第78講、參數(shù)范圍與最值（教師版）

第78講參數(shù)范圍與最值知識(shí)梳理1、求最值問題常用的兩種方法（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來解決，這是幾何法．（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．2、求參數(shù)范圍問題的常用方法構(gòu)建所求幾何量的含參一元函數(shù)，形如，并且進(jìn)一步找到自變量范圍，進(jìn)而求出值域，即所求幾何量的范圍，常見的函數(shù)有：（1）二次函數(shù)；（2）“對(duì)勾函數(shù)”；（3）反比例函數(shù)；（4）分式函數(shù)．若出現(xiàn)非常規(guī)函數(shù)，則可考慮通過換元“化歸”為常規(guī)函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解決．這里找自變量的取值范圍在或者換元的過程中產(chǎn)生．除此之外，在找自變量取值范圍時(shí)，還可以從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍．②利用已知參數(shù)的范圍，求出新參數(shù)的范圍，解題的關(guān)鍵是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系．③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．④利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．必考題型全歸納題型一：弦長(zhǎng)最值問題例1．（2024·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校┮阎獔A的任意一條切線l與橢圓都有兩個(gè)不同交點(diǎn)A，B（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求圓O半徑r的取值范圍；（2）是否存在圓O，使得恒成立？若存在，求出圓O的方程及的最大值；若不存在，說明理由.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，圓在橢圓內(nèi)部，切點(diǎn)在橢圓內(nèi)，圓的每一條切線都過橢圓內(nèi)部的點(diǎn)，切線與橢圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，圓的切線和都和橢圓最多只有一個(gè)公共點(diǎn)，不滿足題意；故的取值范圍是.（2）當(dāng)圓的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線為，設(shè)，由消去得：，則，，則，由得，即，，又由與圓相切得，即，解得，此時(shí)圓的方程為.當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，上述圓的切線為或，這兩條切線與橢圓的交點(diǎn)為，或，，也滿足，故滿足條件的圓存在，其方程為.當(dāng)切線斜率存在且不等于時(shí)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；當(dāng)切線斜率不存在或等于時(shí)，，則，又，故，則.例2．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在軸上滑動(dòng)，點(diǎn)B在軸上滑動(dòng)，A、B兩點(diǎn)間距離為．點(diǎn)P滿足，且點(diǎn)P的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設(shè)M，N是C上的不同兩點(diǎn)，直線MN斜率存在且與曲線相切，若點(diǎn)F為，那么的周長(zhǎng)是否有最大值．若有，求出這個(gè)最大值，若沒有，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,．由題意，得則，，又因?yàn)?、兩點(diǎn)間距離為，則整理得點(diǎn)的軌跡為橢圓，其方程：．（2）因?yàn)橹本€的斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線：，因?yàn)?，是橢圓上的不同兩點(diǎn)，所以由直線與曲線相切可得，得，聯(lián)立可得，所以，，所以，∵，同理所以的周長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)，（法一）由設(shè)，則，，當(dāng)，即時(shí)，最大值為．此時(shí)，，所以，即或，此時(shí)直線：或，所以的周長(zhǎng)最大值為．（法二）當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則或，此時(shí)直線：或，所以的周長(zhǎng)最大值為．例3．（2024·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）在橢圓）中，，過點(diǎn)與的直線的斜率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，求的最大值.【解析】（1）過點(diǎn)與的直線的斜率為，所以，即，又，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）由題知，作出圖形如圖所示設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為.當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的方程是；當(dāng)時(shí)，直線的方程是，也符合的形式，將直線的方程代入橢圓方程得，且，設(shè)，則.所以又，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，由，解得，所以的最大值為.變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．(1)若，求證：；(2)過點(diǎn)作直線的垂線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．求的最大值．【解析】（1）證明：設(shè)、，因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，解得．又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.因?yàn)橹本€經(jīng)過、，，所以，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，由，得，.

所以，，因此，.（2）證明：若直線、中兩條直線分別與兩條坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條必與直線平行，不合乎題意，所以，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線方程為，則直線方程為，其中．聯(lián)立可得，設(shè)、，則，由韋達(dá)定理可得，，易知且，將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為.變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn).(1)求橢圓的的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線，的斜率分別為，，且，求的最小值.【解析】（1）由題知，橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得，，因?yàn)橹本€與橢圓交于，兩點(diǎn)，由題可知，直線斜率為0時(shí)，，所以直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立方程，得，所以，，所以，解得，此時(shí)恒成立，所以直線的方程為直線，直線過定點(diǎn)，此時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為3.變式3．（2024·江西南昌·統(tǒng)考一模）已知雙曲線（b＞a＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且.求|OP|2+|OQ|2的最小值.【解析】（1）由，可得，∴，∴雙曲線方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，解得，∴雙曲線的方程為．

（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由消去整理得，∵直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，∴．設(shè)，，則，由得到：，即，∴，化簡(jiǎn)得．∴，當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)，且方程（*）有解．②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則有，由可得，可得，解得.∴．∴．綜上可得的最小值是24．題型二：三角形面積最值問題例4．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）不妨設(shè)的坐標(biāo)為，則，則，又、，則.故可得，可得，故可得橢圓的方程為.（2）因?yàn)椋?、均為非零向量，則.當(dāng)點(diǎn)、均為橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，則；若直線、的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，同理可得，此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，的面積存在最小值，且最小值為.例5．（2024·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，分別是矩形四邊的中點(diǎn)，，.(1)求直線與直線交點(diǎn)的軌跡方程；(2)過點(diǎn)任作直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，直線與直線的交點(diǎn)為，求面積的最小值.【解析】（1）由已知，，，，當(dāng)時(shí)，直線方程：，直線方程：，聯(lián)立上述兩方程消去得：，當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)符合上述方程，又交點(diǎn)不可能為，故所求的軌跡方程為且.（2）設(shè)方程：（依題意存在，代入得，，設(shè)，，，方程：，方程：，聯(lián)立上述兩方程消去得：.，所以，其中，同理直線與直線的交點(diǎn)，其中，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），故的面積最小值為，此時(shí)直線的方程為.例6．（2024·上海黃浦·高三上海市大同中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)，求證：過點(diǎn)P的橢圓C的切線方程為；(3)若點(diǎn)M為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作該橢圓的切線MA，MB，切點(diǎn)分別為，求△的面積的最小值．【解析】（1）橢圓中，，則，則，則橢圓的離心率為（2）當(dāng)切線斜率存在時(shí)，其方程可設(shè)為，由，整理得，則，則此時(shí)方程的根為，則切點(diǎn)橫坐標(biāo)，切點(diǎn)縱坐標(biāo)，則，，則切線方程為，整理得；當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，其切點(diǎn)為或，切線方程為，滿足.綜上，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)P的橢圓C的切線方程為（3）設(shè)，，則橢圓C在點(diǎn)的切線方程分別為，，又在兩條切線上，則，，則直線的方程為，即由整理得，，則，則，又點(diǎn)M到直線的距離，則△的面積為令，則，，則，令，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，則當(dāng)且僅當(dāng)即點(diǎn)M坐標(biāo)為時(shí)等號(hào)成立，則△的面積的最小值為.變式4．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線：和圓：（其中原點(diǎn)為圓心），過雙曲線上一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、．（1）若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，求雙曲線離心率的取值范圍；（2）求直線的方程；（3）求三角形面積的最大值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以．由及圓的性質(zhì)，可知四邊形是正方形，所以．因?yàn)椋?，所以．故雙曲線離心率的取值范圍為．（2）因?yàn)椋砸渣c(diǎn)為圓心，為半徑的圓的方程為．因?yàn)閳A與圓兩圓的公共弦所在的直線即為直線，所以聯(lián)立方程組，消去，，即得直線的方程為．（3）由（2）知，直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為．因?yàn)椋匀切蔚拿娣e．：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即．設(shè)，所以．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，．綜上可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．變式5．（2024·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）已知拋物線為拋物線上四點(diǎn)，點(diǎn)在軸左側(cè)，滿足.(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為.證明：直線與軸垂直；(3)設(shè)圓，若點(diǎn)為圓上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最大值.【解析】（1）因?yàn)樗?，所以?zhǔn)線是焦點(diǎn)坐標(biāo)是.（2）設(shè)，由可知，為中點(diǎn)，且點(diǎn)在拋物線上，即又，整理可得：，由可知，為中點(diǎn)，且點(diǎn)在拋物線上，同理可得：，故為方程的兩根，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為所以直線的TD的斜率為0，即直線與軸垂直.（3）,,,因?yàn)樵趫A上，所以,，則當(dāng)時(shí)，.變式6．（2024·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)若點(diǎn)在第一象限，直線的傾斜角為銳角，過點(diǎn)作的切線與軸交于點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，求與面積之比的最大值.【解析】（1）將代入，則，由，故為等腰直角三角形，故，即，所以，故準(zhǔn)線方程為.（2）設(shè)，直線，聯(lián)立拋物線得，所以，則，故，由，則，故，直線，令，則，故，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線得，所以，則，故，綜上，直線，令，則，故，由直線的傾斜角為銳角，故，則，，所以，令，則，則，僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以與面積之比的最大值.題型三：四邊形面積最值問題例7．（2024·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，直線，作直線l的平行線，動(dòng)點(diǎn)P滿足到F的距離與到直線的距離之和等于直線l與之間的距離．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)過作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交E于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，且直線AB的傾斜角，求四邊形ACBD面積的最大值．【解析】（1）過P分別作直線l，的垂線，垂足為M，N，則由題意可得，即，則由拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，則有，，故E的方程為．（2）由題目條件過作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交E于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，可知直線AB，CD的斜率互為相反數(shù)．設(shè)，，，由直線AB的傾斜角，且直線AB的斜率，可知，解得．聯(lián)立,消去x可得，則，，，則，同理可得．記直線AB，CD的夾角為，則，又，則，令，，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，故四邊形ACBD面積的最大值為．例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）O為坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，已知，切．(1)求的方程；(2)過作的不垂直于y軸的弦，M為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值．【解析】（1）因?yàn)椋?，，所以①因?yàn)?，所以②由①得：，解得：，代入②式中，解得：，所以的方程為：，的方程為：?），因?yàn)橹本€不垂直于y軸所以設(shè)方程為：聯(lián)立得：設(shè)，，則，，，則，因?yàn)辄c(diǎn)M在直線上，所以，直線：聯(lián)立得：解得：，顯然，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，，點(diǎn)直線距離分別是：，因?yàn)椋c(diǎn)直線兩側(cè)，故顯然，所以所以則則四邊形面積當(dāng)時(shí)，四邊形面積取得最小值，此時(shí)此時(shí)方程為：，符合題意，故四邊形面積的最小值為1例9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為;雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,離心率為,已知,且.(1)求的方程;(2)過點(diǎn)作的不垂直于軸的弦,為的中點(diǎn),當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí),求四邊形面積的最小值.【解析】(1)利用橢圓和雙曲線之間的關(guān)系可以用分別表示雙曲線和橢圓的離心率和焦點(diǎn),由題目和即可得到之間的兩個(gè)方程,聯(lián)立方程消元即可求出的值,得到雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)利用(1)求出焦點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出弦的直線的方程,聯(lián)立直線與橢圓消得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之間的和與積,進(jìn)而得到點(diǎn)的縱坐標(biāo)帶入AB直線即可得到的橫坐標(biāo),進(jìn)而求出直線的方程,即為直線的方程,聯(lián)立直線的方程得到的取值范圍和求出點(diǎn)的坐標(biāo)得到的長(zhǎng)度,利用點(diǎn)到直線的距離得到到直線的距離表達(dá)式,進(jìn)而用表示四邊形的面積,利用不等式的性質(zhì)和的取值范圍即可得到面積的最小值.(1)由題可得,且,因?yàn)?且,所以且且,所以橢圓方程為,雙曲線的方程為.(2)由(1)可得,因?yàn)橹本€不垂直于軸,所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,則,,則,因?yàn)樵谥本€上,所以,則直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線可得,則,則,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則到直線的距離也為,則,因?yàn)樵谥本€的兩端,所以,則,又因?yàn)樵谥本€上,所以,則四邊形面積,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),四邊形面積的最小值為.考點(diǎn)：弦長(zhǎng)雙曲線橢圓最值變式7．（2024·山西朔州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，由，有.又由，有（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得，，可得橢圓E的方程為，代入點(diǎn)N的坐標(biāo)，有，解得，，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)或，不妨設(shè)，，故；②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB：，，，聯(lián)立方程，消去y得，則，，所以，同理可得，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，而，綜上：四邊形ACBD的面積的最小值為.變式8．（2024·湖南郴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，P是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為2，且橢圓C的離心率為．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l過與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)異于左、右頂點(diǎn)，直線過交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，，求四邊形面積的最小值．【解析】（1）設(shè)．由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，所以．因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，所以．由，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題設(shè)直線l斜率存在，設(shè)，由得，∴，所以，因?yàn)?，所以，則，所以四邊形面積：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，四邊形的面積為，又由，所以四邊形面積的最小值為．變式9．（2024·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交軌跡于點(diǎn)和，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，由題意有且，化簡(jiǎn)得，即．（2）當(dāng)其中一條直線的斜率不存在時(shí)，則、一條為長(zhǎng)軸長(zhǎng)、另一條為過的通徑長(zhǎng)，令，則，可得，故通徑長(zhǎng)為，而長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，易得．當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線為，，化簡(jiǎn)整理得，設(shè)，則，，，則直線的斜率為，同理，，令，則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，而，則四邊形面積的最小值為.題型四：弦長(zhǎng)的取值范圍問題例10．（2024·河北·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心在原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動(dòng)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段上一點(diǎn)，圓的半徑為，且，求的范圍.【解析】（1）橢圓的離心率為，則，解得，橢圓的方程為又點(diǎn)在橢圓上，則，解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，由消去y并整理得：，顯然，于是得，，則，從而得圓的半徑，由得，即直線的方程為，由得，則，所以因，有，從而有，即，所以的取值范圍為.例11．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于點(diǎn)，與圓相切且切點(diǎn)為為中點(diǎn).(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.【解析】（1）如圖所示，由題意知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為（），，，設(shè)圓N的半徑為r，，，，，所以，又因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閳AN與直線l相切于點(diǎn)M，所以，且，所以，所以，解得，所以，，解得：，所以（），所以，即，所以圓N的半徑r的取值范圍為.（2）由（1）知，，所以（），令，則（），所以，顯然在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，故的取值范圍為.例12．?dāng)?shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；變式10．構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解；變式11．構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．變式12．（2024·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，總滿足關(guān)系式：.(1)點(diǎn)的軌跡是什么曲線？寫出它的方程；(2)設(shè)圓，直線與圓O相切且與點(diǎn)的軌跡交于不同兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求弦長(zhǎng)的取值范圍.【解析】（1）由關(guān)系式，結(jié)合橢圓的定義，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓.∴，∴點(diǎn)M的方程為.（2）由題意，聯(lián)立方程，則設(shè)，，則，,因直線與圓相切，且，∴

，，，

①

②將①代入②.因?yàn)?，所?變式13．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)到的漸近線的距離為.直線與相交于A，B兩點(diǎn)，.(1)求證：(2)若直線l與相交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由題意得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線漸近線方程為，所以，解得，所以的方程為，由，消y得，所以得，設(shè)，，則，所以，化簡(jiǎn)得，得證；（2）由消x，得，所以，即，結(jié)合，及，可得，設(shè)，，則，所以，所以，設(shè)，由，得，所以，所以，所以.變式14．（2024·陜西咸陽·?？既＃┮阎p曲線的離心率為，過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線：與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線分別交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由題可知，，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題可知，直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，聯(lián)立消去，得，所以，解得，且，所以.聯(lián)立可得，同理可得，所以，所以，其中，則，所以.變式15．（2024·全國(guó)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于第一象限的點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線的左支、右支分別交于，兩點(diǎn)，與直線，分別交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，設(shè)，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，即，所以，又，所以，所以，所以雙曲線的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立，消去并整理得，所以，解得，，，所以，聯(lián)立，解得，所以，聯(lián)立，解得，所以，所以，所以，其中，因?yàn)?，所以?所以的取值范圍為.題型五：三角形面積的取值范圍問題例13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線，其左、右焦點(diǎn)分別為、，上有一點(diǎn)P滿足，．(1)求b；(2)過作直線l交于B、C，取BC中點(diǎn)D，連接OD交雙曲線于E、H，當(dāng)BD與EH的夾角為時(shí)，求的取值范圍．【解析】（1）由題意,，，，在中,由余弦定理得，，則，即，.（2）雙曲線，，設(shè)直線BC的方程為，由，得，即，由題意，，設(shè)，則，則，則，則，，直線的方程為，由，得，由題意，解得，設(shè)，則，當(dāng)BD與EH的夾角為時(shí)，，則，得，可知，所以，，，，，所以，即的取值范圍是．例14．（2024·廣東茂名·高三茂名市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的距離為.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，，點(diǎn)在上，求面積的取值范圍.【解析】（1）直線方程為，即，到直線的距離，化簡(jiǎn)得，又離心率，即，且，解得，，，所以的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，由于的漸近線的斜率為，所以.將方程代入，化簡(jiǎn)得.設(shè)，，則，，，設(shè)平行于與橢圓相切的直線為，由得，由得，直線與之間的較小距離，直線與之間的較大距離，則面積的較小值為，面積的較大值為，設(shè)，，，則，，，∴，.所以面積的取值范圍為.例15．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）P是雙曲線右支上一點(diǎn)，A，B是雙曲線的左右頂點(diǎn)，過A，B分別作直線PA，PB的垂線AQ，BQ，AQ與BQ的交點(diǎn)為Q，PA與BQ的交點(diǎn)為C．(1)記P，Q的縱坐標(biāo)分別為，求的值；(2)記的面積分別為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【解析】（1）由已知條件得：，設(shè)PA，PB的斜率分別為，則QA，QB的斜率分別為，由即有．由即有而，．（2）由于，顯然P，Q，B，A四點(diǎn)共圓，PO為直徑，PQ中點(diǎn)為圓心，又則，

①，又

②，得：，解得．由，，而．．因?yàn)?，根?jù)單調(diào)性，求得變式16．（2024·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知，為橢圓C：的左、右頂點(diǎn)，且橢圓C過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中點(diǎn)D在x軸上方），求的取值范圍.【解析】（1）由題意得，把代入，解得，所以C的方程為；.（2）由（1）知：，，①當(dāng)l斜率不存在時(shí)，易知；②當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l：，，，由，得，顯然，所以，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所?又，設(shè)，則，，解得且，所以，因?yàn)?，可得的取值范圍?變式17．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，以原點(diǎn)為圓心，分別以2和1為半徑作兩個(gè)同心圓，設(shè)為大圓上任意一點(diǎn)，連接交小圓于點(diǎn)，設(shè)，過點(diǎn)分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點(diǎn)．

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)點(diǎn)分別是軌跡上兩點(diǎn)，且，求面積的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，則（是參數(shù)），消去得，即曲線的方程為；（2），，當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，易得當(dāng)直線和的斜率都存在時(shí)，設(shè)，則由得，，同理可得，令故.變式18．（2024·福建漳州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，且過點(diǎn).(1)求C的方程；(2)不過原點(diǎn)O的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.（i）求的斜率；（ii）求的面積的取值范圍.【解析】（1）由題知，橢圓C的右焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，所以，所以.又，所以，

所以C的方程為.（2）（?。┯深}知，直線l的斜率存在，且不為0.設(shè)，，，則，所以，

所以，，

且，即.因?yàn)橹本€OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列.所以，即，所以，且.因?yàn)?，所以，所?（ii）由（?。┲?，，所以，且.設(shè)點(diǎn)O到直線PQ的距離為d，所以.因?yàn)?，所以，，所以，又，?所以即的面積的取值范圍.題型六：四邊形面積的取值范圍問題例16．（2024·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓：（）左、右焦點(diǎn)分別為，，且為拋物線的焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)已知，為橢圓上不同兩點(diǎn)，且都在軸上方，滿足.（?。┤?，求直線的斜率；（ⅱ）若直線與拋物線無交點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）依題意得，則，，而，于是，從而.又，解得，所以橢圓的方程為.（2）如圖，設(shè)直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn)，由，故，由橢圓對(duì)稱性，，且四邊形為平行四邊形.（?。┯深}意直線的斜率不為0，設(shè)直線：，由，消去整理得，設(shè)，，則，，由（*）帶入上式，解得：，故，由于，，所以，所以，故的斜率為1.（ⅱ）由，消去整理得，由得.所以，與間的距離（即點(diǎn)到的距離），故，令，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則，所以四邊形的面積的取值范圍為.例17．（2024·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.直線與橢圓交于兩點(diǎn).且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且過的中點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得：，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，聯(lián)立，可得，可得①，且②，③若以為直徑的圓過原點(diǎn)，則，整理得，代入②③兩式得，整理得④，將④式代入①式，得恒成立，則，由題意可設(shè)，所以，因?yàn)?，且點(diǎn)到直線的距離，可得，又因?yàn)椋瑒t點(diǎn)坐標(biāo)為，化簡(jiǎn)可得，代入橢圓方程可得，整理得，則，因?yàn)?，則，所以；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)，，則，且，解得，可知方程為，因?yàn)橹本€過中點(diǎn)，即為軸，可知，，，綜上所述：四邊形面積的取值范圍為.例18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為P，離心率為，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別與C交于A，B，M，N四點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，所以因?yàn)?，所以，又，，所以，即所以所以?）當(dāng)，中有一條斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，此時(shí)直線與軸重合，即，所以；當(dāng)，的斜率都存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線：，直線：由得此時(shí)，，則.把上式中的換成得：則四邊形的面積為令，則，且，，，，所以四邊形的面積的取值范圍是.變式19．（2024·遼寧遼陽·高三遼陽縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線過點(diǎn)，且的漸近線方程為．(1)求的方程；(2)如圖，過原點(diǎn)作互相垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，，在軸同側(cè)．①求四邊形面積的取值范圍；②設(shè)直線與兩漸近線分別交于，兩點(diǎn)，是否存在直線使，為線段的三等分點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）由題意有，則，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，聯(lián)立解得，故的方程為；（2）①，易知直線，的斜率均存在且不為，設(shè)，的方程為，則的方程為，聯(lián)立，消整理得，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，故且，則，則，則，聯(lián)立，消整理得，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，故且，解得，則，則，根據(jù)對(duì)稱性可知四邊形為菱形，其面積，，∴，∴，∴，；②，假設(shè)滿足題意的直線存在，易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則且，解得且，由韋達(dá)定理有，則，不妨設(shè)為直線與漸近線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，因?yàn)椋瑸榫€段的三等分點(diǎn)，，即，整理得，①，，則，即，，整理得,②聯(lián)立①②得，無解，故沒有滿足條件的直線．變式20．（2024·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線的準(zhǔn)線與相交，所得弦長(zhǎng)為.(1)求的方程；(2)若在上，且，分別以為切點(diǎn)，作的切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)恰好在上，直線分別交軸于兩點(diǎn).求四邊形面積的取值范圍.【解析】（1）由題知過點(diǎn)，則，解得，.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，，則，而，則，故以為切點(diǎn)的切線為，即，同理以為切點(diǎn)的切線為，則，由，故兩式作差得：，所以，兩式求和得：，所以點(diǎn)由在橢圓上，即.點(diǎn)到直線的距離，所以，，，而、在上遞增且恒正，則在上遞增，.題型七：向量數(shù)量積的取值范圍問題例19．（2024·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．（1）若，點(diǎn)在橢圓上，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；（2）若過點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)直線斜率；若不能，說明理由．【解析】（1）時(shí)，橢圓，兩個(gè)焦點(diǎn)，，，，設(shè)，可得，即，，，，，，因?yàn)椋缘姆秶?；?）設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，可得，，則，兩式相減可得，，即，故，又設(shè)，，直線，即直線的方程為，從而，代入橢圓方程可得，，由與，聯(lián)立得，若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點(diǎn)，所以，即，整理可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形．例20．（2024·安徽合肥·合肥市廬陽高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在上.(1)是上一動(dòng)點(diǎn)，求的范圍；(2)過的右焦點(diǎn)，且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值.【解析】（1）由題意知，所以.將點(diǎn)代入，解得，所以橢圓的方程為：.設(shè)點(diǎn)，則.又因?yàn)?，所以的范圍?（2）依題意可設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立得.所以，，所以，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.又因?yàn)槿切蝺?nèi)切圓半徑滿足.所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.例21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的取值范圍.【解析】（1）由題意得，，根據(jù)橢圓定義可得：，解得根據(jù)，解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，，由得：，，即，，，，所以，所以，故，解得，所以.故的取值范圍為變式21．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的取值范圍.【解析】（1），，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，，由得：，，即，，，，，∴即，故，.故的取值范圍為.變式22．（2024·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的取值范圍.【解析】（1）由題意可知再焦點(diǎn)坐標(biāo)，（-2，0），再由橢圓定義.(2)橢圓與直線組方程組，，所以代入韋達(dá)，利用判別式控制范圍．試題解析題型八：參數(shù)的取值范圍例22．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.（1）求的取值范圍；（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，（在，之間），且滿足，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)榍€表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以解得：，所以m的取值范圍是；

（2）因?yàn)?，所以橢圓方程為：；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線，此時(shí)，，由解得：；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，聯(lián)立直線l與橢圓消得，所以，，即，解得，

由，得，而，即，又在上單調(diào)遞增，所以，又在，之間，即，解得：；綜上所述，的取值范圍是.例23．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，離心率，且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．若過點(diǎn)的直線斜率不等于零與橢圓交于不同的兩點(diǎn)E、在B、F之間，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線l斜率的取值范圍；若與面積之比為，求的取值范圍．【解析】設(shè)橢圓的方程為，則，拋物線的焦點(diǎn)為由解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；如圖，由題意知l的斜率存在且不