第26講、導數(shù)同構(gòu)（學生版）

第26講導數(shù)同構(gòu)知識梳理方法技巧總結(jié)一、常見的同構(gòu)函數(shù)圖像函數(shù)表達式圖像函數(shù)表達式圖像函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點過定點函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點函數(shù)極值點方法技巧總結(jié)二：同構(gòu)式的基本概念與導數(shù)壓軸題1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達式2、同構(gòu)式的應用：（1）在方程中的應用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個根（2）在不等式中的應用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．<同構(gòu)小套路>①指對各一邊，參數(shù)是關鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍．（3）在解析幾何中的應用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設為輔助數(shù)列便于求解3、常見的指數(shù)放縮：4、常見的對數(shù)放縮：5、常見三角函數(shù)的放縮：6、學習指對數(shù)的運算性質(zhì)時，曾經(jīng)提到過兩個這樣的恒等式：（1）且時，有（2）當且時，有再結(jié)合指數(shù)運算和對數(shù)運算的法則，可以得到下述結(jié)論（其中）（3）（4）（5）（6）再結(jié)合常用的切線不等式lnxx-1，等，可以得到更多的結(jié)論，這里僅以第（3）條為例進行引申：（7）；（8）；7、同構(gòu)式問題中通常構(gòu)造親戚函數(shù)與，常見模型有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③8、乘法同構(gòu)、加法同構(gòu)（1）乘法同構(gòu)，即乘同構(gòu)，如；（2）加法同構(gòu)，即加同構(gòu)，如，（3）兩種構(gòu)法的區(qū)別：=1\*GB3①乘法同構(gòu)，對變形要求低，找親戚函數(shù)與易實現(xiàn)，但構(gòu)造的函數(shù)與均不是單調(diào)函數(shù)；=2\*GB3②加法同構(gòu)，要求不等式兩邊互為反函數(shù)，構(gòu)造后的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可直接由函數(shù)不等式求參數(shù)范圍；必考題型全歸納題型一：不等式同構(gòu)例1．（2024·四川達州·高二?？茧A段練習）已知，且，，，則（

）A． B．C． D．例2．（2024·湖北黃石·高二?？计谥校┮阎?，，，則（

）A． B．C． D．例3．（2024·陜西榆林·高二校考期末）已知a，b，，且，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．變式1．（2024·河南·高二校聯(lián)考期中）已知，，，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（

）A． B．C． D．變式3．（2024·江西贛州·高二江西省信豐中學校考階段練習）已知函數(shù)的導數(shù)滿足對恒成立，且實數(shù)，滿足，則下列關系式恒成立的是（

）A． B． C． D．題型二：同構(gòu)變形例4．（2024·全國·高三專題練習）對下列不等式或方程進行同構(gòu)變形，并寫出相應的同構(gòu)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．題型三：零點同構(gòu)例5．（2024·全國·高三專題練習）設，滿足，則（

）A． B． C． D．6例6．（2024·全國·高二專題練習）在數(shù)學中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應的方程稱為同構(gòu)方程，相應的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關于的方程和關于b的方程可化為同構(gòu)方程，則的值為（

）A． B．e C． D．1例7．（2024·安徽池州·高三池州市第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.變式4．（2024·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習）在數(shù)學中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應的方程稱為同構(gòu)方程，相應的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關于的方程和關于的方程可化為同構(gòu)方程.（1）求的值；（2）已知函數(shù).若斜率為的直線與曲線相交于，兩點，求證：.變式5．（2024·上海浦東新·高一上海南匯中學?？计谀┰O函數(shù)的定義域為，若函數(shù)滿足條件：存在，使在上的值域為（其中，則稱為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”.(1)證明：函數(shù)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”；(2)若存在，使函數(shù)為上的“倍縮函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)給定常數(shù)，以及關于的函數(shù)，是否存在實數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”.若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.變式6．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．變式7．（2024·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．變式8．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)和有相同的最大值，并且.(1)求；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.變式9．（2024·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求實數(shù)的值；(2)證明：存在直線，其與兩曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數(shù)列.題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題例8．（2024·全國·高三專題練習）完成下列各問（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（4）已知不等式對任意正數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實數(shù)a與b的大小關系是_______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；（8）已知不等式，對恒成立，則k的最大值為_______；（9）若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_______；例9．（2024·全國·高三專題練習）已知.設實數(shù)，若對任意的正實數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為___________.例10．（2024·四川瀘州·瀘州老窖天府中學校考模擬預測）已知不等式對恒成立，則實數(shù)m的最小值為__________.變式10．設實數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．變式11．設實數(shù)，若對任意的，，不等式恒成立，則的最大值為A． B． C． D．變式12．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式13．（2024·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)請在下列①②中選擇一個作答（注意：若選兩個分別作答則按選①給分）.①若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；②若關于的方程有兩個實根，求實數(shù)的取值范圍.題型五：利用同構(gòu)求最值例11．（2024·全國·高二專題練習）“朗博變形”是借助指數(shù)運算或?qū)?shù)運算，將化成，的變形技巧.已知函數(shù)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．例12．（2024·全國·高二期末）已知函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．例13．（2024·江西·臨川一中校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式14．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式15．（2024·全國·高三專題練習）已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（

）A．7 B．8 C．5 D．11變式16．（2024·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知兩個實數(shù)、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么A． B． C． D．題型六：利用同構(gòu)證明不等式例14．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，證明．例15．已知函數(shù)