第91講、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（學(xué)生版）

[在此處鍵入]第91講離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征知識梳理知識點(diǎn)一．離散型隨機(jī)變量的分布列1、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗(yàn)結(jié)果都用一個確定的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．注意：（1）一般地，如果一個試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪個結(jié)果．這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)．（2）有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．2、離散型隨機(jī)變量對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．注意：（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個值．（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個值的概率，以表格的形式表示如下：我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時(shí)為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1），；（2）．注意：①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機(jī)變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．知識點(diǎn)二．離散型隨機(jī)變量的均值與方差1、均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個重要特征；（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．2、均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3、方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越?。唬?）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．4、方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．必考題型全歸納題型一：離散型隨機(jī)變量例1．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個白球、3個黑球，從中任取2個，則可以作為隨機(jī)變量的是（

）A．至少取到1個白球 B．取到白球的個數(shù)C．至多取到1個白球 D．取到的球的個數(shù)例3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）下面是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．電燈泡的使用壽命B．小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值D．一個在軸上隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）對一批產(chǎn)品逐個進(jìn)行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗(yàn)結(jié)果為()A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品變式3．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的可能取值為()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列例4．（2024·全國·高三對口高考）數(shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱有一個“巧合”，求“巧合”個數(shù)的分布列．例5．（2024·全國·高三對口高考）假如一段樓梯有11個臺階，現(xiàn)規(guī)定每步只能跨1個或2個臺階，則某人走完這段樓梯的單階步數(shù)的分布列是．例6．（2024·全國·高三對口高考）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)0，兩個面上標(biāo)以數(shù)1，一個面上標(biāo)以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的分布列是．變式4．（2024·全國·高三對口高考）甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的分布列是．變式5．（2024·全國·高考真題）從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有個紅球，則隨機(jī)變量的概率分布為：．012變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布為，則．變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）將3個小球任意地放入4個大玻璃杯中，一個杯子中球的最多個數(shù)記為X，則X的分布列是.變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)ξ為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1，則隨機(jī)變量ξ的分布列為．【解題方法總結(jié)】求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：（1）審題（2）計(jì)算計(jì)算隨機(jī)變量取每一個值的概率（3）列表列出分布列，并檢驗(yàn)概率之和是否為.（4）求解根據(jù)均值、方差公式求解其值.題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)例7．（2024·江西吉安·高三江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且，，那么.例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：12345678910給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，；②當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，公差；③當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，；④當(dāng)數(shù)列滿足時(shí)，時(shí)，.其中所有正確結(jié)論的序號是.例9．（2024·全國·高三對口高考）某一隨機(jī)變量的概率分布如下表，且，則的值為．0123P0.2mn0.3變式9．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，其分布列為123若，則.變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為01則常數(shù)．變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列，則.變式12．（2024·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）隨機(jī)變量的分布列如下列表格所示，其中為的數(shù)學(xué)期望，則.123450.10.20.30.1變式13．（2024·廣東汕頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的公差為，隨機(jī)變量滿足，則的取值范圍為.變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X02aP0.20.4b若，則正整數(shù)a＝．【解題方法總結(jié)】離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用（1）利用“總概率之和為”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質(zhì)及，判斷所求的分布列是否正確．題型四：離散型隨機(jī)變量的均值例10．（2024·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）2022年10月16日至22日中共二十大在北京召開，二十大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持科技是第一生產(chǎn)力，人才是第一資源，創(chuàng)新是第一動力，這其實(shí)是我黨的一貫政策．某材料學(xué)博士畢業(yè)時(shí)恰逢國家大力倡導(dǎo)“開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢”，于是同一幫志同道合的博士同學(xué)，在老家創(chuàng)辦新材料公司，專注于二氧化硅、碳纖維增強(qiáng)陶瓷基、樹脂基三大類復(fù)合材料的研發(fā)與生產(chǎn)，預(yù)計(jì)到今年年底這三大類復(fù)合材料盈利100萬元的概率分別為0.8，0.5，0.4，若三大類復(fù)合材料到今年年底是否盈利100萬元相互獨(dú)立，記三大類復(fù)合材料有X類到今年年底盈利100萬元，則的數(shù)學(xué)期望．例11．（2024·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）一個袋中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5，從中任取3個，用X表示取出的3個球中最大編號，則．例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張.1張彩票中獎金額的均值是元.變式15．（2024·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測）一個盒子里有1個紅球和2個綠球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出綠球的個數(shù)為，則.變式16．（2024·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)在上學(xué)的路上要經(jīng)過3個十字路口，在每個路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，設(shè)該同學(xué)在三個路口遇到紅燈的概率分別為，，.(1)求該同學(xué)在上學(xué)路上恰好遇到一個紅燈的概率；(2)若該同學(xué)在上學(xué)路上每遇到1個紅燈，到校打卡時(shí)間就會比規(guī)定打卡時(shí)間晚48秒，記該同學(xué)某天到校打卡時(shí)間比規(guī)定時(shí)間晚秒，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.變式17．（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）小李參加某項(xiàng)專業(yè)資格考試，一共要考3個科目，若3個科目都合格，則考試直接過關(guān)；若都不合格，則考試不過關(guān)；若有1個或2相科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，補(bǔ)考都合格的考試過關(guān)，否則不過關(guān)．已知小李每個科目每次考試合格的概率均為p（），且每個科目每次考試的結(jié)果互不影響．(1)記“小李恰有1個科目需要補(bǔ)考”的概率為，求的最大值點(diǎn)．(2)以（1）中確定的作為p的值．（?。┣笮±钸@項(xiàng)資格考試過關(guān)的概率；（ⅱ）若每個科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，將小李需要繳納的費(fèi)用記為X元，求．變式18．（2024·河南開封·高三通許縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個小球，其中有3個白色小球，2個紅色小球，每次游戲雙方從袋中輪流摸出1個小球，摸后不放回，摸到第2個紅球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲，且本次游戲中輸?shù)舻娜嗽谙乱淮斡螒蛑邢让颍『托垳?zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小胡先摸球．(1)在第一次游戲中，求在小胡第一輪摸到白球的情況下，小胡獲勝的概率；(2)記3次游戲中小胡獲勝的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．變式19．（2024·河北保定·統(tǒng)考二模）某學(xué)校為了提高學(xué)生的運(yùn)動興趣，增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，該校每年都要進(jìn)行各年級之間的球類大賽，其中乒乓球大賽在每年“五一”之后舉行，乒乓球大賽的比賽規(guī)則如下：高中三個年級之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，每個年級各派5名同學(xué)按順序比賽（賽前已確定好每場的對陣同學(xué)），比賽時(shí)一個年級領(lǐng)先另一個年級兩場就算勝利（即每兩個年級的比賽不一定打滿5場），若兩個年級之間打成則第5場比賽定勝負(fù)．已知高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高二相應(yīng)對手的可能性均為，高三每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，高二每位隊(duì)員戰(zhàn)勝高一相應(yīng)對手的可能性均為，且隊(duì)員、年級之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．(1)求高二年級與高一年級比賽時(shí)，高二年級與高一年級在前兩場打平的條件下，最終戰(zhàn)勝高一年級的概率．(2)若獲勝年級積3分，被打敗年級積0分，求高三年級獲得積分的分布列和期望．變式20．（2024·福建龍巖·統(tǒng)考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起體育運(yùn)動和文化項(xiàng)目比賽，經(jīng)過角逐，甲、乙兩人進(jìn)入最后的決賽．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及；(2)記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．題型五：離散型隨機(jī)變量的方差例13．（2024·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：其中成等差數(shù)列，若，則方差.-101例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）離散型隨機(jī)變量X的分布為：01245若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為．①；②；③；④．例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩種零件某次性能測評的分值，的分布如下，則性能更穩(wěn)定的零件是．8910P0.30.20.58910P0.20.40.4變式21．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量的分布如下表：02Pab若隨機(jī)變量的期望值，則．變式22．（2024·全國·高三對口高考）隨機(jī)變量的分布列如下表：nn＋1n＋2Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則的最大值為.變式23．（2024·全國·高三對口高考）隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則.X－101Pab變式24．（2024·北京西城·高三北京市第三十五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了解某中學(xué)高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，對高一年級的(1)班(8)班進(jìn)行了抽測，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽10名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班10名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下（軸表示對應(yīng)的班號，軸表示對應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）：

(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測高一年級學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級學(xué)生中任意抽測1人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（2）班和高一（4）班的學(xué)生中各抽出1人，設(shè)表示2人中身體素質(zhì)監(jiān)測成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)每個班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的10名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取1名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀（）．寫出方差的大小關(guān)系（不必寫出證明過程）．變式25．（2024·遼寧沈陽·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場比賽甲獲勝的概率；(2)這場比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字）；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算這場比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.變式26．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xPp若，(1)求的值;(2)若，求的值.變式27．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）巴蜀中學(xué)進(jìn)行90周年校慶知識競賽，參賽的同學(xué)需要從10道題中隨機(jī)地抽取4道來回答，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得10分，回答不正確得分.(1)已知甲同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；(2)已知乙同學(xué)能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列.變式28．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）小王去自動取款機(jī)取款，發(fā)現(xiàn)自己忘記了6位密碼的最后一位數(shù)字，他決定從0~9中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試，直到輸對密碼，或者輸錯三次銀行卡被鎖定為止．(1)求小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設(shè)小王嘗試輸入該銀行卡密碼的次數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．變式29．（2024·福建寧德·高三福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍，已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布列與期望.(3)設(shè)用表示甲學(xué)校的總得分，比較和的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）.變式30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當(dāng)屬由兩位俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．馬爾科夫不等式的形式如下：設(shè)為一個非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對任意，均有，馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：設(shè)的分布列為其中，則對任意，，其中符號表示對所有滿足的指標(biāo)所對應(yīng)的求和．切比雪夫不等式的形式如下：設(shè)隨機(jī)變量的期望為，方差為，則對任意，均有(1)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機(jī)變量成立．(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為．現(xiàn)隨機(jī)選擇了100名患者，經(jīng)過使用該藥治療后，治愈的人數(shù)為60人，請結(jié)合切比雪夫不等式通過計(jì)算說明藥廠的宣傳內(nèi)容是否真實(shí)可信．【解題方法總結(jié)】均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機(jī)變量，則一般仍是隨機(jī)變量，在求的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運(yùn)算．題型六：決策問題例16．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）為切實(shí)做好新冠疫情防控工作，有效、及時(shí)地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學(xué)生對新冠肺炎預(yù)防知識的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識競賽.競賽分個人賽和團(tuán)體賽兩種.個人賽參賽方式為：組委會采取電腦出題的方式，從題庫中隨機(jī)出10道題，編號為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對一道題得10分，答錯得0分.團(tuán)體賽以班級為單位，各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團(tuán)體賽分預(yù)賽和決賽兩個階段，其中預(yù)賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：方案一：將班級選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機(jī)分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨(dú)立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個小組都順利出線，則該班級晉級決賽.方案二：將班級選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機(jī)分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨(dú)立答題，若這個人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個小組中至少有2個小組順利出線，則該班級晉級決賽.(1)郭靖同學(xué)參加了個人賽，已知郭靖同學(xué)答對題庫中每道題的概率均為，每次作答結(jié)果相互獨(dú)立，且他不會主動放棄任何一次作答機(jī)會，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差；(2)在團(tuán)體賽預(yù)賽中，假設(shè)A班每位參賽選手答對試題的概率均為常數(shù)，A班為使晉級團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？請說明理由.例17．（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從2024年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項(xiàng)選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項(xiàng)，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項(xiàng)選題的正確答案是兩個選項(xiàng)的概率為，正確答案是三個選項(xiàng)的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨(dú)立解題.(2)對于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項(xiàng)是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項(xiàng)是不符合題意的，作答時(shí)，應(yīng)選擇幾個選項(xiàng)才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.例18．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某水果店的草莓每盒進(jìn)價(jià)20元，售價(jià)30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的價(jià)格全部處理完.店長為了決策每兩天的進(jìn)貨量，統(tǒng)計(jì)了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/十盒78910天數(shù)812164假設(shè)草莓每日銷量相互獨(dú)立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X（單位：十盒），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以兩天內(nèi)銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天進(jìn)16十盒，17十盒兩種方案中應(yīng)選擇哪種？變式31．（2024·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）甲乙兩家公司要進(jìn)行公開招聘，招聘分為筆試和面試，通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩家公司的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立，若小明報(bào)考甲公司，每門科目通過的概率均為；報(bào)考乙公司，每門科目通過的概率依次為，，其中．(1)若，分別求出小明報(bào)考甲、乙兩公司在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；(2)招聘規(guī)則要求每人只能報(bào)考一家公司，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)小明更希望通過乙公司的筆試時(shí)，求的取值范圍．變式32．（2024·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）．若將這100臺機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)．(1)求的分布；(2)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與18之中選其一，應(yīng)選用哪個？并說明理由．變式33．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測）人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術(shù)科學(xué)，被認(rèn)為是21世紀(jì)最重要的尖端科技之一，其理論和技術(shù)正在日益成熟，應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.人工智能背后的一個基本原理：首先確定先驗(yàn)概率，然后通過計(jì)算得到后驗(yàn)概率，使先驗(yàn)概率得到修正和校對，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策.基于這一基本原理，我們可以設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ停挥型耆嗤募?、乙兩個袋子，袋子有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球乙袋中有2個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球，稱為一次試驗(yàn).若多次試驗(yàn)直到摸出紅球，則試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次試驗(yàn)選到甲袋或乙袋的概率均為（先驗(yàn)概率）.(1)求首次試驗(yàn)結(jié)束的概率；(2)在首次試驗(yàn)摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗(yàn)概率）進(jìn)行調(diào)整.①求選到的袋子為甲袋的概率，②將首次試驗(yàn)摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次試驗(yàn)時(shí)有如下兩種方案；方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計(jì)算，說明選擇哪個方案第二次試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.變式34．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）強(qiáng)基計(jì)劃?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立，若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為；該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，，m，其中．(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作決策，當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時(shí)，求m的取值范圍．變式35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元，現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到其頻數(shù)分布圖（如圖所示）.若將這100臺機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)的頻率視為1臺機(jī)器在三年內(nèi)更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示