第75講、切點(diǎn)與切點(diǎn)弦（教師版）

第75講切點(diǎn)與切點(diǎn)弦知識梳理1、點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的切線方程為．2、點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．3、點(diǎn)在圓內(nèi)，過點(diǎn)作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．4、點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的切線方程為．5、點(diǎn)在圓外，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．6、點(diǎn)在圓內(nèi)，過點(diǎn)作圓的弦（不過圓心），分別過作圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為．7、點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作橢圓的切線方程為．8、點(diǎn)在橢圓外，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．9、點(diǎn)在橢圓內(nèi)，過點(diǎn)作橢圓的弦（不過橢圓中心），分別過作橢圓的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．10、點(diǎn)在雙曲線上，過點(diǎn)作雙曲線的切線方程為．11、點(diǎn)在雙曲線外，過點(diǎn)作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．12、點(diǎn)在雙曲線內(nèi)，過點(diǎn)作雙曲線的弦（不過雙曲線中心），分別過作雙曲線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．13、點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作拋物線的切線方程為．14、點(diǎn)在拋物線外，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦的直線方程為．15、點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過點(diǎn)作拋物線的弦，分別過作拋物線的切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為直線．必考題型全歸納題型一：切線問題例1．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，焦點(diǎn)為.過拋物線外一點(diǎn)（不在軸上）作拋物線的切線，其中為切點(diǎn)，兩切線分別交軸于點(diǎn).(1)求的值；(2)證明：①是與的等比中項(xiàng)；②平分.【解析】（1）拋物線焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)拋物線的切線的方程分別為：由整理得，，由，可得，同理，則拋物線的切線的方程分別為：則，，則，（2）①由（1）可得，，則，，則，故是與的等比中項(xiàng)；②，則,又，則故平分.例2．（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C交于H，I兩點(diǎn)，且在H，I兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)T．(1)當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，求；(2)證明：．【解析】（1）依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，當(dāng)l的斜率為時(shí)，l的方程為，由，得，設(shè)，，則，所以.（2）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，由消去y得，由（1），，，，對求導(dǎo)，得，切線的方程為，切線的方程為，由，解得，即，當(dāng)時(shí)，，顯然；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，因此，所以.例3．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，拋物線在兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，設(shè)兩點(diǎn)到直線的距離分別為，求的值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組,消去得，所以恒成立，，，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，則，設(shè)，顯然，，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組消去得，恒成立，所以，所以，所以，則的中垂線方程為，令，得，所以，所以.由得，則，不妨設(shè)，，則切線的斜率為，切線的斜率為，則切線：，即，切線，即，聯(lián)立方程組，解得，由，，得，得，得，得，因?yàn)?，所以，而，所以，所以，則，所以，所以點(diǎn)到直線的距離.故.變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)為E上一點(diǎn)，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點(diǎn)，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．【解析】（1）由題意，，直線l的方程為，代入，得．于是，∴焦點(diǎn)弦，解得p＝2．故拋物線E的方程為．（2）因在E上，∴m＝2．設(shè)E在P處的切線方程為，代入，得．由，解得t＝1，∴P處的切線方程為y＝x＋1，從而得．易知直線MN的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，．將代入，得．于是，，且，．∴．故為定值2．變式2．（2024·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，A是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點(diǎn)S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.【解析】（1）由題意得，由橢圓定義可得，又，由余弦定理可得：，所以，又，解得，所以，故橢圓的方程為.（2）直線，設(shè)，聯(lián)立與得，所以，恒成立，所以，故，設(shè)直線為，，聯(lián)立，所以，由可得，所以，則，所以得，所以，則，由于函數(shù)在上為減函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，所以.變式3．（2024·江西南昌·南昌市八一中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為，為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，連接，，．(1)證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)；(2)若記、的面積分別為和，當(dāng)取最大值時(shí)，求直線的方程．參考結(jié)論：為橢圓上一點(diǎn)，則過點(diǎn)的橢圓的切線方程為．【解析】（1）由題意可得，即，，故橢圓的方程為，設(shè)，，，由參考結(jié)論知過點(diǎn)在處的橢圓的切線方程為，同理，過點(diǎn)在處的橢圓的切線方程為，點(diǎn)在直線，上，，直線的方程為，即，可得，則直線過定點(diǎn)；（2）由（1）知，，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，故，，為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)直線的方程為，即或．題型二：切點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l1是拋物線C：x2＝2py（p＞0）的準(zhǔn)線，直線l2：，且l2與拋物線C沒有公共點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值等于2．(1)求拋物線C的方程；(2)點(diǎn)M在直線l1上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P1，P2，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N，使得MN⊥P1P2恒成立？若存在，請求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】（1）作PA，PB分別垂直l1和l2，垂足為A，B，拋物線C的焦點(diǎn)為，由拋物線定義知|PA|＝|PF|，所以d1+d2＝|PA|+|PB|＝|PF|+|PB|，顯見d1+d2的最小值即為點(diǎn)F到直線l2的距離，故，解之得或（舍）所以拋物線C的方程為x2＝4y．（2）由（1）知直線l1的方程為，當(dāng)點(diǎn)M在特殊位置時(shí)，顯見兩個(gè)切點(diǎn)P1，P2關(guān)于y軸對稱，故要使得MN⊥P1P2，點(diǎn)N必須在y軸上．故設(shè)M，N，，，拋物線C的方程為，求導(dǎo)得，所以切線MP1的斜率，直線MP1的方程為，又點(diǎn)M在直線MP1上，所以，整理得，同理可得，故x1和x2是一元二次方程x2﹣2mx﹣4＝0的根，由韋達(dá)定理得，，可見n＝1時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)N，使得MN⊥P1P2恒成立．例5．（2024·福建寧德·?？家荒＃╇p曲線的離心率為，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過直線上任意一點(diǎn)P作雙曲線C的兩條切線，交漸近線于A，B兩點(diǎn)，證明：以AB為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F．【解析】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可得，解得．

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）設(shè)，過點(diǎn)的斜率不存在的直線的方程為，直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，不可能為雙曲線的切線，所以過點(diǎn)P的切線斜率存在，設(shè)此切線方程為，聯(lián)立，整理得．由，得．

設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，則，．

聯(lián)立，解得，，則．

同理可得．

因?yàn)椋?，?/p>

則．

因?yàn)椋?/p>

所以，即以AB為直徑的圓恒過右焦點(diǎn)F．例6．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是該拋物線上一定點(diǎn)，過點(diǎn)作圓（其中）的兩條切線分別交拋物線于點(diǎn)，連接．探究：直線是否過一定點(diǎn)，若過，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由．【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)，則直線為，即．因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得．同理，直線與圓相切，可得．所以可得是方程的兩個(gè)根，所以，代入，化簡得，若直線過定點(diǎn)，則須滿足，解得所以直線恒過定點(diǎn)．變式4．（2024·陜西·校聯(lián)考三模）已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，，D為垂足，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．(1)求C的方程；(2)若點(diǎn)E是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作拋物線C的兩條切線，，其中P，Q為切點(diǎn)，試證明直線恒過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去y，整理得，所以有，，又，得，整理得，解得．所以C的方程為．（2）由，得，所以，設(shè)過點(diǎn)E作拋物線C的切線的切點(diǎn)為，則相應(yīng)的切線方程為，即，設(shè)點(diǎn)，由切線經(jīng)過點(diǎn)E，得，即，設(shè)，，則，是的兩實(shí)數(shù)根，可得，．設(shè)M是的中點(diǎn)，則相應(yīng)，則，即，又，直線的方程為，即，所以直線恒過定點(diǎn)．變式5．（2024·貴州·校聯(lián)考二模）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于橢圓的短軸長．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點(diǎn)，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn),,證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)．【解析】（1）由橢圓方程可知短軸長為，∴拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故拋物線方程為．（2）∵是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，∴且，∴．設(shè)，，則直線方程為，即，∵直線DM：與圓E：相切，∴，整理可得，，①同理，直線DN與圓E相切可得，，②由①②得a，b是方程的兩個(gè)實(shí)根，∴，，代入，化簡整理可得，，令，解得，故直線MN恒過定點(diǎn)．變式6．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為．當(dāng)圓在橢圓的內(nèi)部時(shí)，，橢圓的方程為．當(dāng)圓在橢圓的外部時(shí)，，橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)．因?yàn)闄E圓的短軸長小于4，所以的方程為．則由已知可得，切線的方程為的方程為，將代入的方程整理可得，．顯然的坐標(biāo)都滿足方程，故直線的方程為，令，可得，即直線過定點(diǎn)．變式7．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)（不同于），直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【解析】（1）由題意，故橢圓方，設(shè)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，由于圓在橢圓內(nèi)部，則恒成立，即對任意恒成立，令，，則，于是有；（2）設(shè)，，，（由（1）斜率都存在），由于兩直線均與圓C相切，則，則為方程的兩根，由韋達(dá)定理可知，設(shè)，由韋達(dá)定理可知，由.則.故過定點(diǎn).題型三：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決定值問題例7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為，，，橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，，解得，，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由題意知過點(diǎn)與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設(shè)，則切線方程為，聯(lián)立，消去，得，由，得，直線，的斜率分別為，，，為定值．例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，以F為圓心，2p為半徑的圓F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線C和圓F的方程；(2)若點(diǎn)P為圓F優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，請問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意可得：拋物線C：的焦點(diǎn)為，則圓F的方程為，聯(lián)立方程，消去x得，解得或（舍去），將代入得A，B的坐標(biāo)分別為，.故，所以，所以拋物線C的方程為，圓F的方程為.（2）是，理由如下：設(shè)，則，因?yàn)閽佄锞€的方程為，則，所以切線PM的方程為，即，①同理切線PN的方程為，②則由①②過，則，所以直線MN的方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，，所以，又在圓F上，則，即，故為定值16.例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)引圓：的一條切線，切點(diǎn)為，.(1)求拋物線的方程；(2)過圓M上一點(diǎn)A引拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，是否存在點(diǎn)A使得的面積為？若存在，求點(diǎn)A的個(gè)數(shù)；否則，請說明理由.【解析】（1）如圖已知拋物線：的焦點(diǎn)為，圓：的圓心，半徑，則，過點(diǎn)M作軸，則，，在中，滿足，即，解得，所以拋物線的方程為.（2）存在點(diǎn)A使得的面積為，點(diǎn)A的個(gè)數(shù)為2，理由如下：設(shè)，，，由（1）可知拋物線的方程為，則切點(diǎn)弦PQ的方程為，斜率，聯(lián)立，得，所以，，，點(diǎn)到直線PQ的距離，，所以，即點(diǎn)A的軌跡為拋物線往左平移個(gè)單位長度，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓M上，聯(lián)立，得，顯然是一個(gè)根，因式分解得，令，，則，若，由于，則恒成立，所以為增函數(shù)，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，所以存在兩個(gè)點(diǎn)A使得的面積為.變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，圓與軸相切，且圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線和圓的方程；(2)設(shè)為圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)和點(diǎn).且，證明：點(diǎn)在一條定曲線上.【解析】（1）由題設(shè)得，所以拋物線的方程為.因此，拋物線的焦點(diǎn)為，即圓的圓心為由圓與軸相切，所以圓半徑為，所以圓的方程為.（2）證明：由于，每條切線都與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則.故設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的切線方程為，即.依題意得，整理得①；設(shè)直線的斜率分別為，則是方程①的兩個(gè)實(shí)根，故，②，由得③，因?yàn)辄c(diǎn)，則④，⑤由②，④，⑤三式得：，即，則，即，所以點(diǎn)在圓.變式9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到F的最小距離為1．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)向C作兩條切線AM，AN，切點(diǎn)分別為M，N，直線AF與直線MN交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q到直線FM的距離等于到直線FN的距離．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由拋物線定義可知，故，得，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解法一，設(shè)，，由，得，所以拋物線在點(diǎn)M處的切線方程為，在點(diǎn)N處的切線方程為．因?yàn)閮蓷l切線均過點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)M，N的坐標(biāo)滿足，所以，即，解得或，不妨設(shè)，，則，．就易知，所以，，，所以，，所以，所以．因?yàn)镕Q平分，所以點(diǎn)Q到直線FM的距離等于到直線FN的距離．解法二

設(shè)切點(diǎn)為，由，得，所以過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立，得，消去y并整理得，則，解得或，不妨設(shè)，，則，，所以直線MN的方程為，易知，所以直線AF的方程為，由，得，即．易得直線FM的方程為，直線FN的方程為，所以點(diǎn)Q到直線FM的距離，點(diǎn)Q到直線FN的距離，所以，得證．變式10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)分別為，若直線與直線交于點(diǎn)，且點(diǎn)到直線?直線的距離分別為.求證：為定值.【解析】（1）因?yàn)?，由題意可得，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）方法一：設(shè)，由，得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)閮蓷l切線均過點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足，所以，即，解得或，不妨設(shè)，則，易知，所以，所以，，所以，所以，所以平分，所以點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以，為定值，得證.方法二：設(shè)切點(diǎn)為，由，得，所以過點(diǎn)的拋物線的切線方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，則，解得或，不妨設(shè)，則，所以直線的方程為，易知，所以直線的方程為，由，得，即，易得直線的方程為，直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，所以，則，為定值，得證.變式11．（2024·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)校考開學(xué)考試）在以為圓心，6為半徑的圓A內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)P為圓A上的任意一點(diǎn)，線段BP的垂直平分線和半徑AP交于點(diǎn)M．(1)判斷點(diǎn)M的軌跡是什么曲線，并求其方程；(2)記點(diǎn)M的軌跡為曲線，過點(diǎn)B的直線與曲線交于C、D兩點(diǎn)，求的最大值；(3)在圓上的任取一點(diǎn)Q，作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為E、F，試判斷QE與QF是否垂直，并給出證明過程．【解析】（1）由題意可知,因?yàn)榫€段的垂直平分線和半徑交于點(diǎn)，所以,所以,由橢圓的定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，由，得，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，,所以，此時(shí)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，消去，得，所以，設(shè)，,則，所以，綜上，的最大值為.（3）與垂直,證明如下：設(shè)，則，①當(dāng)兩切線中有一條切線斜率不存在時(shí)，即與軸垂直時(shí)，切線方程為，即，得，所以另一條切線方程為，即與軸平行，所以兩切線垂直.當(dāng)斜率存在時(shí)，，設(shè)切線方程為，則，消，得，由于直線與橢圓相切，得，化簡得，因?yàn)?，所以，即兩條切線相互垂直，綜上，過點(diǎn)作的兩條切線與垂直.變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.【解析】（1）由題意可知，半徑為，由圓的圓心以及拋物線的焦點(diǎn)均在在坐標(biāo)軸軸，故由對稱性可知：軸于點(diǎn)，在直角三角形中，,因此故，將其代入拋物線方程中得，故拋物線方程為：（2）令，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為,與聯(lián)立得①由相切得，代入①得故在點(diǎn)處的切線方程為，即為同理：點(diǎn)處的切線方程為，而兩切線交于點(diǎn)，所以有，則直線的方程為:，由得,所以于是，又點(diǎn)在圓上，所以,即.變式13．（2024·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線，圓是上異于原點(diǎn)的一點(diǎn).(1)設(shè)是上的一點(diǎn)，求的最小值；(2)過點(diǎn)作的兩條切線分別交于兩點(diǎn)（異于）.若，求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）設(shè)，圓心，半徑為，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以的最小值；（2）由題設(shè)，切線斜率一定存在，設(shè)切線的斜率為，所以切線的方程為：，由圓的切線性質(zhì)可知：，設(shè)，，是方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，因此，即，且，所以由圓的切線性質(zhì)知：，，所以的坐標(biāo)為或.變式14．（2024·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測）如圖，橢圓，圓，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為．(1)過橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若，求的值；(2)過圓O上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線相互垂直．【解析】（1）設(shè)，由于，而，則，所以（其中），．（2）設(shè)，則，即，設(shè)過點(diǎn)R的圓O的切線斜率都存在時(shí)的方程：，代入橢圓方程得：，整理得：，則，即，是上述關(guān)于k的方程的兩個(gè)根，則，即兩條切線的斜率都存在時(shí)，有兩條切線相互垂直；而當(dāng)過R的切線斜率不存在時(shí)，易知R點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)顯然兩條切線相互垂直，綜上，過圓O上任意點(diǎn)R引橢圓C的兩條切線，則兩條切線相互垂直．變式15．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的蒙日圓上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點(diǎn)，若，存在，證明：為定值.【解析】（1）將，代入到，可得，解得，，所以橢圓的方程為：.（2）由題意可知，蒙日圓方程為：.（?。┤糁本€斜率不存在，則直線的方程為：或.不妨取，易得，，，，.（ⅱ）若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為：.聯(lián)立，化簡整理得：，據(jù)題意有，于是有：.設(shè)（），（）.化簡整理得：，，，.則，，所以.綜上可知，為定值.題型四：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決最值問題例10．（2024·福建泉州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知F為拋物線C：的焦點(diǎn)，是C上一點(diǎn)，M位于F的上方且.(1)求p；(2)若點(diǎn)P在直線上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則，即，由是拋物線上的點(diǎn)，則，聯(lián)立可得，消去可得，分解因式可得，解得或，當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，不合題意，所以；（2）任意取點(diǎn)位于拋物線上，設(shè)點(diǎn)，則，即，由拋物線方程，可得函數(shù)，求導(dǎo)可得，令，整理可得，設(shè)，，則，，由拋物線的定義，可得，，則，其中，，所以，當(dāng)時(shí)，.例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值.【解析】（1）由題知，，拋物線的方程為，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，設(shè)點(diǎn)，則，在中，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由圓的切線性質(zhì)知，，四邊形的面積，故四邊形面積的最小值為.例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，離心率為，經(jīng)過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為8．(1)求橢圓的方程；(2)過直線上一點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為，①證明：直線過定點(diǎn)；②求的最大值．備注：若點(diǎn)在橢圓C：上，則橢圓C在點(diǎn)處的切線方程為．【解析】（1）因?yàn)榻?jīng)過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，的周長為，由橢圓的定義，可得，可得，又由離心率為，可得，所以，則，所以橢圓C的方程為.（2）①證明：由（1）知，，設(shè)，，，根據(jù)題意，可得以M為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，以N為切點(diǎn)的橢圓C的切線方程為，又兩切線均過點(diǎn)P，故，且，整理化簡得，且，所以點(diǎn)，，均在直線上，所以直線MN的方程為，且直線MN過定點(diǎn).②由題意，直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，可得，且，可得，令，設(shè)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，即的最大值為，又由，所以的最大值為，此時(shí)直線的方程為.變式16．（2024·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)在直線：上，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求的值.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，由拋物線的性質(zhì)可得，解得，即拋物線的方程為.（2）由題意可設(shè)，且，，因?yàn)?，所以，可得，所以，整理得，設(shè)點(diǎn)，同理可得，則直線方程為，令，可得，即點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線方程為，令，可得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)上式等號成立，即的最小值為，聯(lián)立方程組，整理得，所以，則所以.變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為C上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值為，且長軸長和短軸長之比為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，過P作圓的兩條切線，，設(shè)，與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值.【解析】（1）由題意得，，所以，所以，解得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖所示：當(dāng)過P的切線斜率存在，即，時(shí)，設(shè)其方程為，即，令，得切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)榍芯€和圓O相切，所以化簡得，則有，.設(shè)切線，的斜率分別為，，則，，所以因?yàn)镻在橢圓C上，所以有，代入上式化簡可得.令，得，，則.令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，即.當(dāng)過P的切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)或.若P點(diǎn)的坐標(biāo)為，由對稱性可得，因?yàn)?，所以面積的最小值為.變式18．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎本€與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為.(1)證明點(diǎn)D在一條定直線上；(2)過點(diǎn)D作y軸的平行線交C于點(diǎn)E，線段的中點(diǎn)為，①證明：為的中點(diǎn)；②求面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，，，由得，C在點(diǎn)A處的切線方程為，將代入上式得，故，同理，A，B兩點(diǎn)兩點(diǎn)都在直線上，所以直線與直線是同一直線，故，，即點(diǎn)D在定直線上.（2）①，即為，為，將與聯(lián)立得，，故，線段的中點(diǎn)為，故三點(diǎn)共線，，，故為的中點(diǎn).②，，點(diǎn)到直線的距離為：，（當(dāng)時(shí)取等），面積的最小值為.變式19．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為3.(1)求；(2)若點(diǎn)在圓上，，是拋物線的兩條切線，是切點(diǎn)，求三角形面積的最大值.【解析】（1）圓的圓心，半徑，由點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）由（1）知，拋物線的方程為，即，則，設(shè)切點(diǎn)，，則，則，則直線，直線，聯(lián)立，解得，從而得到，設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，消去并整理，得，則，即，且，，故，因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離，所以，①又點(diǎn)在圓上，故，代入①得，而，故當(dāng)時(shí)，.變式20．（2024·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2.(1)求拋物線方程；(2)圓：，過拋物線上一點(diǎn)作圓的兩條切線與軸交于、兩點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）設(shè)焦點(diǎn)，，，∴方程為；（2）設(shè)切線：，：①，：②.∵，∴，∴，整理得：.∵，∴，由韋達(dá)定理：，，∴.在①中令，，同理，∴，，∴，∵，∴，令，，則，令，，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴.變式21．（2024·廣東茂名·高三?？茧A段練習(xí)）已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，P到定點(diǎn)的距離與P到定直線的距離之比為，(1)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作做曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別是，求面積的最大值，并確定此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).注：橢圓：上任意一點(diǎn)處的切線方程是：.【解析】（1）設(shè)d是點(diǎn)P到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是集合．由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得.（2）設(shè)，則，切線方程：，切線方程：，因?yàn)閮芍本€都經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，，從而直線的方程是：，由，得，由韋達(dá)定理，得，，點(diǎn)到直線的距離，，其中，令，則，令，則，在上遞增，，即時(shí)，的面積取到最大值，此時(shí)點(diǎn).變式22．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓經(jīng)過點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上（異于，），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求的最大值．【解析】（1）設(shè)，則，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得，整理得，即，可得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可知：切線的斜率存在，設(shè)為，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立方程，消去y得，則，整理得，則，即過直線上任一點(diǎn)均可作橢圓的兩條切線，且，可得，因?yàn)椋驗(yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立則，可得，所以，故當(dāng)時(shí)，取到最大值.變式23．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知拋物線C：的準(zhǔn)線為l，圓O：.(1)當(dāng)時(shí)，圓O與拋物線C和準(zhǔn)線l分別交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)M，N，且，求拋物線C的方程；(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是（1）中所求拋物線C上的動(dòng)點(diǎn).過P作圓O的兩條切線分別與拋物線C的準(zhǔn)線l交于D，E兩點(diǎn)，求面積的最小值.【解析】（1）因?yàn)?，所以點(diǎn)O到AB的距離等于點(diǎn)O到MN的距離，該距離等于，由對稱性可得直線的方程為，由取可得，所以.由解得，所以拋物線C的方程為.（2）由（1）可知準(zhǔn)線l的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，則直線PD的方程為，整理得.因?yàn)橹本€PD和圓O相切，所以點(diǎn)O到直線PD的距離等于1，即，整理得，同理有，因?yàn)?，所以m，n是一元二次方程的兩個(gè)根，則，，故，又因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為，所以令，則令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.綜上，面積的最小值為.題型五：利用切點(diǎn)弦結(jié)論解決范圍問題例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，且直線被橢圓截得的弦長為．(1)求橢圓的方程；(2)以橢圓的長軸為直徑作圓，過直線上的動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，求的取值范圍．【解析】（1）直線，經(jīng)過點(diǎn)，，被橢圓截得的弦長為，可得．又，，解得：，，，橢圓的方程為．（2）由（1）可得：圓的方程為：．設(shè)，則以為直徑的