第92講、兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布（學(xué)生版）

[在此處鍵入]第92講兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一．兩點(diǎn)分布1、若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．注意：（1）兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為；（2）兩點(diǎn)分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．2、兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，．知識(shí)點(diǎn)二．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1、定義一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．2、特點(diǎn)（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；（2）每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．知識(shí)點(diǎn)三．二項(xiàng)分布1、定義一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）于是得到的分布列…………由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)（1）適用范圍：①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．3、二項(xiàng)分布的期望、方差若，則，．知識(shí)點(diǎn)四．超幾何分布1、定義在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．01……2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)（1）適用范圍：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．知識(shí)點(diǎn)四、正態(tài)曲線1、定義：我們把函數(shù)，（其中是樣本均值，是樣本標(biāo)準(zhǔn)差）的圖象稱為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．正態(tài)曲線呈鐘形，即中間高，兩邊低．2、正態(tài)曲線的性質(zhì)（1）曲線位于軸上方，與軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；（3）曲線在處達(dá)到峰值（最大值）；（4）曲線與軸之間的面積為1；（5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示：（6）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定．越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示：：甲乙知識(shí)點(diǎn)五、正態(tài)分布1、定義隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率為，即由正態(tài)曲線，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的兩條軸的垂線，及軸所圍成的平面圖形的面積，如下圖中陰影部分所示，就是落在區(qū)間的概率的近似值．一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)，，隨機(jī)變量滿足，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)，確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則記為．其中，參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．2、原則若，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，為下圖中陰影部分的面積，對(duì)于固定的和而言，該面積隨著的減小而變大．這說(shuō)明越小，落在區(qū)間的概率越大，即集中在周圍的概率越大特別地，有；；．由，知正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間之內(nèi)．而在此區(qū)間以外取值的概率只有，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，即為小概率事件．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，并簡(jiǎn)稱之為原則．【解題方法總結(jié)】1、超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽?。í?dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.2、在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值．如果服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的某些取值超出了這個(gè)范圍就說(shuō)明出現(xiàn)了意外情況．3、求正態(tài)變量在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法：（1）根據(jù)題目中給出的條件確定與的值．（2）將待求問(wèn)題向，，這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）利用在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．4、假設(shè)檢驗(yàn)的思想（1）統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想：根據(jù)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生的原則和從總體中抽測(cè)的個(gè)體的數(shù)值，對(duì)事先所作的統(tǒng)計(jì)假設(shè)作出判斷：是拒絕假設(shè)，還是接受假設(shè)．（2）若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則ξ落在區(qū)間內(nèi)的概率為，亦即落在區(qū)間之外的概率為，此為小概率事件．如果此事件發(fā)生了，就說(shuō)明不服從正態(tài)分布．（3）對(duì)于小概率事件要有一個(gè)正確的理解：小概率事件是指發(fā)生的概率小于的事件．對(duì)于這類事件來(lái)說(shuō)，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，平均每試驗(yàn)大約次，才發(fā)生1次，所以認(rèn)為在一次試驗(yàn)中該事件是幾乎不可能發(fā)生的．不過(guò)應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是這里的“幾乎不可能發(fā)生”是針對(duì)“一次試驗(yàn)”來(lái)說(shuō)的，如果試驗(yàn)次數(shù)多了，該事件當(dāng)然是很可能發(fā)生的；二是當(dāng)我們運(yùn)用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生的原理”進(jìn)行推斷時(shí)，也有犯錯(cuò)的可能性．必考題型全歸納題型一：兩點(diǎn)分布例1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7例3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有一個(gè)盒子里有1個(gè)紅球，現(xiàn)將（）個(gè)黑球放入盒子后，再?gòu)暮凶永镫S機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為個(gè)，則隨著（）的增加，下列說(shuō)法正確的是（

）A．減小，增加 B．增加，減小C．增加，增加 D．減小，減小變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布列服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．變式2．（2024·北京·高三專題練習(xí)）某高校“植物營(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.株高增量（單位：厘米）第1組雞冠花株數(shù)92092第2組雞冠花株數(shù)416164第3組雞冠花株數(shù)1312132假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說(shuō)明，當(dāng)越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某單位有員工50000人，一保險(xiǎn)公司針對(duì)該單位推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把該單位的所有崗位分為，，三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如餅圖所示，且這三類工種每年的賠付概率如下表所示：工種類別賠付概率對(duì)于，，三類工種，職工每人每年保費(fèi)分別為元?元?元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元?100萬(wàn)元?50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年20萬(wàn)元.(1)若保險(xiǎn)公司要求每年收益的期望不低于保費(fèi)的，證明：.(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供單位選擇：方案一：?jiǎn)挝徊慌c保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外后單位自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠付給出意外的職工，單位開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年35萬(wàn)元；方案二：?jiǎn)挝慌c保險(xiǎn)公司合作，，，單位負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，單位無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.根據(jù)該單位總支出的差異給出選擇合適方案的建議.變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為考察本科生基本學(xué)術(shù)規(guī)范和基本學(xué)術(shù)素養(yǎng)，某大學(xué)決定對(duì)各學(xué)院本科畢業(yè)論文進(jìn)行抽檢，初步方案是本科畢業(yè)論文抽檢每年進(jìn)行一次，抽檢對(duì)象為上一學(xué)年度授予學(xué)士學(xué)位的論文，初評(píng)階段，每篇論文送位同行專家進(jìn)行評(píng)審，位專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的畢業(yè)論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.位專家中有位專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將再送位同行專家（不同于前位）進(jìn)行復(fù)評(píng).復(fù)評(píng)階段，位復(fù)評(píng)專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為，且各篇畢業(yè)論文是否被判定為“不合格”相互獨(dú)立.(1)若，求每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”的概率是多少；(2)學(xué)校擬定每篇論文需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，則每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是多少？題型二：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來(lái)自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比賽中以取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒(méi)有并列)恰好來(lái)自不同校區(qū)的概率是多少？(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)便贏得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金.記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件A是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）例6．（2024·河南信陽(yáng)·高三信陽(yáng)高中?？茧A段練習(xí)）一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤(pán)游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤(pán)游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得分，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得50分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則獲得分，設(shè)備次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為.且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.(1)若一盤(pán)游戲中僅出現(xiàn)一次音樂(lè)的概率為，求的最大值點(diǎn)；(2)玩過(guò)這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤(pán)游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒(méi)有增加反而減少了.設(shè)每盤(pán)游戲的得分為隨機(jī)變量；請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.變式6．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒中有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所有的球除顏色外都相同.某人隨機(jī)選擇一個(gè)盒子，并從中隨機(jī)摸出2個(gè)球觀察顏色后放回，此過(guò)程為一次試驗(yàn).重復(fù)以上試驗(yàn)，直到某次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球時(shí)，停止試驗(yàn).(1)求一次試驗(yàn)中摸出2個(gè)紅球的概率；(2)在3次試驗(yàn)后恰好停止試驗(yàn)的條件下，求累計(jì)摸到2個(gè)紅球的概率.變式7．（2024·福建莆田·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏得3局的運(yùn)動(dòng)員獲勝，并結(jié)束比賽．設(shè)各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為．(1)求甲獲勝的概率；(2)設(shè)為結(jié)束比賽所需要的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．變式8．（2024·福建漳州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）甲、乙兩選手進(jìn)行一場(chǎng)體育競(jìng)技比賽，采用局n勝制（當(dāng)一選手先贏下n局比賽時(shí)，該選手獲勝，比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為.(1)若，，比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若比對(duì)甲更有利，求p的取值范圍.變式9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某企業(yè)包裝產(chǎn)品時(shí)，要求把2件優(yōu)等品和(，且)件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級(jí)相同則該箱產(chǎn)品記為，否則該箱產(chǎn)品記為.(1)試用含的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為的概率；(2)設(shè)抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，并求出最大值.【解題方法總結(jié)】（1）在解復(fù)雜的題目時(shí)，可利用“正難則反”的思想，通過(guò)考查原事件的對(duì)立事件來(lái)求其概率．（2）運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求概率，首先要分析問(wèn)題中涉及的試驗(yàn)是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若不符合條件，則不能應(yīng)用公式求解；在求次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率時(shí)，首先要確定好和的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．（3）解決這類實(shí)際問(wèn)題往往需把所求的概率的事件分拆為若干個(gè)事件，而這每個(gè)事件均為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．題型三：二項(xiàng)分布例7．（2024·福建莆田·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則.例8．（2024·江蘇常州·高三常州高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量，記，．在研究的最大值時(shí)，某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結(jié)論：若為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)這兩項(xiàng)概率均為最大值；若不為正整數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值．某同學(xué)重復(fù)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實(shí)時(shí)記錄點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)．當(dāng)投擲到第20次時(shí)，記錄到此時(shí)點(diǎn)數(shù)1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進(jìn)行80次投擲試驗(yàn)，則在這100次投擲試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)1總共出現(xiàn)的次數(shù)為的概率最大．例9．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量，若，則p的值為.變式10．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）假設(shè)某型號(hào)的每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，如有至少50%的引擎能正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行，若使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更為安全，則p的取值范圍是．變式11．（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有大小相同的球，其中有個(gè)黃球，個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出個(gè)球作為樣本，用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)若采取不放回摸球，當(dāng)，，，時(shí)，求的分布列；(2)若采取有放回摸球，當(dāng)，，，時(shí)，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體黃球的比例，求誤差不超過(guò)的概率(用分?jǐn)?shù)表示).變式12．（2024·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“雙減”政策執(zhí)行以來(lái)，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），分別位于區(qū)間，，，，，，用頻率分布直方圖表示如下，假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.(1)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間的概率；(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取人，記表示這人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式13．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲、乙兩位同學(xué)決定進(jìn)行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨(dú)立，經(jīng)商定共設(shè)定5個(gè)投籃點(diǎn)，每個(gè)投籃點(diǎn)投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個(gè)投籃點(diǎn)投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點(diǎn)順序依次投球，如投中可繼續(xù)進(jìn)行下一次投籃，如沒(méi)有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計(jì)得分高低確定勝負(fù)．(1)若乙得6分的概率，求；(2)由（1）問(wèn)中求得的值，判斷甲、乙兩位選手誰(shuí)獲勝的可能性大？變式14．（2024·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）艾倫·麥席森·圖靈提出的圖靈測(cè)試，指測(cè)試者與被測(cè)試者在隔開(kāi)的情況下，通過(guò)一些裝置（如鍵盤(pán)）向被測(cè)試者隨意提問(wèn)．已知在某一輪圖靈測(cè)試中有甲、乙、丙、丁4名測(cè)試者，每名測(cè)試者向一臺(tái)機(jī)器（記為）和一個(gè)人（記為）各提出一個(gè)問(wèn)題，并根據(jù)機(jī)器和人的作答來(lái)判斷誰(shuí)是機(jī)器，若機(jī)器能讓至少一半的測(cè)試者產(chǎn)生誤判，則機(jī)器通過(guò)本輪的圖靈測(cè)試．假設(shè)每名測(cè)試者提問(wèn)相互獨(dú)立，且甲、乙、丙、丁四人之間的提問(wèn)互不相同，而每名測(cè)試者有的可能性會(huì)向和問(wèn)同一個(gè)題．當(dāng)同一名測(cè)試者提出的兩個(gè)問(wèn)題相同時(shí)，機(jī)器被誤判的可能性為，當(dāng)同一名測(cè)試者提的兩個(gè)問(wèn)題不相同時(shí)，機(jī)器被誤判的可能性為．

(1)當(dāng)回答一名測(cè)試者的問(wèn)題時(shí)，求機(jī)器被誤判的概率；(2)按現(xiàn)有設(shè)置程序，求機(jī)器通過(guò)本輪圖靈測(cè)試的概率．變式15．（2024·廣西玉林·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）某醫(yī)藥企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款血液試劑進(jìn)行試生產(chǎn).(1)在試產(chǎn)初期，該款血液試劑的I批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測(cè)評(píng)估工序，包括智能自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知該款血液試劑在生產(chǎn)中，經(jīng)過(guò)前三道工序后的次品率為.第四道工序中智能自動(dòng)檢測(cè)為次品的血液試劑會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的血液試劑進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次I的血液試劑智能自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為98%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)血液試劑恰為合格品的概率；(2)已知切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對(duì)任意，均有.藥廠宣稱該血液試劑對(duì)檢測(cè)某種疾病的有效率為，現(xiàn)隨機(jī)選擇了100份血液樣本，使用該血液試劑進(jìn)行檢測(cè)，每份血液樣本檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，顯示有效的份數(shù)不超過(guò)60份，請(qǐng)結(jié)合切比雪夫不等式，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該企業(yè)的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信.變式16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中有8個(gè)白球?2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球.求：(1)有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差；(2)不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)的分布列?數(shù)學(xué)期望和方差.變式17．（2024·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）第四屆應(yīng)急管理普法知識(shí)競(jìng)賽線上啟動(dòng)儀式在3月21日上午舉行，為普及應(yīng)急管理知識(shí)，某高校開(kāi)展了“應(yīng)急管理普法知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，現(xiàn)從參加該競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取100名，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)（滿分100分），其中成績(jī)不低于80分的學(xué)生被評(píng)為“普法王者”，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)若該校參賽人數(shù)達(dá)20000人，請(qǐng)估計(jì)其中有多少名“普法王者”；(2)隨機(jī)從該高校參加競(jìng)賽的學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記其中“普法王者”人數(shù)為，用頻率估計(jì)概率，請(qǐng)你寫(xiě)出的分布列.變式18．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考三模）某企業(yè)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取個(gè)作為樣本，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和中位數(shù)；(2)已知某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了件該產(chǎn)品，用表示這件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率代替概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解題方法總結(jié)】1、二項(xiàng)分布求解隨機(jī)變量涉及“至少”“至多”問(wèn)題的取值概率，其實(shí)質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對(duì)立事件求概率．2、二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用是求次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率．解題的一般思路是：（1）根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；（2）分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；（3）找到參數(shù)，；（4）寫(xiě)出二項(xiàng)分布的分布列；（5）將值代入求解概率．題型四：超幾何分布例10．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品．若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品，其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件，都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時(shí)才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．則該商家拒收這批產(chǎn)品的概率是．例11．（2024·山東棗莊·統(tǒng)考二模）一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球．采取不放回摸球，從中隨機(jī)摸出22個(gè)球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)．當(dāng)最大時(shí)，．例12．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）莫高窟坐落在甘肅的敦煌，它是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、內(nèi)容最豐富的佛教藝術(shù)勝地，每年都會(huì)吸引來(lái)自世界各地的游客參觀旅游．已知購(gòu)買莫高窟正常參觀套票可以參觀8個(gè)開(kāi)放洞窟，在這8個(gè)洞窟中莫高窟九層樓96號(hào)窟、莫高窟三層樓16號(hào)窟、藏經(jīng)洞17號(hào)窟被譽(yù)為最值得參觀的洞窟．根據(jù)疫情防控的需要，莫高窟改為極速參觀模式，游客需從套票包含的開(kāi)放洞窟中隨機(jī)選擇4個(gè)進(jìn)行參觀，所有選擇中至少包含2個(gè)最值得參觀洞窟的概率是．變式19．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）袋中裝有10個(gè)除顏色外完全一樣的黑球和白球，已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是．現(xiàn)從該袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，則E(X)=．變式20．（2024·陜西商洛·陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某乒乓球隊(duì)訓(xùn)練教官為了檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100名學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計(jì)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到0.1）；(2)若采用分層抽樣的方法從評(píng)價(jià)指標(biāo)在和內(nèi)的學(xué)員中隨機(jī)抽取12名，再?gòu)倪@12名學(xué)員中隨機(jī)抽取5名學(xué)員，記抽取到學(xué)員的該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)指標(biāo)在內(nèi)的學(xué)員人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．變式21．（2024·湖南益陽(yáng)·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品，每批產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)之前，需要對(duì)其進(jìn)行檢測(cè)，現(xiàn)從某批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取9箱進(jìn)行檢測(cè)，其中有5箱為一等品.(1)若從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；(2)若從這9箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3箱，記表示抽到一等品的箱數(shù)，求的分布列和期望.變式22．（2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）人工智能（AI）是當(dāng)今科技領(lǐng)域最熱門的話題之一，某學(xué)校組織學(xué)生參加以人工智能（AI）為主題的知識(shí)競(jìng)賽，為了解該校學(xué)生在該知識(shí)競(jìng)賽中的情況，現(xiàn)采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了600名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450～950分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示．將分?jǐn)?shù)不低于850分的學(xué)生稱為“最佳選手”．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的中位數(shù)；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)落在，內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“最佳選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．變式23．（2024·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？家荒＃厥沂且圆晒飧采w材料作為全部或部分圍護(hù)結(jié)構(gòu)材料，具有透光、避雨、保溫、控溫等功能，可在冬季或其他不適宜露地植物生長(zhǎng)的季節(jié)供栽培植物的建筑，而溫室蔬菜種植技術(shù)是一種比較常見(jiàn)的技術(shù)，它具有較好的保溫性能，使人們?cè)谌魏螘r(shí)間都可吃到反季節(jié)的蔬菜，深受大眾喜愛(ài).溫室蔬菜生長(zhǎng)和蔬菜產(chǎn)品衛(wèi)生質(zhì)量要求的溫室內(nèi)土壤、灌溉水、環(huán)境空氣等環(huán)境質(zhì)量指標(biāo)，其溫室蔬菜產(chǎn)地環(huán)境質(zhì)量等級(jí)劃定如表所示.環(huán)境質(zhì)量等級(jí)土壤各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù)灌溉水各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù)環(huán)境空氣各單項(xiàng)或綜合質(zhì)量指數(shù)等級(jí)名稱清潔尚清潔超標(biāo)各環(huán)境要素的綜合質(zhì)量指數(shù)超標(biāo)，灌溉水、環(huán)境空氣可認(rèn)為污染，土壤則應(yīng)做進(jìn)一步調(diào)研，若確對(duì)其所影響的植物（生長(zhǎng)發(fā)育、可食部分超標(biāo)或用作飲料部分超標(biāo)）或周圍環(huán)境（地下水、地表水、大氣等）有危害，方能確定為污染.某鄉(xiāng)政府計(jì)劃對(duì)所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛，共個(gè)村發(fā)展溫室蔬菜種植，對(duì)各村試驗(yàn)溫室蔬菜壞境產(chǎn)地質(zhì)量監(jiān)測(cè)得到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

(1)若從這個(gè)村中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行調(diào)查，求抽取的個(gè)村應(yīng)對(duì)土壤做進(jìn)一步調(diào)研的概率；(2)現(xiàn)有一技術(shù)人員在這個(gè)村中隨機(jī)選取個(gè)進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，記為技術(shù)員選中村的環(huán)境空氣等級(jí)為尚清潔的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解題方法總結(jié)】1、隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取次；(2)隨機(jī)變量表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2、求超幾何分布的分布列的步驟（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；（3）列出分布列．題型五：二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2020年五一期間，銀泰百貨舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過(guò)600元(含600元)，均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到2個(gè)紅球和1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折；若摸出1個(gè)白球2個(gè)黑球，則打7折；其余情況不打折.方案二：從裝有10個(gè)形狀?大小完全相同的小球(其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè))的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？例14．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）4月23日是聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的“世界讀書(shū)日”．為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這500名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從這500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率；(2)為進(jìn)一步了解這500名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書(shū)閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高一學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有k名學(xué)生日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中，1，2，…，10．當(dāng)最大時(shí)，寫(xiě)出k的值．（只需寫(xiě)出結(jié)論）例15．（2024·全國(guó)·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校從全體師生中隨機(jī)抽取30位男生、30位女生、12位教師一起參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).(1)假設(shè)30位男生身高均不相同，記其身高的第80百分位數(shù)為，從學(xué)校全體男生中隨機(jī)選取3人，記為3人中身高不超過(guò)的人數(shù)，以頻率估計(jì)概率求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的72人中一次性隨機(jī)選出30位，記被選出的人中恰好有個(gè)男生的概率為，求使得取得最大值的的值.變式24．（2024·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽.為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)（單位：分），并以此為樣本繪制了如下頻率分布直方圖.

(1)求該100名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)；（結(jié)果保留整數(shù)）(2)從競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膬山M的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記競(jìng)賽成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從隨機(jī)抽取20名學(xué)生，用表示這20名學(xué)生中恰有名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，求.變式25．（2024·甘肅·統(tǒng)考一模）“稻草很輕，但是他迎著風(fēng)仍然堅(jiān)韌，這就是生命的力量，意志的力量”“當(dāng)你為未來(lái)付出踏踏實(shí)實(shí)努力的時(shí)候，那些你覺(jué)得看不到的人和遇不到的風(fēng)景都終將在你生命里出現(xiàn)”……當(dāng)讀到這些話時(shí)，你會(huì)切身體會(huì)到讀書(shū)破萬(wàn)卷給予我們的力量．為了解某普通高中學(xué)生的閱讀時(shí)間，從該校隨機(jī)抽取了名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到了這名學(xué)生一周的平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求的值；(2)為進(jìn)一步了解這名學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從周平均閱讀時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人，記周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生周平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的概率，其中．當(dāng)最大時(shí)，寫(xiě)出的值．變式26．（2024·內(nèi)蒙古·高三?？计谀╇娨晜髅焦緸榱私饽车貐^(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱為“體育迷”．將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．(1)現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取名觀眾，抽取次，記被抽取的名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為．若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)用分層抽樣的方法從這名“體育迷”中抽取名觀眾，再?gòu)某槿〉某槿∶^眾中隨機(jī)抽取名，表示抽取的是“體育迷”的人數(shù)，求的分布列．【解題方法總結(jié)】超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；而二項(xiàng)分布是“有放回”抽?。í?dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.題型六：正態(tài)密度函數(shù)例16．（2024·全國(guó)·高三競(jìng)賽）已知兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y滿足條件，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．設(shè)函數(shù)，則的圖像大致為（

）A．B．C．D．例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，例18．（2024·河南信陽(yáng)·高三河南宋基信陽(yáng)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某市期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，甲、乙、丙三科考試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說(shuō)法中正確的是（

）A．甲學(xué)科總體的均值最小B．乙學(xué)科總體的方差及均值都居中C．丙學(xué)科總體的方差最大D．甲、乙、丙的總體的均值不相同變式27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知連續(xù)型隨機(jī)變量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1)B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3)C．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3)D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2)變式28．（2024·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越大，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．越大，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【解題方法總結(jié)】求正態(tài)曲線的兩個(gè)方法（1）圖解法：明確頂點(diǎn)坐標(biāo)即可，橫坐標(biāo)為樣本的均值，縱坐標(biāo)為．（2）待定系數(shù)法：求出，便可．題型七：正態(tài)曲線的性質(zhì)例19．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）若隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．例20．（2024·湖北荊州·高三石首市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某校高二年級(jí)1600名學(xué)生參加期末統(tǒng)考，已知數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）．統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的．則此次統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為（

）A．80 B．100 C．120 D．200例21．（2024·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式29．（2024·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）南沿江高鐵即將開(kāi)通，某小區(qū)居民前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過(guò)市區(qū)，路程較短但交通擁擠，經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布；路線②騎共享單車到地鐵站，乘地鐵前往，路程長(zhǎng)，但意外阻塞較少，經(jīng)測(cè)算所需時(shí)間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布.該小區(qū)的甲乙兩人分別有分鐘與分鐘可用，要使兩人按時(shí)到達(dá)車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別為（

）A．①?① B．①?② C．②?① D．②?②變式30．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。喝绻星抑挥幸粋€(gè)是假命題，那么該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁變式31．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，則（

）A． B．C． D．題型八：正態(tài)曲線概率的計(jì)算例22．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)，且，那么的值是（

）A．p B． C． D．例23．（2024·重慶·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4例24．（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）研究人員采取普查的方式調(diào)查某市國(guó)企普通職工的收入情況，記被調(diào)查的職工的收入為X，統(tǒng)計(jì)分析可知，則（

）參考數(shù)據(jù)：若，則，，.A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84變式32．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）山東煙臺(tái)某地種植的蘋(píng)果按果徑（單位：）的大小分級(jí)，其中的蘋(píng)果為特級(jí)，且該地種植的蘋(píng)果果徑．若在某一次采摘中，該地果農(nóng)采摘了2萬(wàn)個(gè)蘋(píng)果，則其中特級(jí)蘋(píng)果的個(gè)數(shù)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，．，）A．3000 B．13654 C．16800 D．19946變式33．（2024·西藏林芝·?？寄M預(yù)測(cè)）據(jù)統(tǒng)計(jì)，在某次聯(lián)考中，考生數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，考生共50000人，估計(jì)數(shù)學(xué)單科分?jǐn)?shù)在130～150分的學(xué)生人數(shù)約為（

）（附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，）A．1070 B．2140 C．4280 D．6795變式34．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則，，.今有一批數(shù)量龐大的零件.假設(shè)這批零件的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)引單位：毫米）服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取N個(gè)，這N個(gè)零件中恰有K個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)ξ位于區(qū)間.若，試以使得最大的N值作為N的估計(jì)值，則N為（

）A．45 B．53 C．54 D．90變式35．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購(gòu)買一個(gè)面包．該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是1000g，上下浮動(dòng)不超過(guò)50g．這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差為50g的正態(tài)分布．假設(shè)面包師的說(shuō)法是真實(shí)的，記隨機(jī)購(gòu)買一個(gè)面包的質(zhì)量為X，若，則買一個(gè)面包的質(zhì)量大于900g的概率為（

）（附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；）A．0.84135 B．0.97225C．0.97725 D．0.99865變式36．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量近似服從正態(tài)分布，則用電量在320度以上的居民戶數(shù)估計(jì)約為（

）（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，）A．17 B．23 C．34 D．46變式37．（2024·寧夏銀川·六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)在R上單調(diào)遞增的概率為，且隨機(jī)變量．則等于（

）[附：若，則，．]A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413變式38．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則等于（

）A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.939變式39．（2024·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A．0.8 B．0.7 C．0.9 D．0.2變式40．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，如果，則（

）A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794【解題方法總結(jié)】1、正態(tài)分布下兩類常見(jiàn)的概率計(jì)算（1）利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，曲線與軸之間的面積為1．（2）利用原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的，進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于，，中的哪一個(gè)．2、正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略（1）充分利用正態(tài)曲線對(duì)稱性和曲線與軸之間面積為1．（2）熟記，，的值．題型九：根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性求參數(shù)例25．（2024·上海長(zhǎng)寧·高三上海市延安中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為.例26．（2024·上海寶山·上海交大附中?？既＃╇S機(jī)變量，，若，那么實(shí)數(shù)的值為.例27．（2024·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為.變式41．（2024·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知隨機(jī)變量，則的最小值為．變式42．（2024·重慶·統(tǒng)考三模）已知隨機(jī)變量，若，則．變式43．（2024·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）某工廠生產(chǎn)一批零件（單位：），其尺寸服從正態(tài)分布，且，，則．變式44．（2024·遼寧朝陽(yáng)·朝陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則的值是．變式45．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）某市高三年級(jí)男生的身高（單位：）近似服從正態(tài)分布，已知，若.寫(xiě)出一個(gè)符合條件的的值為.變式46．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高三統(tǒng)考期末）在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)得變量．ξ在內(nèi)取值的概率為，則ξ在內(nèi)取值的概率為．【解題方法總結(jié)】①；②；③若，則．特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于軸對(duì)稱，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線才關(guān)于軸對(duì)稱．題型十：正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用例28．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測(cè)（檢測(cè)分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績(jī)，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和80%分位數(shù);(2)若所有學(xué)生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績(jī)不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，例29．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某地區(qū)舉行專業(yè)技能考試，共有8000人參加，分為初試和復(fù)試，初試通過(guò)后方可參加復(fù)試．為了解考生的考試情況，隨機(jī)抽取了100名考生的初試成績(jī)繪制成如圖所示的樣本頻率分布直方圖．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的平均數(shù)；(2)若所有考生的初試成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，，試估計(jì)所有考生中初試成績(jī)不低于80分的人數(shù)；(3)復(fù)試共四道題，前兩道題考生每題答對(duì)得5分，答錯(cuò)得0分，后兩道題考生每題答對(duì)得10分，答錯(cuò)得0分，四道題的總得分為考生的復(fù)試成績(jī)．已知某考生進(jìn)入復(fù)試，他在復(fù)試中前兩題每道題能答對(duì)的概率均為，后兩題每道題能答對(duì)的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響．記該考生的復(fù)試成績(jī)?yōu)?，?附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，.例30．（2024·山東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會(huì)越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個(gè)零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）零件個(gè)數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布，，分別為這100個(gè)零件的直徑的平均數(shù)及方差（同一組區(qū)間的直徑尺寸用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.(1)分別求，的值；(2)試估計(jì)這批零件直徑在的概率；(3)隨機(jī)抽查2000個(gè)零件，估計(jì)在這2000個(gè)零件中，零件的直徑在的個(gè)數(shù).參考數(shù)據(jù)：；若隨機(jī)變量，則，，.變式47．（2024·山東臨沂·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在“飛彩鐫流年”文藝匯演中，諸位參賽者一展風(fēng)采，奉上了一場(chǎng)舞與樂(lè)的盛宴．現(xiàn)從2000位參賽者中隨機(jī)抽取40位幸運(yùn)嘉賓，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)．(1)若所有參賽者年齡X服從正態(tài)分布，請(qǐng)估計(jì)參賽者年齡在30歲以上的人數(shù)；(2)若該文藝匯演對(duì)所有參賽者的表演作品進(jìn)行評(píng)級(jí)，每位參賽者只有一個(gè)表演作品且每位參賽者作品有的概率評(píng)為A類，的概率評(píng)為B類，每位參賽者作品的評(píng)級(jí)結(jié)果相互獨(dú)立．記上述40位幸運(yùn)嘉賓的作品中恰有2份A類作品的概率為，求的極大值點(diǎn)；(3)以（2）中確定的作為a的值，記上述幸運(yùn)嘉賓的作品中的A類作品數(shù)為Y，若對(duì)這些幸運(yùn)嘉賓進(jìn)行頒獎(jiǎng)，現(xiàn)有兩種頒獎(jiǎng)方式：甲：A類作品參賽者獲得1000元現(xiàn)金，B類作品參賽者獲得100元現(xiàn)金；乙：A類作品參賽者獲得3000元現(xiàn)金，B類作品參賽者不獲得現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)．根據(jù)獎(jiǎng)金期望判斷主辦方選擇何種頒獎(jiǎng)方式，成本可能更低．附：若，則．變式48．（2024·福建廈門·廈門一中?？级＃┓▏?guó)數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購(gòu)買一個(gè)面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是，上下浮動(dòng)不超過(guò).這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布.(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)據(jù)，記這k個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機(jī)變量，利用該結(jié)論解決下面問(wèn)題.（i）假設(shè)面包師的說(shuō)法是真實(shí)的，隨機(jī)購(gòu)買25個(gè)面包，記隨機(jī)購(gòu)買25個(gè)面包的平均值為Y，求；（ii）龐加萊每天都會(huì)將買來(lái)的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過(guò)分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說(shuō)明龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包有2個(gè)；第二箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包.求取出黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生.變式49．（2024·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，并從中抽取了200份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200份試卷的成績(jī)（卷面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．(1)用樣本估計(jì)總體，求此次知識(shí)競(jìng)賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．(2)可以認(rèn)為這次競(jìng)賽成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N，2（用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差s分別作為、的近似值），已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差s7.36，如有84%的學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的平均分約為多少？（結(jié)果取整數(shù)）(3)從得分區(qū)間80，90和90，100的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再?gòu)倪@10份樣本中隨機(jī)抽測(cè)3份試卷，若已知抽測(cè)的3份試卷來(lái)自于不同區(qū)間，求抽測(cè)3份試卷有2份來(lái)自區(qū)間80，90的概率．參考數(shù)據(jù)：若X~N，2

，則PX0.68，P2X20.95，P3X30.99.變式50．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)勝利召開(kāi)之際，結(jié)合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中繼續(xù)開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育．為了配合這次學(xué)黨史活動(dòng)，某地組織全體黨員干部參加黨史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從參加入員中隨機(jī)抽取100人，并對(duì)他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列及期望．(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識(shí)競(jìng)賽人員的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算．現(xiàn)從所有參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識(shí)競(jìng)賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨(dú)立，試問(wèn)這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少?參考數(shù)據(jù)：，，，．變式51．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）N95型口罩是新型冠狀病毒的重要防護(hù)用品，它對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率達(dá)到95%以上．某防護(hù)用品生產(chǎn)廠生產(chǎn)的N95型口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率服從正態(tài)分布．(1)當(dāng)質(zhì)檢員隨機(jī)抽檢10只口罩，測(cè)量出一只口罩對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率為93．6%時(shí)，他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備和工人工作情況．請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)知識(shí)，判斷該質(zhì)檢員的要求是否有道理，并說(shuō)明判斷的依據(jù)．(2)該廠將對(duì)空氣動(dòng)力學(xué)直徑的顆粒的過(guò)濾效率達(dá)到95．1%以上的N95型口罩定義為“優(yōu)質(zhì)品”．（ⅰ）求該企業(yè)生產(chǎn)的一只口罩為“優(yōu)質(zhì)品”的概率；（ⅱ）該企業(yè)生產(chǎn)了1000只這種N95型口罩，且每只口罩互相獨(dú)立，記為這1000只口罩中“優(yōu)質(zhì)品”的件數(shù)，當(dāng)為多少時(shí)可能性最大（即概率最大）？題型十一：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用例31．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2024年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.(1)令，則，且，求，并證明：；(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問(wèn)題.（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考數(shù)據(jù)：，則，，.例32．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：年高考總成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級(jí)，參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績(jī)，．(1)若規(guī)定等級(jí)、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測(cè)試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．附：當(dāng)時(shí)，，．例33．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2021年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8萬(wàn)多人，2020年7月份以來(lái)，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過(guò)150萬(wàn)小時(shí)，為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．(1)估計(jì)這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長(zhǎng)X服從正態(tài)分布，其