高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心考點精講精練(新高考專用)專題3.4冪函數(shù)【原卷版+解析】

專題3.4冪函數(shù)【核心素養(yǎng)】1.以常見冪函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3.與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一冪函數(shù)的定義冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).知識點二知識點二常見的5種冪函數(shù)的圖象常見的5種冪函數(shù)的圖象知識點三知識點三常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇?？碱}型剖析?？碱}型剖析題型一：冪函數(shù)的概念【典例分析】例1-1.（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)滿足，則的值為（

）A．2 B． C． D．例1-2.（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則___________.【知識拓展】1.形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．2.冪函數(shù)y＝xα的形式特點是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求冪指數(shù)，得到函數(shù)解析式，進一步解題.【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9變式1-2.（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點與，則m的值為____________．題型二：冪函數(shù)的圖象例2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（

）A．B．C．D．例2-2.（2023·全國·高三對口高考）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①例2-3.（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．例2-4.（2023·陜西榆林·校考模擬預(yù)測）直線：與，軸的交點分別是，，與函數(shù)，的圖像的交點分別為，，若，是線段的三等分點，則的值為________.【規(guī)律方法】函數(shù)y＝xα的形式的圖象都過點(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當α>0時，第一象限圖象是上坡遞增；當α＜0時，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2011·陜西·高考真題）函數(shù)的圖象是()A．B．C． D．變式2-2.（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若冪函數(shù)定義域為R，且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則m的值可以為（

）A．1 B．4 C．7 D．10變式2-3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且變式2-4.（2023·寧夏銀川·銀川一中校考一模）函數(shù)，和的圖像都通過同一個點，則該點坐標為________．題型三：冪函數(shù)的性質(zhì)【典例分析】例3-1.（1993·全國·高考真題）函數(shù)y=在[－1,1]上是()A．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù)C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)例3-2．（2007·山東·高考真題）設(shè)，則使函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)的所有值為（）A． B． C． D．例3-3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．例3-4．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【方法技巧】1.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大小：常找到一個中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進行判斷．準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2020·全國·高三對口高考）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為（

）．A． B． C． D．變式3-2.（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)變式3-3.【多選題】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．變式3-4.（2023春·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達式的解集為__________.題型四：冪函數(shù)綜合問題【典例分析】例4-1.（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）設(shè)，，則（）A． B．C． D．例4-2．（2023·安徽滁州·校考模擬預(yù)測）函數(shù)與在均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．例4-3．（江蘇省高考真題）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________．例4-4．（2023·高三課時練習(xí)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．【變式訓(xùn)練】變式4-1.（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．變式4-2.（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中，，，若點，，，滿足，則（

）A． B．C． D．變式4-3.（2023·高三課時練習(xí)）已知，若函數(shù)滿足：當時，恒成立，則的取值為______．（寫出滿足條件的所有取值）變式4-4.（2020秋·江西上饒·高三校考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)若在上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.一、單選題1．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增的為（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或4．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減5．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)同時滿足①對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有；②在上是減函數(shù)，則的值為（

）A．8 B．4 C．2 D．16．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列實數(shù)可作為值的是（

）A．-2 B． C．2 D．37.（2023·全國·高三對口高考）若，且，當時，則一定有（

）A． B．C． D．8．（2012·山東·高考真題）設(shè)函數(shù)，若的圖象與圖象有且僅有兩個不同的公共點,則下列判斷正確的是A．當時，B．當時，C．當時，D．當時，二、填空題9.（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則f(-8)的值是____.10．（2014·上?！じ呖颊骖}）若，則滿足的取值范圍是_____.11.（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過點，則的值為___________．12．（2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖像過點，則函數(shù)的零點為________．

專題3.4冪函數(shù)【核心素養(yǎng)】1.以常見冪函數(shù)為載體，考查函數(shù)的奇偶性與周期性，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性，凸顯分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．3.與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．知識點一知識點一冪函數(shù)的定義冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).知識點二知識點二常見的5種冪函數(shù)的圖象常見的5種冪函數(shù)的圖象知識點三知識點三常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)常見的5種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：冪函數(shù)的概念【典例分析】例1-1.（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)滿足，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)已知，求出參數(shù)的關(guān)系式，即可計算作答.【詳解】依題意，設(shè)，則，所以.故選：B例1-2.（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則___________.【答案】/【分析】根據(jù)冪函數(shù)過點，求出函數(shù)解析式，將數(shù)值代入即可計算.【詳解】因為冪函數(shù)的圖象過點，所以，解得：，所以，則，故答案為：.【知識拓展】1.形如y＝xα的函數(shù)叫冪函數(shù)，這里需有：(1)系數(shù)為1，(2)指數(shù)為一常數(shù)，(3)后面不加任何項．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：y＝x2是冪函數(shù)，y＝2x是指數(shù)函數(shù)．2.冪函數(shù)y＝xα的形式特點是“冪指數(shù)坐在x的肩膀上”，往往利用待定系數(shù)法，求冪指數(shù)，得到函數(shù)解析式，進一步解題.【變式訓(xùn)練】變式1-1.（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】B【分析】設(shè)冪函數(shù)為，代入點計算得到，計算得到答案.【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，圖象過點，故，故，，.故選：B變式1-2.（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）若函數(shù)的圖像經(jīng)過點與，則m的值為____________．【答案】81【分析】根據(jù)函數(shù)圖象過的點求得參數(shù)，可得函數(shù)解析式，再代入求值即得答案.【詳解】由題意函數(shù)的圖像經(jīng)過點與，則，則故，故答案為：81題型二：冪函數(shù)的圖象例2-1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用特殊值法逐項進行排除即可求解.【詳解】由，排除A，D．當時，，所以，排除C．故選：B．例2-2.（2023·全國·高三對口高考）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對應(yīng)解析式的形式，即可得答案.【詳解】圖象（1）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；故圖象對應(yīng)解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.故選：C例2-3.（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由可知圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由的圖像即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以圖像與的圖像關(guān)于軸對稱，由解析式，作出的圖像如圖從而可得圖像為B選項.故選：B.例2-4.（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測）直線：與，軸的交點分別是，，與函數(shù)，的圖像的交點分別為，，若，是線段的三等分點，則的值為________.【答案】【分析】求出點、的坐標，代入相應(yīng)的冪函數(shù)解析式，求出、的值，即可得解.【詳解】直線與、軸的交點分別是、，因為，是線段的三等分點，可得，，且與函數(shù)、的圖像交點分別是、，其中，所以，解得，所以，.故答案為：.【規(guī)律方法】函數(shù)y＝xα的形式的圖象都過點(1,1)．它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖象特征：當α>0時，第一象限圖象是上坡遞增；當α＜0時，第一象限圖象是下坡遞減．然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可．【變式訓(xùn)練】變式2-1.（2011·陜西·高考真題）函數(shù)的圖象是()A．B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：先找出函數(shù)圖象上的特殊點（1，1），（8，2），（，），再判斷函數(shù)的走向，結(jié)合圖形，選出正確的答案．解：函數(shù)圖象上的特殊點（1，1），故排除A，D；由特殊點（8，2），（），可排除C．故選B．變式2-2.（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中校考階段練習(xí)）設(shè)，若冪函數(shù)定義域為R，且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則m的值可以為（

）A．1 B．4 C．7 D．10【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域和冪函數(shù)的奇偶性可以確定m的值.【詳解】解：由題意知，因為其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則.故選：C．變式2-3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及，互質(zhì)可判斷出為偶數(shù)，為奇數(shù).【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞減，所以0，因為函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項D正確，故選：D.變式2-4.（2023·寧夏銀川·銀川一中?？家荒＃┖瘮?shù)，和的圖像都通過同一個點，則該點坐標為________．【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)既可以求得.【詳解】根據(jù)三個函數(shù)可得定義域為：，則根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知這三個函數(shù)都經(jīng)過點.故答案為：題型三：冪函數(shù)的性質(zhì)【典例分析】例3-1.（1993·全國·高考真題）函數(shù)y=在[－1,1]上是()A．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù)C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)【答案】A【詳解】考查冪函數(shù).∵>0，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得在[?1,1]上的單調(diào)增函數(shù)，是奇函數(shù)．故選A.點睛：對于形如的冪函數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)時，可以將函數(shù)化簡為，可知定義域及函數(shù)奇偶性，冪函數(shù)的單調(diào)性可以只研究第一象限，再結(jié)合奇偶性即可得結(jié)論.例3-2．（2007·山東·高考真題）設(shè)，則使函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)的所有值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】時，函數(shù)定義域不是R,不合題意；時，函數(shù)的定義域為R且為奇函數(shù)，合題意，故選A.例3-3．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中間值比較a,b的大小，再讓b，c與中間值比較，判斷b,c的大小，即可得解.【詳解】，又因為通過計算知，所以，即，又，所以，所以.故選：B例3-4．（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，得到不等式的等價不等式組，即可求解.【詳解】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，因為，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【方法技巧】1.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，既不同底又不同次數(shù)的冪函數(shù)值比較大小：常找到一個中間值，通過比較冪函數(shù)值與中間值的大小進行判斷．準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當冪的底數(shù)不確定時，要注意討論底數(shù)的不同取值情況.【變式訓(xùn)練】變式3-1.（2020·全國·高三對口高考）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性性質(zhì)即可求解.【詳解】A：一次函數(shù)的性質(zhì)知在上是減函數(shù)，不合題意．B：定義域為R且，為非奇非偶且是減函數(shù)，不合題意；C：定義域為R且，為偶函數(shù)且在R上不單調(diào)，不合題意．D：定義域為R且，為奇函數(shù)且在上是增函數(shù)，符合題意.故選：D．變式3-2.（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性可判斷AB，再由奇函數(shù)的定義判斷CD.【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因為函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.變式3-3.【多選題】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法及構(gòu)造函數(shù)法即可求解.【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增.因為,所以，即，，所以．故A正確；令，則，故B錯誤；令，則由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，于是有，故C正確；令，則，所以因為，故D錯誤．故選：AC.變式3-4.（2023春·上海·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達式的解集為__________.【答案】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可知，的定義域為，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞增，由，得，即，所以，即，解得，所以關(guān)于的表達式的解集為.故答案為：.題型四：冪函數(shù)綜合問題【典例分析】例4-1.（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對冪函數(shù)的單調(diào)性以及中間值進行比較即可.【詳解】由單調(diào)遞減可知：.由單調(diào)遞增可知：，所以，即，且.由單調(diào)遞減可知：，所以.故選：D例4-2．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）函數(shù)與在均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出函數(shù)與在均單調(diào)遞減時，a的取值區(qū)間結(jié)合選項可得答案.【詳解】函數(shù)在均單調(diào)遞減可得即；函數(shù)在均單調(diào)遞減可得，解得，若函數(shù)與均單調(diào)遞減，可得，由題可得所求區(qū)間真包含于，結(jié)合選項，函數(shù)與均單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是C故選：C例4-3．（江蘇省高考真題）在平面直角坐標系xOy中，設(shè)定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________．【答案】－1或【解析】設(shè)點，則令令（1）當時，時取得最小值，，解得（2）當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，解得綜上可知：或所以答案應(yīng)填：-1或.例4-4．（2023·高三課時練習(xí)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴格減函數(shù)，求滿足的實數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)m的取值，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求解不等式，可得答案.【詳解】因為函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，所以，解得．由m為正整數(shù)，則或,又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，得是偶函數(shù)，而當時，，為奇函數(shù)，不符題意，當時，，為偶函數(shù)，于是．因為為奇函數(shù)，在與上均為嚴格減函數(shù)，所以等價于或或，解得或，即.【變式訓(xùn)練】變式4-1.（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別由指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)可得，，，即可得出答案.【詳解】由題知，，，，所以.故選：A.變式4-2.（2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，其中，，，若點，，，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由且橫坐標對應(yīng)相等，知縱坐標差的絕對值對應(yīng)相等，化簡即得.【詳解】因為，且，，故.故，則.故選：D.變式4-3.（2023·高三課時練習(xí)）已知，若函數(shù)滿足：當時，恒成立，則的取值為______．（寫出滿足條件的所有取值）【答案】、、0或【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意，根據(jù)函數(shù)值的正負情況，一一判斷的取值是否符合題意，可得答案.【詳解】因為，所以，要使則在區(qū)間上應(yīng)大于0，所以時在區(qū)間可取到負值，不合題意；當時，，在區(qū)間上恒有成立，符合題意；當時，，當時，，當時，，即在區(qū)間上有成立，不合題意；當時，，當時，為遞增函數(shù)，，則；當時，為遞減函數(shù)，，則，故在區(qū)間上有恒成立，符合題意；當時，，由，及，知恒成立，符合題意；當時，，由及，知恒成立，符合題意，綜上所述，的取值為、、0或，故答案為：、、0或變式4-4.（2020秋·江西上饒·高三?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)若在上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和函數(shù)的奇偶性求出的值,求出函數(shù)的解析式即可;(2)求出函數(shù)的對稱軸,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可.【詳解】（1）由題意,解得:或3,若是偶函數(shù),則，故;（2）,的對稱軸是,若在上不是單調(diào)函數(shù),則,解得:.所以實數(shù)的取值范圍為.一、單選題1．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別分析函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可選出結(jié)果.【詳解】解：為奇函數(shù)，，為偶函數(shù)，但在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，而為偶函數(shù)且在單調(diào)遞增.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)的性質(zhì)進行排除可得答案.【詳解】因為，所以為偶函數(shù)，排除A,B選項；易知當時，為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.故選：C.3．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和單調(diào)性可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)為冪函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以且，由，得或，當時，，滿足題意；當時，足，不符合題意.綜上.故選：A.4．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】B【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質(zhì).【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，對于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；對于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；故只有B選項“在上單調(diào)遞減”符合這兩個函數(shù)的性質(zhì)．故選：B5．（2023秋·山東德州·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)同時滿足①對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有；②在上是減函數(shù)