第4講、基本不等式及其應(yīng)用（學(xué)生版）

[在此處鍵入]第4講基本不等式及其應(yīng)用知識(shí)梳理1、基本不等式如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；基本不等式2：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．【解題方法總結(jié)】1、幾個(gè)重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”）．特例：（同號(hào)）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式）③（溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式）④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．必考題型全歸納題型一：基本不等式及其應(yīng)用【解題方法總結(jié)】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)證．例1．（2024·遼寧·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．例2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（

）A． B．C． D．例3．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設(shè)，求的最小值；解答過程：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，把代入得最小值為4．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)題型二：直接法求最值【解題方法總結(jié)】直接利用基本不等式求解，注意取等條件．例4．（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）若，，且，則的最大值為______．例5．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若，，且，則的最小值是____________．例6．（2024·天津南開·統(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)，則的最小值為___________.題型三：常規(guī)湊配法求最值【解題方法總結(jié)】1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗(yàn)證取得條件．例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的最小值為___________.例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為__________.例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，則的最小值為______例10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，則的最小值為_________．題型四：消參法求最值【解題方法總結(jié)】消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！例11．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．6例12．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，，則的最小值為___________.例13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，滿足，則的最小值是______．題型五：雙換元求最值【解題方法總結(jié)】若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對(duì)于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、注意驗(yàn)證取得條件．例14．（2024·浙江省江山中學(xué)高三期中）設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．例15．（2024·天津南開·一模）若，，，，則的最小值為______．例16．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則取到最小值為________．題型六：“1”的代換求最值【解題方法總結(jié)】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形．1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、注意驗(yàn)證取得條件．例17．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）若直線過點(diǎn)，則的最小值為______．例18．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最小值為__________.例19．（2024·湖南衡陽(yáng)·高三?？计谥校┮阎?，且，則的最小值為______.例20．（2024·山東青島·高三山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________.題型七：齊次化求最值【解題方法總結(jié)】齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a，b，c，，則的最小值為_______________．例22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為______．例23．（2024·天津紅橋·高三天津市復(fù)興中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則的最大值是____________.題型八：利用基本不等式證明不等式【解題方法總結(jié)】類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明．例24．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：例25．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x，y，z為正數(shù)，證明：(1)若，則；(2)若，則．例26．（2024·四川廣安·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若的解集為．(1)求實(shí)數(shù)，的值；(2)已知均為正數(shù)，且滿足，求證：．題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題【解題方法總結(jié)】1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題．2、注意定義域，驗(yàn)證取得條件．3、注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．例27．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開，本屆大會(huì)以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國(guó)家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本(元)與月處理量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則需要國(guó)家至少補(bǔ)貼多少元才能使單位不虧損？例28．（2024·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品．已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．(1)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？(2)該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本最低是多少元？例29．（2024·湖北孝感·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）截至年月日，全國(guó)新型冠狀病毒的感染人數(shù)突破人疫情嚴(yán)峻，請(qǐng)同學(xué)們利用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題.(1)我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段已知這種新藥在注射停止后的血藥含量（單位：）隨著時(shí)間（單位：）.的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于時(shí)才會(huì)對(duì)新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對(duì)病人有療效的時(shí)長(zhǎng)大約為多少小時(shí)？（精確到，參考數(shù)據(jù)：，）(2)為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個(gè)房間是長(zhǎng)方體，且有一面靠墻，底面積為平方米，側(cè)面長(zhǎng)為米，且不超過，房高為米.房屋正面造價(jià)元平方米，側(cè)面造價(jià)元平方米.如果不計(jì)房屋背面、屋頂和地面費(fèi)用，則側(cè)面長(zhǎng)為多少時(shí)，總價(jià)最低？題型十：與、平方和、有關(guān)問題的最值【解題方法總結(jié)】利用基本不等式變形求解例30．（多選題）（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．例31．（多選題）（20