古典概型的概率公式得P(A)＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6).則x＝2的概率為eq\f(1,6).(2)記事務(wù)B＝{從A、B箱中各取1張卡片，其數(shù)字之和為2且積為0}．事務(wù)B包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.由古典概型的概率公式得P(B)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).則x＝0且y＝2的概率為eq\f(1,3).21．(本小題滿(mǎn)分12分)某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)S＝x＋y＋z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí)．若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：產(chǎn)品編號(hào)A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(biāo)(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)產(chǎn)品編號(hào)A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(biāo)(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表供應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；(2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品．①用產(chǎn)品編號(hào)列出全部可能的結(jié)果；②設(shè)事務(wù)B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事務(wù)B發(fā)生的[解](1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表：產(chǎn)品編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為eq\f(6,10)＝0.6，從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.(2)①在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的全部可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種.②在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號(hào)分別為A1，A2，A5，A7，則事務(wù)B發(fā)生的全部可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).22．(本小題滿(mǎn)分12分)某重點(diǎn)中學(xué)為了解高一年級(jí)學(xué)生身體發(fā)育狀況，對(duì)全校700名高一年級(jí)學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣檢查，測(cè)得身高(單位：cm)頻數(shù)分布表如表1、表2.表1：男生身高頻數(shù)分布表身高(cm)[