第20講、三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（學生版）

[在此處鍵入]第20講三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識梳理1、基本性質(zhì)設三次函數(shù)為：(、、、且)，其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域為．=2\*GB3②值域為，函數(shù)在整個定義域上沒有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像性質(zhì)2：三次方程的實根個數(shù)由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，故以三次函數(shù)為例來研究根的情況，設三次函數(shù)其導函數(shù)為二次函數(shù):，判別式為：△=，設的兩根為、，結(jié)合函數(shù)草圖易得：(1)若，則恰有一個實根；(2)若,且，則恰有一個實根；(3)若,且，則有兩個不相等的實根；(4)若,且，則有三個不相等的實根.說明:(1)(2)含有一個實根的充要條件是曲線與軸只相交一次，即在R上為單調(diào)函數(shù)（或兩極值同號），所以（或，且）;(5)有兩個相異實根的充要條件是曲線與軸有兩個公共點且其中之一為切點，所以，且;(6)有三個不相等的實根的充要條件是曲線與軸有三個公共點，即有一個極大值，一個極小值，且兩極值異號.所以且.性質(zhì)3：對稱性（1）三次函數(shù)是中心對稱曲線，且對稱中心是；；（2）奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導數(shù)還是周期函數(shù)．2、常用技巧（1）其導函數(shù)為對稱軸為，所以對稱中心的橫坐標也就是導函數(shù)的對稱軸，可見，圖象的對稱中心在導函數(shù)的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導為零的點；（2）是可導函數(shù)，若的圖象關(guān)于點對稱，則圖象關(guān)于直線對稱.（3）若圖象關(guān)于直線對稱，則圖象關(guān)于點對稱.（4）已知三次函數(shù)的對稱中心橫坐標為，若存在兩個極值點，，則有.必考題型全歸納題型一：三次函數(shù)的零點問題例1．（2024·全國·高三專題練習）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例2．（2024·江蘇揚州·高三?？茧A段練習）設為實數(shù)，函數(shù)．（1）求的極值；（2）是否存在實數(shù)，使得方程恰好有兩個實數(shù)根?若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．例3．（2024·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，且在和處取得極值.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設函數(shù)，若有且僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.變式1．（2024·天津河西·高三天津?qū)嶒炛袑W?？茧A段練習）已知，.（1）當，求的極值；（2）當，，設，求不等式的解集；（3）當時，若函數(shù)恰有兩個零點，求的值.變式2．（2024·河北保定·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）若在上有解，求的取值范圍；（3）設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若函數(shù)的零點為，則點恰好就是該函數(shù)的對稱中心.試求的值.變式3．（2024·山西太原·高三太原市外國語學校?？茧A段練習）已知三次函數(shù)過點，且函數(shù)在點處的切線恰好是直線.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.變式4．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的最小值；(2)若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．題型二：三次函數(shù)的最值、極值問題例4．（2024·云南·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設.若，在上的最小值為，求的零點.例5．（2024·高三課時練習）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）設.若，在上的最小值為，求在上取得最大值時，對應的值.例6．（2024·江蘇常州·高三常州市北郊高級中學校考期中）已知函數(shù)f(x)=，其中a>0.(1)當a=1時，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)在點處的切線與y軸的交點為（0，b），求b+的最小值.變式5．（2024·廣東珠?！じ呷Ｂ?lián)考期中）已知函數(shù)（a，），其圖象在點處的切線方程為．(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．變式6．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，且．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且的一個根為（1）求的值；（2）求證：還有不同于的實根、，且、、成等差數(shù)列；（3）若函數(shù)的極大值小于，求的取值范圍變式8．（2024·浙江寧波·高三效實中學?？计谥校┮阎瘮?shù)(其中).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個不同的極值點，，求的取值范圍.題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問題例7．（2024·陜西商洛·高三?？茧A段練習）已知三次函數(shù)在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4例8．（2024·全國·高三專題練習）三次函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例9．（2024·江西宜春·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，，m是實數(shù).（1）若在區(qū)間(2,+∞)為增函數(shù)，求m的取值范圍；（2）在（1）的條件下,函數(shù)有三個零點，求m的取值范圍.變式9．（2024·陜西榆林·高三綏德中學校考階段練習）已知三次函數(shù)在處取得極值，且在點處的切線與直線平行.（1）求的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，求的取值范圍.變式10．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為______．題型四：三次函數(shù)的切線問題例10．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)求曲線在點，處的切線方程；(2)設常數(shù)，如果過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．例11．（2024·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，若過點可作曲線的三條切線，證明:.例12．（2024·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)，滿足，已知點是曲線上任意一點，曲線在處的切線為.(1)求切線的傾斜角的取值范圍；(2)若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍.變式11．（2024·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在處取得極值．（1）求m的值；（2）若過可作曲線的三條切線，求t的取值范圍．變式12．（2024·陜西西安·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求實數(shù)，的值；（2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍．變式13．（2024·全國·高三專題練習）設函數(shù)在處取得極值．(1)設點，求證：過點的切線有且只有一條，并求出該切線方程；(2)若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍；(3)設曲線在點、處的切線都過點，證明：．題型五：三次函數(shù)的對稱問題例13．（2024·全國·高三專題練習）給出定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．例14．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象上存在一定點滿足：若過點的直線與曲線交于不同于的兩點，就恒有的定值為，則的值為______.例15．（2024·新疆·統(tǒng)考二模）對于三次函數(shù)，給出定義：設是的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為曲線的“拐點”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個三次函數(shù)都有“拐點”.設函數(shù)，則_____________.變式14．（多選題）（2024·江蘇南京·高三南京市江寧高級中學校聯(lián)考期末）對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極大值為B．有且僅有2個零點C．點是的對稱中心D．變式15．（多選題）（2024·廣東佛山·高三南海中學?？计谥校┒x：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù).若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心，已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．函數(shù)有三個零點C．過可以作兩條直線與圖像相切D．若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則變式16．（多選題）（2024·安徽阜陽·高三安徽省太和中學?？几傎悾┒x：設是的導函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖像的對稱中心.已知函數(shù)的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．，B．的值是199.C．函數(shù)有三個零點D．過可以作三條直線與圖像相切題型六：三次函數(shù)的綜合問題例16．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且方程有3個實數(shù)根，它們分別是，，2，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．1 D．8例17．（2024·陜西西安·高三西安中學校考期中）已知函數(shù)，，給出下列四個結(jié)論，分別是：①；②在上單調(diào)；③有唯一零點；④存在，使得．其中有且只有一個是錯誤的，則錯誤的一定不可能是（

）A．① B．② C．③ D．④例18．（2024·全國·高三專題練習）已知，，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的序號是__．變式17．（2024·黑龍江大慶·高三大慶實驗中學?？计谀┮阎?，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；

②；

③；

④.其中正確結(jié)論的序號為（

）A．②③ B．①④ C．②④ D．①③變式18．（2024·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).已知函數(shù).(1)若函數(shù)的對稱中心為，求函數(shù)的解析式.(2)由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元次復系數(shù)多項式在復數(shù)集中可以分解為n個一次因式的乘積.進而，一元n次多項式方程有n個復數(shù)根（重根按重數(shù)計）.如設實系數(shù)一元二次方程，在復數(shù)集內(nèi)的根為，，則方程可變形為，展開得：則有，即，類比上述推理方法可得實系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，①若，方程在復數(shù)集內(nèi)的根為、、，當時，求的最大值；②若，函數(shù)的零點分別為、、，求的值.變式19．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且方程的三個根分別為．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求的取值范圍．變式20．（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）給出定義：設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的.“固點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“固點”，且該“固點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識回答下列問題：已知函數(shù).(1)當時，試求的對稱中心.(2)討論的單調(diào)性；(3)當時，有三個不相等的實數(shù)根，當取得最大值時，求的值.題型七：三次函數(shù)恒成立問題例19．（2024·全國·高三專題練習）已知三次函數(shù)的導函數(shù)且，．（1）求的極值；（2）求證：對任意，都有．例20．（2024·全國·高三專題練習）設為實數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.例21．（2024·四川瀘州·高三瀘州老窖天府中學?？茧A段練習）已知三次函數(shù)．（1）若函數(shù)在點處的切線方程是，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值，，都有，求出實數(shù)的取值范圍．變式21．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，為函數(shù)的導函數(shù)(1)若為函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值；(2)的單調(diào)增區(qū)間內(nèi)有且只有兩個整數(shù)時，求實數(shù)的取值范圍；(3)對任意時，任意實數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的最大值.變式22．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，．(1)對任意，使得是函數(shù)在區(qū)間上的最大值，試求最大的實數(shù)．(2)若，對于區(qū)間的任意兩個不相等的實數(shù)、，且，都有成立，求的取值范圍．變式23．（2024·遼寧沈陽·高三東北育才學校?？计谥?/p>