第85講、計(jì)數(shù)原理（學(xué)生版）

第85講計(jì)數(shù)原理知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)1、分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的辦法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．知識(shí)點(diǎn)2、分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法．注意：兩個(gè)原理及其區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有類辦法，這類辦法之間是互斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理．分步乘法計(jì)數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對(duì)“分步完成”的問(wèn)題．如果完成某件事情有個(gè)步驟，而且這幾個(gè)步驟缺一不可，且互不影響（獨(dú)立），當(dāng)且僅當(dāng)依次完成這個(gè)步驟后，這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．當(dāng)然，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并不一定是單一應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理或分步計(jì)數(shù)原理，有時(shí)可能同時(shí)用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．即分類時(shí)，每類的方法可能運(yùn)用分步完成；而分步后，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求方法數(shù)．對(duì)于同一問(wèn)題，我們可以從不同的角度去處理，從而得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗(yàn)排列組合問(wèn)題的很好方法．知識(shí)點(diǎn)3、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理．必考題型全歸納題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36例2．（2024·四川成都·雙流中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連．連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息（

）

A．26 B．24 C．20 D．19例3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義：“各位數(shù)字之和為7的四位數(shù)叫好運(yùn)數(shù)”，比如1006，2203，則所有好運(yùn)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．82 B．83 C．84 D．85變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從1，2，3，4，5，6中選取4個(gè)數(shù)字，組成各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字既不全相同，也不兩兩互異的四位數(shù)，記四位數(shù)中各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從左往右依次為a，b，c，d，且要求，則滿足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為.變式2．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線方程，若從0、1、2、3、5、7這六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A、B的值，則可表示條不同的直線．變式3．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，，C為一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，是邊長(zhǎng)為3米的大正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從點(diǎn)沿著圖中的線段爬到點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿著長(zhǎng)方體的棱爬到點(diǎn)，則小貓從點(diǎn)爬到點(diǎn)可以選擇的最短路徑共有條.

【解題方法總結(jié)】分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇（1）應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)．（2）分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)，但也不能有遺漏．題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例4．（2024·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙3個(gè)公司承包6項(xiàng)不同的工程，甲承包1項(xiàng)，乙承包2項(xiàng)，丙承包3項(xiàng)，則共有種承包方式（用數(shù)字作答）.例5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若一個(gè)三位數(shù)同時(shí)滿足：①各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，則這樣的三位數(shù)共有個(gè)．(結(jié)果用數(shù)字作答)例6．（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中學(xué)校考階段練習(xí)）將3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（

）A．4種 B．8種 C．12種 D．48種變式4．（2024·四川成都·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為（

）A．72 B．108C．144 D．196變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個(gè)數(shù)為（

）A．18 B．21 C．24 D．27變式6．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）臨近春節(jié)，某校書(shū)法愛(ài)好小組書(shū)寫(xiě)了若干副春聯(lián)，準(zhǔn)備贈(zèng)送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長(zhǎng)聯(lián)和短聯(lián)兩種，無(wú)論是長(zhǎng)聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相同．經(jīng)過(guò)調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長(zhǎng)聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2副短聯(lián)．書(shū)法愛(ài)好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈(zèng)送方法種數(shù)為（

）A．15120 B．7560 C．12520 D．12160變式7．（2024·北京東城·高三北京市廣渠門中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）魚(yú)缸里有8條熱帶魚(yú)和2條冷水魚(yú)，為避免熱帶魚(yú)咬死冷水魚(yú)，現(xiàn)在把魚(yú)缸出孔打開(kāi)，讓魚(yú)隨機(jī)游出，每次只能游出1條，直至2條冷水魚(yú)全部游出就關(guān)閉出孔，若恰好第3條魚(yú)游出后就關(guān)閉了出孔，則不同游出方案的種數(shù)為（

）A．16 B．32 C．36 D．48變式8．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在如圖所示的表格中填寫(xiě)，，三個(gè)數(shù)字，要求每一行、每一列均有這個(gè)數(shù)字，則不同的填法種數(shù)為（

）．A． B． C． D．變式9．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）甲、乙分別從門不同課程中選修門，且人選修的課程不同，則不同的選法有（

）種．A． B． C． D．變式10．（2024·陜西西安·西安市第三十八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）從六人（含甲）中選四人完成四項(xiàng)不同的工作（含翻譯），則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有（

）A．120種 B．150種 C．180種 D．210種變式11．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預(yù)測(cè)）某足球比賽有，，，，，，，，共9支球隊(duì)，其中，，為第一檔球隊(duì)，，，為第二檔球隊(duì)，，，為第三檔球隊(duì)，現(xiàn)將上述9支球隊(duì)分成3個(gè)小組，每個(gè)小組3支球隊(duì)，若同一檔位的球隊(duì)不能出現(xiàn)在同一個(gè)小組中，則不同的分組方法有（

）A．27種 B．36種 C．72種 D．144種【解題方法總結(jié)】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．（2）將這件事劃分成幾個(gè)步驟來(lái)完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例7．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）第屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)于月日至月日在成都舉辦，現(xiàn)在從男女共名青年志愿者中，選出男女共名志愿者，安排到編號(hào)為、、、、的個(gè)賽場(chǎng)，每個(gè)賽場(chǎng)只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號(hào)為、的賽場(chǎng)，編號(hào)為的賽場(chǎng)必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例8．（2024·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）從2位男生，3位女生中安排3人到三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每個(gè)場(chǎng)館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（

）種A．16 B．36 C．54 D．96例9．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人只選擇一個(gè)項(xiàng)目，則同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參賽的情況共有種．變式12．（2024·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)有5名同學(xué)從北京、上海、深圳三個(gè)路線中選擇一個(gè)路線進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，每個(gè)路線至少1人，至多2人，其中甲同學(xué)不選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有種．（用數(shù)字作答）變式13．（2024·浙江·高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）杭州亞運(yùn)會(huì)舉辦在即，主辦方開(kāi)始對(duì)志愿者進(jìn)行分配．已知射箭場(chǎng)館共需要6名志愿者，其中3名會(huì)說(shuō)韓語(yǔ)，3名會(huì)說(shuō)日語(yǔ)．目前可供選擇的志愿者中有4人只會(huì)韓語(yǔ)，5人只會(huì)日語(yǔ)，另外還有1人既會(huì)韓語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，則不同的選人方案共有種．（用數(shù)字作答）．變式14．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三儀征中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知如圖所示的電路中，每個(gè)開(kāi)關(guān)都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個(gè)開(kāi)關(guān)共有種可能，在這種可能中，電路從P到Q接通的情況有種．

變式15．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）從5男3女共8名學(xué)生中選出組長(zhǎng)1人，副組長(zhǎng)1人，普通組員3人組成5人志愿組，要求志愿組中至少有3名男生，且組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)性別不同，則共有種不同的選法.（用數(shù)字作答）變式16．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有兩個(gè)家庭共8人暑假到新疆結(jié)伴旅游（每個(gè)家庭包括一對(duì)夫妻和兩個(gè)孩子），他們?cè)跒豸斈君R租了兩輛不同的汽車進(jìn)行自駕游，每輛汽車乘坐4人，要求每對(duì)夫妻乘坐同一輛汽車，且該車上至少有一個(gè)該夫妻自己的孩子，則滿足條件的不同乘車方案種數(shù)為.變式17．（2024·福建福州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）“二十四節(jié)氣”是中國(guó)古代勞動(dòng)人民偉大的智慧結(jié)晶，其劃分如圖所示．小明打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古